高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量 第2章過(guò)關(guān)檢測(cè)

第2章過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1.化簡(jiǎn)()+()+的結(jié)果為()A. B.C. D.答案B解析運(yùn)用向量加法的多邊形法則運(yùn)算求解.2.(2023·廣東汕頭一模)已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),則b=()A.(1,2) B.(1,-2) C.(5,6) D.(2,0)答案B解析a=(1,2),2a+b=(3,2),則b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(3-2,2-4)=(1,-2),故選B.3.若a=(2,3),b=(4,-1+y),且a∥b,則y等于() 答案A解析∵a∥b,∴2(-1+y)-3×4=0,∴y=7.4.已知|a|=6,e為單位向量,當(dāng)a,e的夾角為120°時(shí),a·e等于() 答案D解析a·e=|a|·|e|·cos120°=6×=-3.5.關(guān)于平面向量a,b,c,有下列三個(gè)命題:①若a·b=a·c,則b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,則k=-3;③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60°.其中是真命題的為()A.① B.①② C.② D.②③答案C解析當(dāng)a=0時(shí),①不成立;對(duì)于②,若a∥b,則-2k=6,∴k=-3,②成立;對(duì)于③,由于|a|=|b|=|a-b|,則以|a|,|b|為鄰邊的平行四邊形為菱形,如圖.∠BAD=60°,=a+b,由菱形的性質(zhì)可知,a與a+b的夾角為∠DAC=30°.6.導(dǎo)學(xué)號(hào)51820236(2023·全國(guó)丙高考)已知向量,則∠ABC=()° ° ° °答案A解析因?yàn)?所以.又因?yàn)?||·||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC=cos∠ABC,所以cos∠ABC=,即∠ABC=30°.故選A.二、填空題7.若向量a,b滿足|a|=|b|=1,a與b的夾角為120°,則a·a+a·b=.

答案解析a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos120°=.8.△ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,=m(),則實(shí)數(shù)m=.

答案1解析設(shè)△ABC是直角三角形,∠C=90°,則H與C重合,O為AB的中點(diǎn),,故m=1.9.如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若,則的值是.

答案解析由,得·()=,即.又∵,∴=0.∴.故=()·()==0+·()+|2+0=+2=-||2+2=-2+2=.10.導(dǎo)學(xué)號(hào)51820237O為△ABC中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM=2,則·()的最小值是.

答案-2解析設(shè)||=x,0≤x≤2,則||=2-x,如圖.由題意易得.又∵=-,∴·()=·2=2||||cos180°=-2||||=-2x(2-x)=2(x2-2x)=2(x-1)2-2.當(dāng)x=1時(shí)有最小值-2,此時(shí)O為AM的中點(diǎn).三、解答題11.(2023·山西曲沃中學(xué)高一期末)已知a=(2,1),b=(-3,-4),c⊥(a-b).(1)求2a+3b,|a-2b|;(2)若c為單位向量,求c的坐標(biāo).解(1)∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴2a+3b=(-5,-10),a-2b=(8,9),∴|a-2b|=.(2)設(shè)c=(x,y),則x2+y2=1,①∵a=(2,1),b=(-3,-4),∴a-b=(5,5).又c⊥(a-b),∴5x+5y=0,∴y=-x,②解得∴c=或c=.12.導(dǎo)學(xué)號(hào)51820238如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-5,-1),B(4,1),C(0,4).(1)求△ABC的面積.(2)若四邊形ABCD為平行四邊形,求D點(diǎn)的坐標(biāo).解(1)設(shè)AB邊上的高為CE.設(shè)E(x,y),則=(x,y-4),=(x+5,y+1),=(9,2).由于,則9x+2(y-4)=0.①由于共線,則2(x+5)-9(y+1)=0.②由①②解得.S△ABC=|||=.(說(shuō)明:本題還可用數(shù)量積去解).(2)設(shè)D(m,n),∵=(m+5,n+1),=(-4,3),又∵,∴∴D(-9,2).13.導(dǎo)學(xué)號(hào)51820239某人騎車(chē)以每小時(shí)a千米的速度向東行駛,感到風(fēng)從正北方向吹來(lái),而當(dāng)速度為2a千米/時(shí),感到風(fēng)從東北方向吹來(lái),試求實(shí)際風(fēng)速和方向.解設(shè)a表示此人以每小時(shí)a千米的速度向東行駛的向量,無(wú)風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為-a.設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,那么此人感到的風(fēng)速為v-a.如圖,設(shè)=-a,=-2a,∵,∴=v-a.這就是感到由正北方向吹來(lái)的風(fēng)速.∵,∴=v-2a.于是當(dāng)此人的速度是原來(lái)的2倍時(shí),所感受到由東北方向吹來(lái)的風(fēng)速就是.由題意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,從而,△POB為等腰直角三角形.∴PO=PB=a,即|v|=a.∴實(shí)際風(fēng)速是大小為a的西北風(fēng).14.已知平面上三個(gè)向量a,b,c,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐標(biāo);(2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ的余弦值.解(1)不妨設(shè)c=λa=(λ,2λ),則|c|2=5λ2.∵|c|=2,∴|c|2=20.∴5λ2=20,∴λ=±2.∴c