高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列 高質(zhì)作品

第二課時(shí)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1.課時(shí)目標(biāo)：搞清等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)解決數(shù)列問題，掌握等差數(shù)列和的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的方法，能夠利用等差數(shù)列的和解決實(shí)際問題.2.基礎(chǔ)預(yù)探：(1)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的有兩種形式①與②.(2)常用的等差數(shù)列前和的性質(zhì)①；②；③.（3）若數(shù)列均為等比數(shù)列，且前項(xiàng)的和分別為和，那么（4）利用等差數(shù)列求和公式解決應(yīng)用問題一般確定首項(xiàng)，公差與二、基礎(chǔ)知識(shí)習(xí)題化（1）如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）（A）15(B)16(C)49（D）64（3）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9（4）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為則= （） A．63 B．45 C．36 D．27（5）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則。三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)

等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的是關(guān)于二次函數(shù)，注意沒有常數(shù)項(xiàng)，若有常數(shù)項(xiàng)不為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和計(jì)算問題，首先要考慮等差數(shù)列的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決問題就利用性質(zhì)來解決，遇到等差數(shù)列求和的最值問題要注意利用數(shù)形結(jié)合思想來解決，在解實(shí)際問題時(shí)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵，注意確定首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)；注意把所有量都用基本量來表示，變量歸一從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，這就是基本思想與方法，樹立目標(biāo)意識(shí)，需要什么就求什么，充分合理的運(yùn)用條件，時(shí)刻注意題目的目標(biāo)往往也能取得與巧用性質(zhì)相同的效果，從而提高思維的靈活性和對(duì)知識(shí)掌握的深刻性.四、典型例題題型一有證明等差數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為且，求常數(shù)的值；證明：數(shù)列是等差數(shù)列思路導(dǎo)析：（1）分別令，可得；（2）由與的關(guān)系，分情況進(jìn)行討論，并用等差數(shù)列的的定義證明.解：（1）當(dāng)時(shí)，若,與已知矛盾，所以則，當(dāng)時(shí)，，.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，則以上相乘便得到，故是以首相，公差為的等差數(shù)列.規(guī)律總結(jié)：遇到與的關(guān)系，一般是把轉(zhuǎn)化為，一般變式訓(xùn)練1.數(shù)列，，是前項(xiàng)和，求證：是等差數(shù)列；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.題型二應(yīng)用問題例22023年“七上八下”的防汛關(guān)鍵時(shí)刻，某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24銷售后有一洪峰到達(dá)，為確保安全指揮部決定在洪峰到來之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道放線.經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛車工作24小時(shí).從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道放線？思路導(dǎo)析：因?yàn)槊扛?0分鐘到達(dá)一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道放線工程.思路導(dǎo)析：解：從第一輛車投入工作算起各車工作時(shí)間（單位：小時(shí)）依次設(shè)為，由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差.25輛翻斗車完成的工作量為：，而需要完成的工作量為.在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道放線.規(guī)律總結(jié)：利用等差數(shù)列求和公式解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是合理的轉(zhuǎn)化把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再求解，一般按審題、建模、求最值注意實(shí)際意義.變式訓(xùn)練2.若只有25輛車可以抽調(diào)，則最長(zhǎng)每隔多少分鐘就有一輛車投入工作才能在24小時(shí)內(nèi)完成任務(wù)？題型三利用等差數(shù)列和的性質(zhì)解題例3設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和分別為，若，則的值為（）C.D.思路導(dǎo)析:利用等差數(shù)列和的性質(zhì)解題，可以設(shè)出再求解.解：令，可得當(dāng)故，所以.規(guī)律總結(jié)：充分利用的等差數(shù)列的性質(zhì)解題，可以簡(jiǎn)化解題步驟，對(duì)于等差數(shù)列的前項(xiàng)和注意是的形式，遇到兩個(gè)時(shí)可以設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列的和再求通項(xiàng)來解.變式訓(xùn)練3.已知等差數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，求五、隨堂練習(xí)1.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則取最小值時(shí)，的值為（）.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）.3.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，有A、B、C、D、4.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，，則的值.5.等差，，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是___________。6.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32：27，求該數(shù)列的過公差.六、課后作業(yè)1在等差數(shù)列中，設(shè)，，，則關(guān)系為（）A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D都不對(duì)2..已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(n∈N*),若前n項(xiàng)和為9,則項(xiàng)數(shù)n為()3.已知等差數(shù)列的公差，且，則當(dāng)取得最大值時(shí)，等于4.設(shè)等差數(shù)列，，前項(xiàng)和分別為，若對(duì)任意自然數(shù)都有，則.5.在數(shù)列中，，求.6.某公司決定給員工增加工資，提出兩個(gè)方案，讓每位員工自由選擇其中一種.甲方案是公司在每年末給每位員工增資1000元；乙方案是每半年末給每位員工增資300元.你會(huì)怎樣選擇增資方案？請(qǐng)說明你的理由；若保持方案甲不變，而乙方案中每半年末的增資額改為元，問為何值時(shí)，方案乙總比方案甲增資多？（說明：①方案的選擇應(yīng)以讓自己獲得更多增資總額為準(zhǔn)；②假定員工工作年限均為整數(shù)）參考答案二、基礎(chǔ)預(yù)探：（1）【】（2）【每項(xiàng)的和成等差數(shù)列；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，滿足；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，；】（3）【】（4）【項(xiàng)數(shù)】二、基礎(chǔ)知識(shí)習(xí)題化1.【答案】C【解析】2.【答案】A【解析】.3.【答案】A【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值。4.【答案】B【解析】依題意，S3，S6-S3，S9-S6也構(gòu)成等差數(shù)列，所以=S9-S6=9+2×18=45，選擇B；5.【答案】15【解析】,解得，變式訓(xùn)練1解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，整理得即所以是以2為首項(xiàng)公差為4等差數(shù)列（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由（1）知，所以數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，令因?yàn)榈盟援?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為2.解：從第一輛車投入工作算起各車工作時(shí)間（單位：小時(shí)）依次設(shè)為，由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且.由例題的解答可知，需要完成的工作量為480.即25輛翻斗車完成的工作量需滿足條件，解得，所以最長(zhǎng)每隔24分鐘就有一輛車投入工作才能在24小時(shí)內(nèi)完成任務(wù).3.解：五、隨堂練習(xí)1【C】解析：，即，即，故選C.2.【答案】C【解析】.當(dāng)時(shí)，時(shí)成立，即.，，故選C.3.【D】解：由得，所以單調(diào)遞減最大，所以選D4.解析：，即，即.5.解：，所以，所以.6.解：由已知條件，得解得又.在列出方程組后，也可用不求出的值，而是用比例性質(zhì)求解.由，得.又，解得.六、課后作業(yè)1.選A。利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，選A.2..答案:A解析:∵=,∴前n項(xiàng)和==9,解得n=99.3.【.5或6】解析：C由，即，.當(dāng)或6時(shí)，取得最大值.4.答案：解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，又..5.解：，，即，數(shù)列是