高中數(shù)學人教A版第一章集合與函數(shù)概念 學業(yè)質量標準檢測

第一章學業(yè)質量標準檢測本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2023·北京理，1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，則A∩B＝eq\x(導學號69174474)(A)A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故選A．2．設集合M＝{1,2}，則滿足條件M∪N＝{1,2,3,4}的集合N的個數(shù)是eq\x(導學號69174475)(D)A．1 B．3 C．2 D．[解析]∵M＝{1,2}，M∪N＝{1,2,3,4}．∴N＝{3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4個．3．下列函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是eq\x(導學號69174476)(D)A．y＝－3x＋2 B．y＝eq\f(3,x)C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10[解析]顯然A、B兩項在(0,2)上為減函數(shù)，排除；對C項，函數(shù)在(－∞，2)上為減函數(shù)，也不符合題意；對D項，函數(shù)在(－eq\f(4,3)，＋∞)上為增函數(shù)，所以在(0,2)上也為增函數(shù)，故選D．4．若奇函數(shù)f(x)在[3,7]上是增函數(shù)，且最小值是1，則它在[－7，－3]上是eq\x(導學號69174477)(B)A．增函數(shù)且最小值是－1 B．增函數(shù)且最大值是－1C．減函數(shù)且最大值是－1 D．減函數(shù)且最小值是－1[解析]∵奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，最值相反．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且為增函數(shù)．5．已知集合P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}，集合Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}，則P與Q的關系是eq\x(導學號69174478)(B)A．P＝Q B．PQ C．PQ D．P∩Q＝?[解析]P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝eq\r(x－1)}＝[0，＋∞)，所以QP.6．(2023·全國卷Ⅱ理，2)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，則B＝eq\x(導學號69174479)(C)A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}[解析]∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴B＝{1,3}．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的對稱軸為直線x＝1，則eq\x(導學號69174480)(B)A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2)[解析]因為二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線，則f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(－1)．故選B．8．圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為eq\x(導學號69174481)(B)A．y＝eq\f(3,2)|x－1|(0≤x≤2) B．y＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)|x－1|(0≤x≤2)C．y＝eq\f(3,2)－|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)[解析]0≤x≤1，y＝eq\f(3,2)x,1<x≤2，y＝3－eq\f(3,2)x.9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x<\f(1,2),fx－1＋1x≥\f(1,2)))，則f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(7,6))＝eq\x(導學號69174482)(A)A．－eq\f(1,6) B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,6) D．－eq\f(5,6)[解析]f(eq\f(1,4))＝2×eq\f(1,4)－1＝－eq\f(1,2)，f(eq\f(7,6))＝f(eq\f(7,6)－1)＋1＝f(eq\f(1,6))＋1＝2×eq\f(1,6)－1＋1＝eq\f(1,3)，∴f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(7,6))＝－eq\f(1,6)，故選A．10．(2023·全國卷Ⅰ理，2)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，且為奇函數(shù)，若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是eq\x(導學號69174483)(D)A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3][解析]∵f(x)為R上的奇函數(shù)，f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故選D．11．(2023·全國卷Ⅱ文，12)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖像的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\i\su(i＝1,m,x)i＝eq\x(導學號69174484)(B)A．0 B．m C．2m D．[解析]因為y＝f(x)，y＝|x2－2x－3|都關于x＝1對稱，所以它們交點也關于x＝1對稱，當m為偶數(shù)時，其和為2×eq\f(m,2)＝m，當m為奇數(shù)時，其和為2×eq\f(m－1,2)＋1＝m，因此選B．12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gx，若fx≥gx，,fx，若fx<gx.))則F(x)的最值是eq\x(導學號69174485)(B)A．最大值為3，最小值－1B．最大值為7－2eq\r(7)，無最小值C．最大值為3，無最小值D．既無最大值，又無最小值[解析]作出F(x)的圖象，如圖實線部分，知有最大值而無最小值，且最大值不是3，故選B．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．函數(shù)y＝2x＋4eq\r(1－x)的值域為__(－∞，4]\x(導學號69174486)[解析]令t＝eq\r(1－x)，則x＝1－t2(t≥0)，y＝2x＋4eq\r(1－x)＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4.又∵t≥0，∴當t＝1時，ymax＝4.故原函數(shù)的值域是(－∞，4]．14．有15人進家電超市，其中有9人買了電視，有7人買了電腦，兩種均買了的有3人，則這兩種都沒買的有__2__人.eq\x(導學號69174487)[解析]結合Venn圖可知，兩種都沒買的有2人．15．若函數(shù)f(x)的定義域為[－1,2]則函數(shù)f(3－2x)的定義域為__[eq\f(1,2)，2]\x(導學號69174488)[解析]由－1≤3－2x≤2解得eq\f(1,2)≤x≤2，故定義域為[eq\f(1,2)，2]．16．(2023·寧德高一檢測)規(guī)定記號“Δ”表示一種運算，即aΔb＝eq\r(ab)＋a＋b，a，b∈R＋，若1Δk＝3，則函數(shù)f(x)＝kΔx的值域是__(1，＋∞)\x(導學號69174489)[解析]由題意，1Δk＝eq\r(1×k)＋1＋k＝3，得k＝1.f(x)＝1Δx＝eq\r(1×x)＋1＋x，即f(x)＝x＋eq\r(x)＋1＝(eq\r(x)＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，由于x>0，∴(eq\r(x)＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>1，因此函數(shù)f(x)的值域為(1，＋∞)．三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝\x(導學號69174490)(1)求A∪B，(?UA)∩B；(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍．[解析](1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．∵?UA＝{x|x＜2或x＞8}，∴(?UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．(2)∵A∩C≠?，作圖易知，只要a在8的左邊即可，∴a＜8.18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3，x≤0，,4x，x>0.))eq\x(導學號69174491)(1)求f(f(－1))；(2)若f(x0)>2，求x0的取值范圍．[解析](1)∵f(－1)＝－(－1)＋3＝4，∴f(f(－1))＝f(4)＝4×4＝16.(2)當x0≤0時，令2<－x0＋3，得x0<1，此時x0≤0；當x0>0時，令2<4x0，得x0>eq\f(1,2)，∴x0≤0或x0>eq\f(1,2).19．(本小題滿分12分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象經(jīng)過原點，且對任意的實數(shù)x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立.eq\x(導學號69174492)(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足當x≥0時，g(x)＝f(x)，試求g(x)的解析式．[解析](1)∵函數(shù)圖象經(jīng)過原點，∴b＝0，又∵對任意的實數(shù)x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立．∴f(x)的對稱軸為x＝1，∴a＝－2.(2)當x≥0時，g(x)＝f(x)＝x2－2x，當x<0時，－x>0，g(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∵g(x)為奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x，∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.eq\x(導學號69174493)[解析]函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝a，畫出草圖如圖所示．由圖象可知函數(shù)在(－∞，a]和[a，＋∞)上分別單調，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調函數(shù)，只需a≤1或a≥2(其中當a≤1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞增；當a≥2時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞減)，從而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．21．(本小題滿分12分)設f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當0≤x≤2時，y＝x；當x>2時，y＝f(x)的圖象是頂點為P(3,4)且過點A(2,2)的拋物線的一部分.eq\x(導學號69174494)(1)求函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域和單調區(qū)間．[解析](1)當x>2時，設f(x)＝a(x－3)2＋4.∵f(x)的圖象過點A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.設x∈(－∞，－2)，則－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因為f(x)在R上為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)圖象如圖所示．(3)由圖象觀察知f(x)的值域為{y|y≤4}．單調增區(qū)間為(－∞，－3]和[0,3]．單調減區(qū)間為[－3,0]和[3，＋∞)．22．(本小題滿分12分)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足當x>0時，f(x)>1，且對任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝\x(導學號69174495)(1)求f(0)的值；(2)求證：對任意x∈R，都有f(x)>0；(3)解不等式f(3－2x)>4.[解析](1)對任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)．令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)－1]＝0.令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，對任意x∈R成立，所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.(2)證明：對任意x∈R，有f(x)＝f(eq\f(x,2)＋eq\f(x,2))＝f(eq\f(x,2))·f(eq\f(x,2))＝[f(eq\f(x,2))]2≥0.假設存在x0∈R，使f(x0)＝0，則對任意x>0，有f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x－x0)·f(x0)＝0.這與已知x>0時，f(x)>1矛盾．所以，對任意x∈R，均有f(x)>0成立．(3)令x＝y(tǒng)＝1有f(1＋1)＝f(1)·f(1)