統(tǒng)計假設(shè)檢驗

設(shè)總體X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn為一組樣本，1:σ2已知,求μ的置信度為1-α置信區(qū)間：

(1)選擇包含μ的分布已知的函數(shù):(2)構(gòu)造U的一個1-α區(qū)間:(3)變形得到μ的1-α置信區(qū)間:置信區(qū)間求解步驟：(4)帶入數(shù)值,得到具體的區(qū)間.2:σ2未知,求μ的置信度為1-α置信區(qū)間：

(1)選擇包含μ的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造T的一個1-α區(qū)間:(3)得到μ的1-α置信區(qū)間:(4)帶入數(shù)值,得到具體的區(qū)間.3:求σ2置信度為1-α的置信區(qū)間：

(1)選擇包含σ2的分布已知函數(shù):(2)構(gòu)造的一個1-α區(qū)間:(3)變形得到σ2的1-α置信區(qū)間:(4)帶入數(shù)值,得到具體的區(qū)間.一、假設(shè)檢驗的基本原理二、假設(shè)檢驗的一般步驟四、一個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗第八章假設(shè)檢驗

三、假設(shè)檢驗的兩類錯誤一、假設(shè)檢驗的基本原理此時常常作出適當?shù)募僭O(shè),然后進行試驗或觀測,得到統(tǒng)計樣本,構(gòu)造統(tǒng)計方法進行判斷,以在實際工作中常會遇到這樣的問題：（1）某藥物在改進工藝后的療效是否有提高？（2）假定總體服從某種分布是否成立？如何通過抽檢的樣本對上述問題做出判斷？決定是否接受這個假設(shè).假設(shè)檢驗就是這樣一種統(tǒng)計推斷方法，根據(jù)樣本提供的信息對所提出的假設(shè)作出判斷:是接受,還是拒絕.假設(shè)檢驗參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗總體分布已知，檢驗關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知時的假設(shè)檢驗問題且只考慮正態(tài)總體期望方差的檢驗.我們討論對參數(shù)的假設(shè)檢驗,請看下面的例子生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？罐裝可樂的容量服從正態(tài)分布,標準容量為350毫升,標準差為2.通常的辦法是進行抽樣檢查.很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常,停產(chǎn)損失很大.當然也不能總認為正常，有了問題不能及時發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗面對的就是這種矛盾.如抽查5罐，得5個容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.它的對立假設(shè)是：稱H0為原假設(shè)（或基本假設(shè)或零假設(shè)）；稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實際工作中，往往把著重考察且便于處理的假設(shè)作為原假設(shè).H0：（

=350)H1：由抽樣，我們可以認為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，現(xiàn)在要檢驗的假設(shè)是：那么，如何判斷原假設(shè)H0是否成立呢？較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來確定？較小時，可以認為H0是成立的；當-

||生產(chǎn)已不正常.當較大時，應(yīng)認為H0不成立，即-

||由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距來判斷H0是否成立.-

||問題歸結(jié)為對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機誤差它反映了偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機波動.然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”問題是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限.如何給出這個量的界限？這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則：小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？在假設(shè)檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據(jù)實際情況而定。罐裝可樂的標準容量為350毫升,標準差為2,一批可樂出廠前應(yīng)進行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？提出假設(shè)選檢驗統(tǒng)計量~N(0,1)H0：

H1：≠350由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點的值，使故我們可以取拒絕域(否定域)為:也就是說,“”是一個小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0；否則，不能拒絕H0.稱為臨界值.如果H0是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個小概率事件.如果該統(tǒng)計量的實測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認為H0不可信而否定它.

否則我們就不能否定H0（只好接受它）.這里所依據(jù)的邏輯是：不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗又叫“顯著性檢驗”在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設(shè)檢驗的基本思想和方法.下面，我們再結(jié)合另一個例子，進一步說明假設(shè)檢驗的一般步驟.二、假設(shè)檢驗的一般步驟

例2某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布

未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?a=0.01…分析：這批產(chǎn)品(螺釘長度)的全體組成問題的總體X.現(xiàn)在要檢驗E(X)是否為32.5.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322故不能拒絕H0,即不能認為產(chǎn)品不合格.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量t的實測值,|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域

注意:這并不意味著H0一定對，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.假設(shè)檢驗會不會犯錯誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生三、假設(shè)檢驗的兩類錯誤如果H0成立，但統(tǒng)計量的實測值落入否定域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯誤.

如果H0不成立，但統(tǒng)計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯誤.請看下表

假設(shè)檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.

兩類錯誤的概率的關(guān)系兩類錯誤是互相關(guān)聯(lián)的，當樣本容量固定時，一類錯誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯誤概率的增加.要同時降低兩類錯誤的概率或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.1.方差已知,對期望值的檢驗步驟(u檢驗)(1)提出待檢假設(shè)H0:m=m0(已知);(2)選取樣本(X1,...,Xn)的統(tǒng)計量,如H0成立,則四、一個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(3)根據(jù)檢驗水平a,查表確定臨界值,使 P(|U|>

)=a,即F

(

)=1-a/2；(4)根據(jù)樣本觀察值,計算統(tǒng)計量U的值u并與臨界值比較；(5)若|u|>,則否定H0,否則接收H0。例3根據(jù)長期經(jīng)驗和資料的分析,某磚瓦廠生產(chǎn)磚的“抗斷強度”x服從正態(tài)分布,方差s2=1.21.從該廠產(chǎn)品中隨機抽取6塊,測得抗斷強度如下(單位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03;檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?對給定的a=0.05,要使P(|U|>

)=a,即F

(

)=1-a/2;查表得

=1.96.計算出樣本值U為：拒絕原假設(shè)！解：設(shè)H0:m=32.50.若H0正確,則樣本(X1,...,X6)來自正態(tài)總體N(32.50,1.12),令即這批磚的平均抗斷強度為32.50不成立。2.方差σ2未知,對期望μ的檢驗（t檢驗）(1)提出待檢假設(shè)H0:m=m0(未知);

(2)選取樣本(X1,...,Xn)的統(tǒng)計量,如H0成立,則(3)根據(jù)檢驗水平a,查表確定臨界值ta,使 P(|T|>ta)=a;(4)根據(jù)樣本觀察值計算統(tǒng)計量T的值t并與臨界值ta比較;(5)若|t|>ta則否定H0,否則接收H0。例4從1975年的新生兒中隨機地抽取20個,測得其平均體重為3160克,樣本標準差為300克.而根據(jù)過去統(tǒng)計資料,新生兒平均體重為3140克.問現(xiàn)在與過去的新生兒體重有無顯著差異(假設(shè)新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01)故接受原假設(shè)：體重無差異。如果H0成立,則解：假設(shè)H0:m=3140.

3.關(guān)于方差σ2的檢驗(檢驗)(1)建立待檢假設(shè)H0:s2=s02;(2)如H0成立,則(3)由給定的檢驗水平a查表求ca2,cb2滿足:(4)計算c2的值與ca2,cb2比較;(5)若c2>cb2或c2<ca2拒絕H0否則接收H0.例5某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)對操作工藝進行了改進,從中抽取5爐鐵水測得含碳量數(shù)據(jù)如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

據(jù)此是否