離散傅里葉變換

第3章離散傅里葉變換3.1傅里葉變換的幾種形式3.2離散傅里葉級(jí)數(shù)3.3離散傅里葉變換3.4頻域采樣理論3.5DFT的應(yīng)用傅里葉生平1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉變換是在傅里葉正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，傅里葉變換建立了以時(shí)間t為自變量的“信號(hào)”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”（頻譜）之間的某種變換關(guān)系，可以將信號(hào)從時(shí)域映射到頻域。由于采用頻域分析方法較之經(jīng)典的時(shí)域方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)，傅里葉分析方法已經(jīng)成為信號(hào)分析與系統(tǒng)設(shè)計(jì)不可缺少的重要工具?？紤]到信號(hào)時(shí)域和頻域都有連續(xù)和離散兩種情況，因此存在四種形式的傅里葉變換對(duì)。到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種形式的傅里葉變換：（1）周期連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，這個(gè)周期連續(xù)信號(hào)的頻譜系數(shù)在頻域上是離散的、非周期的。（2）非周期連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換，這個(gè)傅里葉變換的結(jié)果在變換域的頻譜是連續(xù)的、非周期的。（3）非周期離散序列的離散時(shí)間傅里葉變換，這種傅里葉變換的頻譜是連續(xù)的、周期的。其中，第一種和第二種變換都是針對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的，而第三種變換是針對(duì)離散時(shí)間信號(hào)的。回想這三種傅里葉變換，我們不難驗(yàn)證，通過傅里葉變換或傅里葉逆變換后，時(shí)域中的一個(gè)周期函數(shù)對(duì)應(yīng)頻域中的一個(gè)離散序列，時(shí)域中的一個(gè)非周期函數(shù)對(duì)應(yīng)頻域中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，反過來也是一樣，即周期離散非周期連續(xù)以上三種傅里葉變換，盡管在理論上有重要意義，但在實(shí)際中往往難于實(shí)現(xiàn)，尤其在數(shù)字計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是困難的，因?yàn)樗鼈兛傆幸粋€(gè)域是連續(xù)的。為此我們需要一種時(shí)域和頻域上都是離散的傅里葉變換對(duì)，這就是離散傅里葉變換，簡(jiǎn)稱DFT。離散傅里葉變換的導(dǎo)出可以有各種方法，比較方便、同時(shí)物理意義也比較清楚的是從離散傅里葉級(jí)數(shù)著手。由于時(shí)域和頻域都是離散的，因而這種傅里葉變換對(duì)有其特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)使離散傅里葉變換在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)存在一些特殊問題，因此有必要對(duì)它們進(jìn)行仔細(xì)的了解。離散傅里葉變換由于有快速計(jì)算方法，因而不僅有理論意義，也有實(shí)際意義，在數(shù)字信號(hào)處理實(shí)現(xiàn)中起著重要的作用。為了對(duì)各種形式的傅里葉變換有個(gè)總體認(rèn)識(shí)，我們?cè)谶@一章的開始首先回顧各種傅里葉變換，這樣也就明確了DFT在傅里葉變換中所占的地位和研究DFT的目的。然后，我們?cè)倭私釪FT是怎樣導(dǎo)出的，為此我們先講述離散傅里葉級(jí)數(shù)，在得到DFS之后，DFT也就隨之得到了。接下來，我們要研究DFT的性質(zhì)和應(yīng)用，最后還要講述DFT解決具體問題時(shí)所遇到的一系列技術(shù)性問題，這是這一部分的難點(diǎn)。3.1傅里葉變換的幾種形式3.1.1連續(xù)時(shí)間、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3.1.2連續(xù)時(shí)間、非周期信號(hào)的傅里葉變換3.1.3離散時(shí)間、非周期信號(hào)的傅里葉變換3.1.4離散時(shí)間、周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)在深入討論離散傅里葉變換DFT之前，先概述四種不同形式的傅里葉變換對(duì)。一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)直流分量基波分量n=1

諧波分量n>13.1.1連續(xù)時(shí)間、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)周期信號(hào)的頻譜Fn為展開式中各頻率分量的幅度，一般是復(fù)函數(shù)二、復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)頻譜的數(shù)學(xué)表達(dá)式信號(hào)的頻譜:振幅譜,相位譜.f(t)tT解:(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)為0)例1：計(jì)算下圖傅里葉級(jí)數(shù)和頻譜(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)時(shí)為0)單邊譜和雙邊譜三、三角函數(shù)級(jí)數(shù)與復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)的關(guān)系由前知由歐拉公式其中引入了負(fù)頻率指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系積分區(qū)間不一樣，[0,T];[-T,0]雙邊傅里葉級(jí)數(shù)單邊傅里葉級(jí)數(shù)3.1.1連續(xù)時(shí)間、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)傅立葉系數(shù)Fk表示組成周期信號(hào)f(t)的各個(gè)復(fù)指數(shù)分量之復(fù)數(shù)幅度傅立葉系數(shù)Fk表示組成周期信號(hào)f(t)的各個(gè)復(fù)指數(shù)分量之復(fù)數(shù)幅度傅立葉系數(shù)Fn表示組成周期信號(hào)x(t)的各個(gè)復(fù)指數(shù)分量之復(fù)數(shù)幅度周期信號(hào)的幅度譜只會(huì)出現(xiàn)在離散頻率點(diǎn)上，這種譜稱為離散譜，它是周期信號(hào)頻譜的主要特點(diǎn)。圖3-1連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉變換對(duì)示意圖可以看出，對(duì)于一個(gè)以T為周期的周期矩形脈沖信號(hào)，可以利用傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式方便地分析出其離散頻譜?；l越低（即周期T越長(zhǎng)）其頻譜的譜線越密。對(duì)于一個(gè)周期信號(hào)，一般可以分解成直流分量、基波和無窮多個(gè)高次諧波分量的疊加。各次諧波的頻率是基頻的整數(shù)倍；各次諧波的振幅一般也不同，通常高次諧波分量的幅值較小。3.1.2連續(xù)時(shí)間、非周期信號(hào)的傅里葉變換此外需要指出的是，從頻譜圖可以看出，非周期信號(hào)的頻率成分遍布整個(gè)頻率軸，但信號(hào)的能量主要集中在頻譜函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)的頻率范圍上?？茖W(xué)界通常規(guī)定這個(gè)頻率范圍為信號(hào)的頻帶寬度，簡(jiǎn)稱帶寬，記為其中τ為脈沖寬度，也就是信號(hào)的持續(xù)時(shí)間。很明顯，信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與其頻帶寬度成反比。這就是為什么如果我們?yōu)榱颂岣咝盘?hào)傳輸速率，即壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，就必須拓寬傳輸線路的帶寬?？梢姡侵芷谛盘?hào)（如單個(gè)矩形脈沖）的頻譜是連續(xù)曲線。與相應(yīng)的周期函數(shù)（如周期矩形脈沖）的離散頻譜的包絡(luò)變化一致。再一次顯示周期函數(shù)與非周期函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。3.1.3離散時(shí)間、非周期信號(hào)的傅里葉變換表3-1 三種傅里葉變換形式的歸納

時(shí)

域頻

域FS連續(xù)，周期離散，非周期FT連續(xù)，非周期連續(xù)，非周期DTFT離散，非周期連續(xù)，周期將以上三種傅里葉變換時(shí)域和頻域?qū)?yīng)關(guān)系歸納為表3-1。3.1.4離散時(shí)間、周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)前面討論的三種傅里葉變換對(duì)，都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況，這就是離散傅里葉級(jí)數(shù)（變換）（DFS）。根據(jù)以上討論，時(shí)域離散信號(hào)其頻譜具有周期性，同時(shí)為使頻域離散，則信號(hào)時(shí)域必須具有周期性。因此，DFS必是一種時(shí)域、頻域均為離散和周期的一種傅里葉變換。3.2離散傅里葉級(jí)數(shù)3.2.1離散傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)3.2.2離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)3.2.1離散傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)

正如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示一樣，離散周期序列也可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)表示，也就是用周期為N的復(fù)指數(shù)序列來表示。

表3-2表示了連續(xù)周期信號(hào)與離散周期序列的復(fù)指數(shù)對(duì)比。表3-2

連續(xù)周期信號(hào)與離散周期序列的復(fù)指數(shù)對(duì)比連續(xù)周期函數(shù)FS（3-1）離散周期序列DFS（3-7）科學(xué)上定義為離散時(shí)間周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)（DFS），記為其逆變換即上述兩式構(gòu)成一個(gè)離散周期信號(hào)的離散傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)。它們都是以N為周期的離散周期序列。注意：離散傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）由于是有限項(xiàng)求和，所以總是收斂的時(shí)域、頻域都具有離散、周期特性。圖3-2的幅度特性可見，離散時(shí)間周期序列的頻譜也是頻域的離散周期序列。離散傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)周期序列實(shí)現(xiàn)了時(shí)域離散和頻域離散的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3.2.2離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的性質(zhì)1．線性2．移位特性3．周期卷積3.3

離散傅里葉變換（DFT）--有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示3.3.1從離散傅里葉級(jí)數(shù)到離散傅里葉變換3.3.2DFT和Z變換、DTFT之間的關(guān)系3.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.1從離散傅里葉級(jí)數(shù)到離散傅里葉變換由上一節(jié)的討論可知，周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因而它和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長(zhǎng)序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。

一.預(yù)備知識(shí)

1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式如果，

m為整數(shù)；則有：此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)。

例如：

(1)(2)先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算;而 視作將周期延拓。2.二.有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列的關(guān)系

=,0nN-10,其他n周期序列是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓。有限長(zhǎng)序列x(n)是周期序列的主值序列。圖3-4有限長(zhǎng)序列及其周期延拓定義從n=0到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系同樣，周期序列是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。而有限長(zhǎng)序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義:,0kN-1,0nN-1或者：注意：DFT適應(yīng)于有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)，離散傅里葉變換X(k)仍然是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。例3-23.3.2DFT和Z變換、DTFT之間的關(guān)系圖3-5DFT與Z變換和序列傅里葉變換的關(guān)系圖3-6幾種幅度特性曲線3.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè)1．線性（3-24）式中，a，b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。若兩個(gè)序列長(zhǎng)度不等，取長(zhǎng)度最大者，將短的序列通過補(bǔ)零加長(zhǎng)，注意此時(shí)DFT與未補(bǔ)零的DFT不相等。2．圓周移位（1）圓周移位定義。圖3-7圓周移位過程示意圖（N=6）（2)時(shí)域圓周移位定理（2)時(shí)域圓周移位定理3．圓周卷積圖3-8圓周卷積示意圖(N=7)4．共軛對(duì)稱性（1）圓周共軛對(duì)稱和圓周共軛反對(duì)稱（2）實(shí)序列DFT的對(duì)稱性（3）任意序列DFT的對(duì)稱性3.4頻域采樣理論3.4.1頻域采樣3.4.2內(nèi)插恢復(fù)離散傅里葉變換相當(dāng)于信號(hào)傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說離散傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了頻域的采樣，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？能否由頻域采樣值來恢復(fù)原來的信號(hào)（或頻率函數(shù)），其限制條件是什么，內(nèi)插公式又是什么？這是我們這一節(jié)要討論的問題。3.4.1頻域采樣圖3-10頻域采樣點(diǎn)數(shù)N<M時(shí)頻域恢復(fù)情況示意圖3.4.2內(nèi)插恢復(fù)圖3-11內(nèi)插函數(shù)的零極點(diǎn)圖3-12內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性(N=5)內(nèi)插函數(shù)的另一重要特點(diǎn)是具有分段線性相位特性。圖3-13由內(nèi)插函數(shù)求頻率響應(yīng)的示意圖3.5DFT的應(yīng)用3.5.1用DFT計(jì)算線性卷積3.5.2用DFT進(jìn)行頻譜分析3.5.1用DFT計(jì)算線性卷積1．用圓周卷積計(jì)算線性卷積的條件（1）線性卷積（2）圓周卷積圖3-14有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積2．實(shí)現(xiàn)框圖圖3-15圓周卷積代替線性卷積的實(shí)現(xiàn)框圖3.5.2用DFT進(jìn)行頻譜分析

DFT實(shí)現(xiàn)了頻域采樣，同時(shí)DFT存在快速算法，所以在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用計(jì)算機(jī)，用DFT來逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，進(jìn)而分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。時(shí)域連續(xù)信號(hào)DFT分析的基本步驟如圖3-16所示。圖3-16時(shí)域連續(xù)信號(hào)DFT分析的基本步驟所謂信號(hào)的譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，這使其應(yīng)用受到限制；而DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，成為分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。1．用DFT對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行譜分析圖3-17用DFT方法分析連續(xù)信號(hào)頻譜的原理示意圖用DFT逼近連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換過程中，除了對(duì)幅度的線性加權(quán)外，還用到了抽樣與截?cái)嗟姆椒?，因此也?huì)帶來一些可能產(chǎn)生的問題，使譜分析產(chǎn)生誤差。如混疊效應(yīng)、截?cái)嘈?yīng)、柵欄效應(yīng)等。2．用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題（1）混疊效應(yīng)利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，為避免混疊失真，要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則fs≥2fc（3-67）其中fs為抽樣頻率，fc為信號(hào)最高頻率（即譜分析范圍）。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高，這意味著通常需要知道原始信號(hào)的頻譜范圍，以確定采樣頻率。但很多情況下可能無法預(yù)計(jì)信號(hào)頻率，為確保無混疊現(xiàn)象，可以在采樣前利用一模擬低通濾波器將原始信號(hào)的上限頻率限制在采樣頻率fs的一半，這種濾波器被稱為抗混疊濾波器。（2）截?cái)嘈?yīng)在實(shí)際中，要把觀測(cè)的信號(hào)x(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。圖3-18矩形窗函數(shù)的幅度譜圖3-20柵欄效應(yīng)用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析時(shí)，一般要考慮兩方面的問題：第一，頻譜分析范圍；第二，頻率分辨率。頻譜分析范圍由采樣頻率fs決定。前面已經(jīng)敘述，為減小混疊失真，通常要求。采樣頻率fs越高，頻譜分析范圍越寬，但在單位時(shí)間內(nèi)采樣點(diǎn)增多，要儲(chǔ)存的數(shù)據(jù)量加大，計(jì)算量也越大。