山西省大同市興樂中學2021-2022學年高三數學理期末試卷含解析

山西省大同市興樂中學2021-2022學年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數的部分圖象如下圖所示.則函數的解析式為

A．B．C．D．參考答案：D2.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am（0＜a＜12）、4m，不考慮樹的粗細．現在想用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD．設此矩形花圃的最大面積為S，若將這棵樹圍在花圃內，則函數S=f（a）（單位m2）的圖象大致是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數的圖象與圖象變化．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】為求矩形ABCD面積的最大值S，可先將其面積表達出來，又要注意P點在長方形ABCD內，所以要注意分析自變量的取值范圍，并以自變量的限制條件為分類標準進行分類討論．【解答】解：設AD長為x，則CD長為16﹣x又因為要將P點圍在矩形ABCD內，∴a≤x≤12則矩形ABCD的面積為x（16﹣x），當0＜a≤8時，當且僅當x=8時，S=64當8＜a＜12時，S=a（16﹣a）S=分段畫出函數圖形可得其形狀與C接近故選C．【點評】解決本題的關鍵是將S的表達式求出來，結合自變量的取值范圍，分類討論后求出S的解析式．3.(2009山東卷理)某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是(

).A.90

B.75

C.

60

D.45參考答案：A解析：產品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)×2=0.300,已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36,設樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的概率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是120×0.75=90.故選A.4.已知數列{an}為等差數列，若a12+a102≤25恒成立，則a1+3a7的取值范圍為（）A．[﹣5，5] B．[﹣5，5] C．[﹣10，10] D．[﹣10，10]參考答案：D【考點】8F：等差數列的性質．【分析】利用等差數列的性質令a1=5cosθ，a10=5sinθ（0＜θ＜），則d=（sinθ﹣cosθ），問題轉化為三角函數在定區(qū)間上求最值問題解決即可．【解答】解：由題意得，令a1=5cosθ，a10=5sinθ（0＜θ＜），則d=（sinθ﹣cosθ），∴a1+3a7=10（sinθ+cosθ）=10sin（θ+），∴a1+3a7的取值范圍為[﹣10，10]，故選：D．【點評】本題主要考查了等差數列的性質，借助三角函數，通過等價轉化思想達到解決問題的目的，要體會這種換元法的解題思路，屬中檔題．5.已知向量，的夾角為，且，||=2，在△ABC中，，D為BC邊的中點，則=（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：A考點： 向量的模．專題： 計算題．分析： 利用D為BC邊的中點，，再利用向量的模的定義求出向量的模．解答： 解：=，故選A．點評： 本題考查兩個向量的加減法的法則，兩個向量的數量積的定義，向量的模的定義，求向量的模的方法．6.已知函數（其中）的圖象如圖所示，則函數的解析式為A．

B．C．

D.參考答案：C由圖象可知,,,即，所以，所以，，即，所以，即，又，所以，所以，選C.7.設.若當時，恒成立，則實數的取值范圍是

A．

B.

C．

D.參考答案：D8.參考答案：A略9.雙曲線的離心率的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.若變量x，y滿足|x|﹣ln=0，則y關于x的函數圖象大致是（）A．B．C．D．參考答案：B考點：對數函數的圖像與性質．專題：函數的性質及應用．分析：由條件可得y=，顯然定義域為R，且過點（0，1），當x＞0時，y=，是減函數，從而得出結論．解答：解：若變量x，y滿足|x|﹣ln=0，則得y=，顯然定義域為R，且過點（0，1），故排除C、D．再由當x＞0時，y=，是減函數，故排除A，故選B．點評：本題主要考查指數式與對數式的互化，指數函數的圖象和性質的綜合應用，以及函數的定義域、值域、單調性、函數圖象過定點問題，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設全集設數列的各項均為正數，前項和為，對于任意的，成等差數列，設數列的前項和為，且，若對任意的實數（是自然對數的底）和任意正整數，總有．則的最小值為

.參考答案：2.根據題意，對于任意，總有成等差數列，則對于n∈N*，總有………………①；所以（n≥2）……②1

--②得；因為均為正數，所以（n≥2），所以數列是公差為1的等差數列，又n=1時，，解得，所以。對任意的實數，有0＜lnx＜1，對于任意正整數n，總有，所以又對任意的實數（是自然對數的底）和任意正整數，總有，所以的最小值為2.12.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，則?的值是．參考答案：22【考點】向量在幾何中的應用；平面向量數量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】由=3，可得=+，=﹣，進而由AB=8，AD=5，=3，?=2，構造方程，進而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案為：22．【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，平面向量數量積的運算，其中根據已知得到=+，=﹣，是解答的關鍵．13.已知，且，則的最小值為

.參考答案：分析：由題意首先求得a-3b的值，然后結合均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果，注意等號成立的條件.詳解：由可知，且：，因為對于任意x，恒成立，結合均值不等式的結論可得：.當且僅當，即時等號成立.綜上可得的最小值為.

14.在△ABC中，若b2=ac，∠B=，則∠A=．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】根據余弦定理求解出a，c的關系，即可判斷角A的大?。窘獯稹拷猓河蒪2=ac，，根據余弦定理cosB=，可得a2+c2=2ac，即（a﹣c）2=0，∴a=c，由b2=ac，可得a=b=c．△ABC是等邊三角形．∴A=故答案為：．15.設不等式組

所表示的平面區(qū)域為D.若圓C落在區(qū)域D中，則圓C的半徑r的最大值為________．參考答案：116.已知集合，若則的值是-------------------

。參考答案：-117.若從點O所作的兩條射線OM，ON上分別有點M1，M2與點N1，N2，則三角形面積之比為：．若從點O所作的不在同一個平面內的三條射線OP，OQ和OR上分別有點P1，P2與點Q1，Q2和R1，R2，則類似的結論為： ．參考答案：=【考點】歸納推理．【分析】本題考查的知識點是類比推理，在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．由平面中，若從點O所作的兩條射線OM，ON上分別有點M1，M2與點N1，N2，則三角形面積之比為：．（面的性質）我們可以類比在空間中相似的體的性質．【解答】解：根據類比推理的思路：由平面中面的性質，我們可以類比在空間中相似的體的性質，由若從點O所作的兩條射線OM，ON上分別有點M1，M2與點N1，N2，則三角形面積之比為：．我們可以推斷：若從點O所作的不在同一個平面內的三條射線OP，OQ和OR上分別有點P1，P2與點Q1，Q2和R1，R2則：=故答案為：=三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.斜三棱柱，其中向量,三個向量之間的夾角均為，點M,N分別在上且，=4，如右圖(1)把向量用向量表示出來，并求；(2)把向量用表示；(3)求與所成角的余弦值。參考答案：解：（1），所以，因為，所以(2),

(3),,,COS=即為AM與ON所成的角的余弦值。略19.已知A，B，C，D，E，F是邊長為1的正六邊形的6個頂點，在頂點取自A，B，C，D，E，F的所有三角形中，隨機（等可能）取一個三角形．設隨機變量X為取出三角形的面積．（Ⅰ）求概率P（X=）；（Ⅱ）求數學期望E（X）．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）取出的三角形的面積是的三角形有6種情況，由此可得結論；（Ⅱ）確定X的取值，求出相應的概率，從而可求數學期望．解答：解：（Ⅰ）由題意得取出的三角形的面積是的概率P（X=）==．…（7分）（Ⅱ）隨機變量X的分布列為XP所以E（X）=×+×+×=．…（14分）點評：本題主要考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數學期望等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識．20.（本小題滿分12分）如圖組合體中，三棱柱的側面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合一個點.（1）求證:無論點如何運動,平面平面；（2）當點是弧的中點時，求四棱錐與圓柱的體積比．參考答案：（I）因為側面是圓柱的的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合一個點，所以

…2分又圓柱母線^平面，

ì平面，所以^，又，所以^平面，因為ì平面，所以平面平面；……………6分（II）設圓柱的底面半徑為，母線長度為，當點是弧的中點時，三角形的面積為，三棱柱的體積為，三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，………10分圓柱的體積為，

四棱錐與圓柱的體積比為.………12分略21.在平面直角坐標系xOy中，過點且互相垂直的兩條直線分別與圓O：交于點A，B，與圓M：交于點C，D．（1）若，求CD的長；（2）若CD中點為E，求面積的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先由AB的長度求出圓心O到直線AB的距離，列方程求出直線AB的斜率，從而得到直線CD的斜率，寫出直線CD的方程，用垂徑定理求CD得長度；（2）△ABE的面積，先考慮直線AB、CD平行于坐標軸的情況，不平行時先由垂徑定理求出AB，再在△PME中用勾股定理求出PE，將面積S表示成直線AB斜率k的函數式，再求其范圍.【詳解】解：（1）因為AB＝，圓O半徑為2所以點O到直線AB的距離為顯然AB、CD都不平行于坐標軸可設AB：，即則點O到直線AB的距離，解得因為AB⊥CD，所以所以CD：，即點M（2,1）到直線CD的距離所以（2）當AB⊥x軸，CD∥x軸時，此時AB=4，點E與點M重合，PM=2，所以△ABE的面積S=4當AB∥x軸，CD⊥x軸時，顯然不存在，舍當AB與CD都不平行于坐標軸時由（1）知因為，所以因為點E是CD中點，所以ME⊥CD，所以所以△ABE的面積記，則則綜上所述：【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，垂徑定理求弦長，三角形面積的最值，在設直線方程時一定要先考慮斜率可能不存在的情況.22.（14分）已知橢圓E長軸的一個端點是拋物線y2=12x的焦點，且橢圓焦點與拋物線焦點的距離是1．（1）求橢圓E的標準方程；（2）若A、B是橢圓E的左右端點，O為原點，P是橢圓E上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，問是否為定值，說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．【專題】向量與圓錐曲線．【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標，得到橢圓的長