畫法幾何土木工程制圖第二章直線

1畫法幾何及土木工程制圖第二章直線（第五版）2目錄§2-1直線的投影

§2-2直線上的點(diǎn)

§2-3直線的傾角和直線段的實(shí)長(zhǎng)

§2-4各種位置直線的投影

§2-5兩直線的相對(duì)位置

§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

§2-7直線的輔助投影3§2-1直線的投影

確定一直線只需要兩個(gè)點(diǎn)，故畫一直線的投影，只需知道直線上兩點(diǎn)的投影，即可連成直線的投影。

直線的投影一般情形下仍為直線。點(diǎn)擊2次4§2-2直線上的點(diǎn)

一、直線上的點(diǎn)

從屬性：直線上的點(diǎn)其投影必在直線的同面投影上。定比性：直線線段上一點(diǎn)把線段分成兩段，其長(zhǎng)度之比，等于這兩段在同一投影面上的投影長(zhǎng)度之比。

ac∶cb=a'c'∶c'b'=a"c"∶c"b"=AC∶CB

點(diǎn)擊2次5§2-2直線上的點(diǎn)

例2-1

已知線段EF的兩投影，試在其上取一點(diǎn)K,使EK∶KF=3∶4。

解：

動(dòng)畫6§2-2直線上的點(diǎn)

二、直線的跡點(diǎn)

直線與投影面的交點(diǎn)稱為直線的跡點(diǎn)。直線與H面的交點(diǎn)叫水平跡點(diǎn)，記作M;它與V面的交點(diǎn)叫正面跡點(diǎn)，記作N;它與W面的交點(diǎn)叫側(cè)面跡點(diǎn)，記作S。根據(jù)直線與投影面的傾斜狀態(tài)的不同，它可能有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)跡點(diǎn)。7§2-2直線上的點(diǎn)

跡點(diǎn)投影的兩個(gè)特征：

（1）跡點(diǎn)在所屬投影面上的投影就是跡點(diǎn)本身；（2）跡點(diǎn)的其他投影必在直線的相應(yīng)投影與投影軸的相交處。

直線經(jīng)過跡點(diǎn)到了投影面的另一側(cè)，進(jìn)到了另一分角或卦角。點(diǎn)擊1次8§2-2直線上的點(diǎn)

直線在其兩相鄰跡點(diǎn)之間的部分，必處在同一分角或卦角內(nèi)，這部分直線段上所有點(diǎn)的同名坐標(biāo)值的正、負(fù)號(hào)相同。9§2-3直線的傾角和直線段的實(shí)長(zhǎng)

一、傾角和實(shí)長(zhǎng)

空間直線與某投影面的夾角，稱為直線對(duì)該投影面的傾角，分別用α

、β、γ表示

。

直線段的真實(shí)長(zhǎng)度稱為實(shí)長(zhǎng)，標(biāo)為TL

。

直線的各投影與投影軸的夾角一般都不反映直線的傾角，各投影也不反映線段的實(shí)長(zhǎng)。點(diǎn)擊2次10§2-3直線的傾角和直線段的實(shí)長(zhǎng)

二、直角三角形法

求任意傾斜直線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角的基本方法是直角三角形法。下圖表示它的原理和作圖過程。點(diǎn)擊2次11§2-3直線的傾角和直線段的實(shí)長(zhǎng)

例2-2

已知直線CD

的正面投影c'd'和點(diǎn)C

的水平投影c，且知直線CD

對(duì)H面的傾角α=30°，求作線段CD

的H

面投影。

解：

點(diǎn)擊后自動(dòng)演播12§2-4各種位置直線的投影

一、直線與投影面的相對(duì)位置

這里的“位置”是指直線在投影面體系中對(duì)于投影面的放置狀態(tài)，并非指直線對(duì)投影面的遠(yuǎn)近、高低等線性度量關(guān)系。投影面平行線

投影面垂直線

一般位置直線（任意傾斜直線）鉛垂線正垂線側(cè)垂線

水平線正平線側(cè)平線

點(diǎn)擊3次13

投影面垂直線和投影平行線，統(tǒng)稱為特殊位置直線。

§2-4各種位置直線的投影

投影面垂直線的投影特征:

在所垂直的投影面上積聚成一點(diǎn)，其他兩個(gè)投影垂直于相應(yīng)的投影軸，并且反映線段的實(shí)長(zhǎng)。

二、各種類型直線的投影特征14

α=90°

M

有傾角

β=0°

跡點(diǎn)

N

無

γ=0°

S

無§2-4各種位置直線的投影鉛垂線（⊥H）點(diǎn)擊1次15

§2-4各種位置直線的投影正垂線（⊥V）

α=0°M

無傾角

β=90°跡點(diǎn)

N

有

γ=0°S

無點(diǎn)擊1次16§2-4各種位置直線的投影

α=0°M

無傾角

β=0°跡點(diǎn)

N

無

γ=90°S

有側(cè)垂線（⊥W）點(diǎn)擊1次17§2-4各種位置直線的投影

在所平行的投影面上反映實(shí)長(zhǎng)，并且反映與其他兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角，其他兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸（同時(shí)垂直于第三條投影軸）。投影面平行線的投影特征：點(diǎn)擊2次18

§2-4各種位置直線的投影a'b'∥OX軸，長(zhǎng)度縮短ab傾斜，反映實(shí)長(zhǎng)、β和γ角a"b"∥OYW軸，長(zhǎng)度縮短投影特征水平線

（∥H）

α=0°M

無傾角

β有跡點(diǎn)

N

有

γ有

S

有點(diǎn)擊1次19

投影特征

α有

M

有傾角

β=0°

跡點(diǎn)

N

無

γ有

S

有正平線

（∥V）a'b'

傾斜，反映實(shí)長(zhǎng)、α和γ角ab

∥OX軸，長(zhǎng)度縮短a"b"∥OZ軸，長(zhǎng)度縮短§2-4各種位置直線的投影點(diǎn)擊1次20§2-4各種位置直線的投影a'b'∥OZ軸，長(zhǎng)度縮短ab∥OYH軸，長(zhǎng)度縮短a"b"

傾斜，反映實(shí)長(zhǎng)、α和β角投影特征側(cè)平線

（∥W）

α有

M

有傾角

β=0°

跡點(diǎn)

N

有

γ有

S

無點(diǎn)擊1次21§2-4各種位置直線的投影

三個(gè)投影都是縮短了的傾斜線段。任意傾斜直線的投影特征：22§2-5兩直線的相對(duì)位置

直線的相對(duì)位置關(guān)系有三種情況：平行、相交、交錯(cuò)（交叉）。

點(diǎn)擊3次平行相交交錯(cuò)23§2-5兩直線的相對(duì)位置

空間平行的兩直線，其所有的同面投影都各自保持平行關(guān)系。

反之，若三面體系中兩直線的所有同面投影都各自保持平行關(guān)系，則空間兩直線平行。

一、兩直線平行點(diǎn)擊1次24§2-5兩直線的相對(duì)位置

只要有一組同面投影不平行，空間兩直線就不平行。

注意：一般情況下，只要檢查兩組同面投影就能判斷出兩直線是否平行。對(duì)于平行于同一投影面的兩直線，則需要求出它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队?，或根?jù)兩直線共面、定比等關(guān)系才能進(jìn)行判斷。一對(duì)水平線必須有水平投影參與檢查一對(duì)側(cè)平線必須有側(cè)面投影參與檢查25§2-5兩直線的相對(duì)位置

兩直線相交，有一個(gè)共有點(diǎn)，即交點(diǎn)。所以各投影應(yīng)相交，且交點(diǎn)是同一點(diǎn)的投影,故應(yīng)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。二、兩直線相交

各投影都相交，投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，所以AB與CD相交。雖然投影也相交，但投影的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，故EF和GH不相交。點(diǎn)擊2次26§2-5兩直線的相對(duì)位置例2-3

試判斷兩直線AB和CD是否相交。解：

各投影的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，所以兩直線不相交。點(diǎn)擊1次27§2-5兩直線的相對(duì)位置

例2-4

已知平行兩直線AB、CD，試作一直線KL與AB、CD都相交，且該直線距H面為10。

解：

點(diǎn)擊后自動(dòng)演播28§2-5兩直線的相對(duì)位置

若兩直線既不平行也不相交，那必然是交錯(cuò)兩直線，也稱交叉兩直線，即異面直線。下面這些都是交錯(cuò)直線。

交錯(cuò)直線同面投影的交點(diǎn)是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影，對(duì)此重影需進(jìn)行可見性判斷。三、兩直線交錯(cuò)29§2-5兩直線的相對(duì)位置

例2-5

試判斷交錯(cuò)兩直線AB、CD之重影的可見性。

解：

已知點(diǎn)擊后自動(dòng)演播yⅡ＞yⅠ，所以2'可見，1'不可見。zⅣ>zⅢ，所以4可見，3不可見。30§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

當(dāng)相交兩直線平行于同一投影面時(shí)，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队?，反映兩直線夾角的真實(shí)大小。而當(dāng)它們都是任意傾斜狀態(tài)時(shí)，兩直線間的夾角通常情況下不能在其投影上如實(shí)反映出來。

31§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

對(duì)于互相垂直的二直線，只要其中之一平行于某個(gè)投影面，那么，它們?cè)谀莻€(gè)投影面上的投影就反映垂直關(guān)系。逆定理也成立。

直角投影法則:點(diǎn)擊1次32§2-6一邊平行于投影面的直角的投影證明：AB∥H，∴

AB⊥Bb

又

AB⊥BC，∴

AB⊥BbcC又

ab∥AB，∴ab⊥BbcC,∴ab⊥bc即

∠abc=90°33§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

直角投影法則不僅適用于相交垂直的兩直線，也適用于交錯(cuò)垂直的兩直線。下面都是符合直角投影法則的投影圖。34§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

例2-6

試補(bǔ)全矩形ABCD的兩面投影圖。

解：動(dòng)畫已知求解過程看動(dòng)畫35§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

例2-7

已知點(diǎn)A和水平線BC的投影，試求點(diǎn)A至直線BC的距離。

解：動(dòng)畫ΔΔ36§2-7直線的輔助投影

作輔助投影的目的：輔助投影或者它能表明形體的真實(shí)形狀、大小，或者它能簡(jiǎn)化某些空間幾何問題的求解。

為求直線的輔助投影，只需求出直線上兩個(gè)點(diǎn)的輔助投影，將它們連接起來就得到了直線的輔助投影。

37

在第一章里已經(jīng)解決了點(diǎn)的輔助投影的求法，本章需要解決的問題是如何設(shè)置輔助投影面。設(shè)置輔助投影面的原則是：輔助投影面一定要垂直于原有兩面體系中的一個(gè)投影面，且使輔助投影有利于解決預(yù)定的問題。輔助投影面的設(shè)置在投影圖上表現(xiàn)為如何選擇輔助投影軸。如何選擇輔助投影軸才能使輔助投影滿足解決問題的需要？下面就圍繞這個(gè)目標(biāo)舉出一些例子。§2-7直線的輔助投影38§2-7

直線的輔助投影

例2-8

求任意傾斜線段AB

的實(shí)長(zhǎng)及水平傾角α。

解：AB平行于V時(shí)其正面投影才能反映線段的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)H投影面的傾角，所以需要建立V1輔助投影面垂直于H并平行于AB，于是在投影圖上就應(yīng)為O1X1與ab平行。點(diǎn)擊后自動(dòng)演播TL39§2-7直線的輔助投影

例2-9

求點(diǎn)C到正平線AB的距離。

解：當(dāng)AB的投影積聚成一點(diǎn)時(shí)，C到AB的距離可在投影圖上直接量出。為此，應(yīng)建立H1投影面使垂直于V和AB，投影圖上就表現(xiàn)為作O1X1垂直于a'b'