正余弦函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

X正余弦函數(shù)的性質(zhì)奇偶性,單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo):1.理解正、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的意義；2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性;重點(diǎn):正、余弦函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn):正、余弦函數(shù)的性質(zhì)．

復(fù)習(xí):正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)

定義域值域xRy[-1,1]一、函數(shù)的奇偶性x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)設(shè)(x,y)是正弦曲線y=sinx(x∈R)上任意一點(diǎn)，即(x,sinx)是正弦曲線上的一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,-y)即(-x,-sinx)。由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx可知，這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)就是(-x,sin(-x))。它顯然也在正弦曲線上，所以正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，正弦函數(shù)是奇函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。x6yo--12345-2-3-41y=cosx(xR)設(shè)(x,y)是余弦曲線y=cosx(x∈R)上任意一點(diǎn)，即(x,cosx)是余弦曲線上的一點(diǎn)，它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y)即(-x,cosx)。由誘導(dǎo)公式cos(-x)=cosx可知，這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)就是(-x,cos(-x))。它顯然也在余弦曲線上，所以余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。偶函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函數(shù)x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性例1：判斷函數(shù)奇偶性(1)y=-sin3xx∈R(2)y=|sinx|+|cosx|x∈R(3)y=1+sinxx∈R解:(1)f(-x)=-sin［3(-x)］=-(-sin3x)=-f(x),且f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以此函數(shù)是奇函數(shù)。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以此函數(shù)是偶函數(shù)。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinxf(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)所以此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

二、正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)增區(qū)間為[，]

其值從-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0………-1010-1減區(qū)間為[，]

其值從1減至-1？？？[

+2k,

+2k],kZ[

+2k,

+2k],kZ

余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…-1010-1增區(qū)間為其值從-1增至1[

+2k,

2k],kZ減區(qū)間為，

其值從1減至-1[2k,

2k+],kZyxo--1234-2-31例2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=3sin(2x-)

單調(diào)增區(qū)間為所以：解：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間為kZkZkZkZkZkZ例3不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：又y=sinx在上是增函數(shù)sin()<sin()即：sin()–sin()>0解：cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是減函數(shù)cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

從而cos()-cos()

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南京旅行社崅銵莒練習(xí):小結(jié)：

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

奇偶性

單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）奇函數(shù)偶函數(shù)[

+2k,

+2k],kZ單調(diào)遞增[

+2k,