高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程單元測試 市一等獎

第四章圓與方程測試題一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．點P(2，－3,1)關(guān)于坐標原點的對稱點是()．A．(－2，－3，－1) B．(－2,3，－1)C．(2，－3，－1) D．(－2,3,1)2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是()．A．m>－eq\f(1,2)B．m<－eq\f(1,2)C．m≤－eq\f(1,2) D．m≥－eq\f(1,2)3．圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，eq\r(5)C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，eq\r(5)4．（2023陜西文）已知點M(a,b)在圓外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定5．圓x2＋y2＋ax＝0的圓心到y(tǒng)軸的距離為1，則a＝()A．－1B．±1C．－2D．±26．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線的條數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．47．兩圓x2＋y2＝1與x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直線的方程是()A．x＝1 B．x＝eq\f(1,2)C．y＝x D．x＝eq\f(\r(3),2)8．若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(2)，則實數(shù)a的值為()A．－1或eq\r(3)B．1或3C．－2或6D．0或49．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝110．(2023·成都質(zhì)檢)在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C．15eq\r(2) D．20eq\r(2)11點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．3eq\r(5)－5 D．3eq\r(5)＋512．若直線y＝kx－1與曲線y＝－eq\r(1－x－22)有公共點，則k的取值范圍是()A．(0，eq\f(4,3)]B．[eq\f(1,3)，eq\f(4,3)]C．[0，eq\f(1,2)]D．[0,1]二、填空題(本大題共６個小題，每小題5分，共３0分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知點A(1,2,3)，B(2，－1,4)，點P在y軸上，且|PA|＝|PB|，則點P的坐標是________．14.．圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直徑為3，則m的值為________．15．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2eq\r(3)，則a＝________.16．已知圓(x－2)2＋(y－3)2＝13和圓(x－3)2＋y2＝9交于A、B兩點，則弦AB的垂直平分線的方程是________．三、解答題(本大題共6個大題，共60分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)19.(本小題滿分10分)求經(jīng)過兩點A(－1,4)，B(3,2)且圓心C在y軸上的圓的方程．20.(本小題滿分10分)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，M為BD1的中點，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，試求MN的長．21.(本小題滿分10分)已知直線x－my＋3＝0和圓x2＋y2－6x＋5＝0.(1)當直線與圓相切時，求實數(shù)m的值；(2)當直線與圓相交，且所得弦長為eq\f(2,5)eq\r(10)時，求實數(shù)m的值．22.(本小題滿分10分)已知M為圓C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).(1)若點P(a,a+1)在圓C上,求線段PQ的長及直線PQ的斜率.(2)求|MQ|的最大值和最小值.(3)若M(m,n),求QUOTE的最大值和最小值.23.(本小題滿分10分)如圖所示，某糧食儲備庫占地呈圓域形狀，它的斜對面有一條公路．從儲備庫中心A向正東方向走1km是儲備庫邊界上的點B，接著向正東方向走2km到達公路上的點C；從A向正北方向走6km到達公路上的另一點D.現(xiàn)準備在儲備庫的邊界上選一點E，修建一條由E通往公路CD的專用線路EF，要求造價最低，用坐標法回答：點E應(yīng)該選在何處？24.(本小題滿分10分)已知圓P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1.求在滿足條件①②的所有圓中，使代數(shù)式a2－b2－2b＋4取得最小值時，圓的方程．參考答案一、選擇題6.Ｂ7.Ｂ8.D9.Ａ11.Ｃ提示：1.點P(2，－3,1)關(guān)于坐標原點的對稱點是(－2,3，－1)．故選B.2.由題意得1＋1＋4m>0.解得m>－eq\f(1,2).3.圓的方程化為標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，則圓心是(－1,2)，半徑為eq\r(5).4.點M(a,b)在圓圓的半徑為1，,，故直線與圓相交.所以選B.5.因為圓心坐標為(－eq\f(a,2)，0)，所以|－eq\f(a,2)|＝1，所以a＝±2.6.圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圓心C1(－1，－1)，半徑長r1＝2，圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C2(2,1)，半徑長r2＝2，兩圓圓心距為|C1C2|＝eq\r(13)，顯然0＜|C1C2|＜4，即|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，所以兩圓相交，從而兩圓有兩條公切線．7.將兩圓方程相減可直接求得公共弦所在直線的方程為x＝eq\f(1,2).8.由半徑、半弦長、圓心到直線的距離d所形成的直角三角形，可得d＝eq\r(2)，故eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4或0.9.設(shè)圓上任一點坐標為(x0，y0)，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，連線中點坐標為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y(tǒng)0－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2))，代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.10.圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10，則圓心(1,3)半徑r＝eq\r(10)，由題意知AC⊥BD，且AC＝2eq\r(10)，|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5)，所以四邊形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).11.圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圓心為C1(4,2)；圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圓心為C2(－2，－1)，兩圓相離，|PQ|的最小值為|C1C2|－(r1＋r2)＝3eq\r(5)－5.12.曲線y＝－eq\r(1－x－22)表示的圖形是一個半圓，直線y＝kx－1過定點(0，－1)，在同一坐標系中畫出直線和半圓的草圖，由圖可知，k的取值范圍是[0,1]，故選D.二、填空題13.－eq\f(7,6)14.eq\f(11,4)＋y－9＝0提示：13.設(shè)點P(0，b,0)，則eq\r(1－02＋2－b2＋3－02)＝eq\r(2－02＋－1－b2＋4－02)，解得b＝－eq\f(7,6).14.因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，所以r＝eq\r(5－m)＝eq\f(3,2)，所以m＝eq\f(11,4).15.由(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0得兩圓公共弦方程為ay－1＝0，又因公共弦長為2eq\r(3)，所以圓心(0,0)到該公共弦的距離為1，即eq\f(|0－1|,\r(a2))＝1.又a＞0，所以a＝1.16.因為弦AB的垂直平分線即兩圓的連心線所在的直線，又因為兩圓的圓心分別為(2,3)與(3,0)，所以k＝eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以l的方程為3x＋y－9＝0.三、解答題19.解：因為AB的中點是(1,3)，kAB＝eq\f(4－2,－1－3)＝－eq\f(1,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.令x＝0，得y＝1，即圓心C(0,1)．所以所求圓的半徑為|AC|＝eq\r(12＋4－12)＝eq\r(10).所以所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.20.解：以D為原點建立如圖所示坐標系，則B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．由于M為BD1的中點，所以M(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，取A1C1中點O1，則O1(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，a)，因為|A1N|＝3|NC1|，所以N為O1C1的中點，故N(eq\f(a,4)，eq\f(3,4)a，a)．由兩點間的距離公式可得：|MN|＝eq\r(\f(a,2)－\f(a,4)2＋\f(a,2)－\f(3,4)a2＋\f(a,2)－a2)＝eq\f(\r(6),4)a.21.解：(1)因為圓x2＋y2－6x＋5＝0可化為(x－3)2＋y2＝4，所以圓心為(3,0)．因為直線x－my＋3＝0與圓相切，所以eq\f(|3＋3|,\r(1＋m2))＝2，解得m＝±2eq\r(2).(2)圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq\f(6,\r(1＋m2)).由eq\f(2,5)eq\r(10)＝2eq\r(4－\f(6,\r(1＋m2))2)得，2＋2m2＝20m2－160，解得m2＝9，故m＝±3.22.解：(1)由點P(a,a+1)在圓C上,可得a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,P(4,5).所以|PQ|=QUOTE,kPQ=QUOTE.(2)由圓C：x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8.所以圓心C坐標為(2,7),半徑r=.可得|QC|=QUOTE,因此|MQ|max=,|MQ|min=.(3)可知QUOTE表示直線MQ的斜率,設(shè)直線MQ的方程為：y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,則QUOTE=k.由直線MQ與圓C有交點,所以QUOTE≤.可得,所以QUOTE的最大值為,最小值為.23.解：如圖所示，分別以直線AC，AD為x軸、y軸建立平面直角坐標系，作圓A的切線GH，使GH∥CD，這時切點就是E點的位置(另一條切線不在考慮之列)，連接AE并延長，交CD于F，則AF⊥CD，由已知，CD的斜率為－eq\f(6,3)＝－2，所以AF的斜率為eq\f(1,2)，AF的方程為y＝eq\f(1,2)x，圓A的方程為x2＋y2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(5),5)，,y＝\f(\r(5),5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(5),5)，,y＝－\f(\r(5),5)，))(舍去)故E點的坐標為(eq\f(2\r(5),5)，eq\f(\r(5),5))．所以E點選在坐標為(eq\f(2\r(5),5)，eq\f(\r(5),5))的點，造價最低．24.解：如下圖所示，圓心坐標為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.因為圓P被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，所以∠AP