山西省大同市北岳中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

山西省大同市北岳中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a，b∈R，則“l(fā)og2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】“l(fā)og2a＞log2b”等價(jià)于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等價(jià)于“a＞b”，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：“l(fā)og2a＞log2b”等價(jià)于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等價(jià)于“a＞b”，∴“l(fā)og2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.設(shè)是兩條不同直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（▲）A．

B．，則C．，則

D．，則參考答案：B略3.函數(shù)的定義域是（）A．B．

C．D．參考答案：B4.已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為A．

B．C．

D．參考答案：B5.定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，、是方程的兩個(gè)根，（

）A．

B．

C．

D．參考答案：7.為正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，，則（

）(A) (B) (C) (D)參考答案：B8.要得到函數(shù)y=cos2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸（）A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】綜合題．【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)y=sin2x到函數(shù)y=cos2x的路線，即可得到選項(xiàng)．【解答】解：函數(shù)y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函數(shù)y=sin2x的圖象，向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，即可得到函數(shù)y=sin（2x+）=cos2x的圖象．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的平移．三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．注意誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)用．9.當(dāng)0＜x≤時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）參考答案：B【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將已知不等式轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題加以解決即可【解答】解：∵0＜x≤時(shí)，1＜4x≤2要使4x＜logax，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0＜a＜1，數(shù)形結(jié)合可知只需2＜logax，∴即對(duì)0＜x≤時(shí)恒成立∴解得＜a＜1故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式恒成立問(wèn)題的一般解法，屬基礎(chǔ)題10.直線x＝－1的傾斜角和斜率分別是()A．45°，1

B．135°，－1C．90°，不存在

D．180°，不存在參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，則的最小值為

；參考答案：12.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_____．參考答案：﹣22【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，利用圖形找出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)求出最小值．【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖形知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝4x﹣3y過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最小值，由，解得A（﹣4，2），代入計(jì)算z＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22，所以z＝4x﹣3y的最小值為﹣22．故答案為：﹣22．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．13.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A. B.C. D.參考答案：D令，可得圓的半徑，又，則，再根據(jù)題圖知，即．故本題答案選D．14.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）cosx，則f（﹣）=

．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】先根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式f（x）=+sin（2x+），再代值計(jì)算即可．【解答】解：f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），∴f（﹣）=+sin（2×+）=+×=故答案為：15.如圖所示，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按如下規(guī)則標(biāo)上標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)數(shù)字0，記為；點(diǎn)(1,0)處標(biāo)數(shù)字1，記為；點(diǎn)(1,－1)處標(biāo)數(shù)字0，記為；點(diǎn)(0,－1)處標(biāo)數(shù)字－1，記為；點(diǎn)(－1,－1)處標(biāo)數(shù)字-2，記為；點(diǎn)(－1,0)處標(biāo)數(shù)字－1，記為；點(diǎn)(－1,1)處標(biāo)數(shù)字0，記為；點(diǎn)(0,1)處標(biāo)數(shù)字1，記為；…以此類推，格點(diǎn)坐標(biāo)為的點(diǎn)處所標(biāo)的數(shù)字為（，均為整數(shù)），記，則

．參考答案：-24916.在執(zhí)行右邊的程序框圖時(shí)，如果輸入，則輸出___________參考答案：略17.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的b的值為31，則圖中判斷框內(nèi)①處應(yīng)填的整數(shù)為

．參考答案：4【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果，直到輸出的b的值為31，確定跳出循環(huán)的a值，從而確定判斷框的條件．【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)b=2+1=3，a=2；第二次循環(huán)b=2×3+1=7，a=3；第三次循環(huán)b=2×7+1=15，a=4；第四次循環(huán)b=2×15+1=31，a=5．∵輸出的b的值為31，∴跳出循環(huán)的a值為5，∴判斷框內(nèi)的條件是a≤4，故答案為：4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.現(xiàn)對(duì)某市工薪階層關(guān)于“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽調(diào)了50人，他們?cè)率杖氲念l數(shù)分布及對(duì)樓市“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表．

月收入（單位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812521

（Ⅰ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點(diǎn)對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度有差異；

月收入不低于55百元的人數(shù)月收入低于55百元的人數(shù)合計(jì)贊成

不贊成

合計(jì)

（Ⅱ)若對(duì)在[15，25），[25，35）的被調(diào)查中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“樓市限購(gòu)令”人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望。參考答案：解:（Ⅰ）2乘2列聯(lián)表

月收入不低于55百元人數(shù)月收入低于55百元人數(shù)合計(jì)贊成32不贊成18合計(jì)104050.所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為月收入以5500為分界點(diǎn)對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度有差異.（6分）

（Ⅱ）所有可能取值有0,1,2,3，，所以的分布列是0123所以的期望值是。

（12分）19.自由購(gòu)是一種通過(guò)自助結(jié)算購(gòu)物的形式．某大型超市為調(diào)查顧客自由購(gòu)的使用情況，隨機(jī)抽取了100人，調(diào)查結(jié)果整理如下：

20以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上使用人數(shù)312176420未使用人數(shù)003143630

（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購(gòu)的概率；（Ⅱ）從被抽取的年齡在[50,70]使用的自由購(gòu)顧客中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了解情況，求這2人年齡都在[50,60)的概率；（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu)，該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋．若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋？參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）2200【分析】（Ⅰ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在[30，50）且未使用自由購(gòu)的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）設(shè)事件A為“這2人年齡都在[50，60）”，由列舉法可得基本事件的總數(shù)為15，事件A包含的個(gè)數(shù)為6，計(jì)算可得所求值；（Ⅲ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用自由購(gòu)的有44人，計(jì)算可得所求值．【詳解】解：（Ⅰ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在[30,50)且未使用自由購(gòu)的有3+14=17人，所以隨機(jī)抽取一名顧客，該顧客年齡在[30,50)且未參加自由購(gòu)的概率估計(jì)為.（Ⅱ）設(shè)事件為“這2人年齡都在”．被抽取的年齡在的4人分別記為被抽取的年齡在的2人分別記為

從被抽取的年齡在的自由購(gòu)顧客中隨機(jī)抽取2人共包含15個(gè)基本事件，分別為事件包含6個(gè)基本事件，分別為，則．（Ⅲ）隨機(jī)抽取的100名顧客中，使用自由購(gòu)的有人，所以該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備環(huán)保購(gòu)物袋的個(gè)數(shù)估計(jì)為.【點(diǎn)睛】本題考查古典概率的求法，注意運(yùn)用列舉法和分類討論思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

20.設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝ax＋＋b(a>0).（1）求f(x)的最小值；（2）若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程為y＝x，求a，b的值.

參考答案：解:（1）(方法一)由題設(shè)和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b.其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)ax＝1.即當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最小值為2＋b.(方法二)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a－＝.當(dāng)x>時(shí)，f′(x)>0，f(x)在上遞增；當(dāng)0<x<時(shí)，f′(x)<0，f(x)在上遞減.所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最小值為2＋b.（2）f′(x)＝a－.由題設(shè)知，f′（1）＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合題意，舍去).將a＝2代入f（1）＝a＋＋b＝，解得b＝－1，所以a＝2，b＝－1.21.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分別為AP，AC的中點(diǎn)，AP=4，BE=．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEH；（Ⅱ）求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）證明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可證明AC⊥平面BEH；（Ⅱ）取BH得中點(diǎn)G，連接AG，證明∠EAG為PA與平面ABC所成的角，即可求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以BH⊥AC．…又因?yàn)镋，H分別為AP，AC的中點(diǎn)，得EH∥PC，因?yàn)椤螾CA=90°，所以EH⊥AC．…故AC⊥平面BEH．…（Ⅱ）解：取BH得中點(diǎn)G，連接AG．…因?yàn)镋H=BH=BE=，所以EG⊥BH．又因?yàn)锳C⊥平面BEH，所以EG⊥AC，所以EG⊥平面ABC．所以∠EAG為PA與平面ABC所成的角．…在直角三角形EAG中，AE=2，EG=，所以\sin∠EAG==．…所以PA與平面ABC所成的角的正弦值為．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確利用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．22.（本小題滿分12分）已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級(jí)學(xué)生，將全體四年級(jí)學(xué)生隨機(jī)按00～99編號(hào)，并且按編號(hào)順序平均分成10組．現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號(hào)按依次增加10進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.（1）若抽出的一個(gè)號(hào)碼為22，則此號(hào)碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號(hào)碼；（2）分別統(tǒng)計(jì)這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績(jī)不低于73分的學(xué)生，求被抽取到的兩名學(xué)生的成績(jī)之和不小于154分的概率．參考答案：（1）由題意，得抽出號(hào)碼為22的組數(shù)為3.

…………………3分因?yàn)?＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為02，抽出的10名學(xué)生的號(hào)碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.………6分（2）從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績(jī)不低于73分的學(xué)生，共有如下10