材料工程基礎(chǔ)之流體力學(xué)1

材料工程基礎(chǔ)之流體力學(xué)陳常連2011-11材料科學(xué)與工程學(xué)院4.2流體靜力學(xué)

流體靜力學(xué)就是研究平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。所謂平衡（或者說(shuō)靜止），是指流體宏觀質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到了相對(duì)的平衡。因此流體處于靜止?fàn)顟B(tài)包括了兩種形式：一種是流體相對(duì)于固結(jié)于地面的坐標(biāo)系沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，叫絕對(duì)靜止，也稱為重力場(chǎng)中的流體平衡。如盛裝在固定不動(dòng)容器中的液體。另一種是流體整體相對(duì)于某個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，則稱為相對(duì)靜止或叫流體的相對(duì)平衡。例如盛裝在作等加速直線運(yùn)動(dòng)和作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的容器內(nèi)的液體。

流體處于靜止或相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，兩者都表現(xiàn)不出黏性作用，即切向應(yīng)力都等于零。一、壓強(qiáng)：在靜止或相對(duì)靜止的流體中，單位面積上的內(nèi)法向表面力稱為壓強(qiáng)。

二、流體靜壓強(qiáng)的兩個(gè)特性：I、流體靜壓強(qiáng)垂直于其作用面，其方向指向該作用面的內(nèi)法線方向。

II、靜止流體中任意一點(diǎn)處流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)，即同一點(diǎn)各方向的流體靜壓強(qiáng)均相等。4.2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性4.2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性4

αpn

pt

p切向壓強(qiáng)靜壓強(qiáng)法向壓強(qiáng)三、特性二證明證明：在靜止流體中任取一包含A點(diǎn)在內(nèi)的微小四面體ABCD，各邊長(zhǎng)分別為dx

、dy

、dz

，坐標(biāo)如圖選取。因?yàn)槲⑿∷拿骟w處于平衡狀態(tài)，所以其上所受的力是平衡的。作用于微小四面體上的力只有質(zhì)量力的表面力有兩種。首先分析質(zhì)量力，設(shè)流體的密度為ρ，則微小四面體流體所具有的質(zhì)量為dm=ρdxdydz/6，則質(zhì)量力在x、y、z

軸上的分量為：

Fx

=dmfx=fx

ρ

dxdydz/6

Fy

=dmfy=fy

ρ

dxdydz/6

Fz

=dmfz=fz

ρ

dxdydz/64.2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性再考察微小四面體ABCD四個(gè)面上所受到的表面力，設(shè)作用于ACD、ABD、ABC和BCD四個(gè)面上的壓強(qiáng)分別為px

，py

，pz

，pn。由于四面體很小，可以認(rèn)為在各個(gè)微小表面上的壓強(qiáng)是均布的，則在各相應(yīng)表面上的表面力為

Px=dydzpx/2

Py=dxdzpy/2

Pz=dxdypz/2

Pn=dspn

式中ds為斜面BCD的面積。分別列出x軸、y軸、z軸方向上的力平衡方程式，得Fx

+

Px-Pndscos(n,x)=0Fy+

Py-Pndscos(n,y)=0Fz+

Pz-Pndscos(n,z)=0

4.2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性以x軸為例，將質(zhì)量力和表面力表達(dá)式代入x軸向的平衡關(guān)系方程得：

ρfxdxdydz/6+pxdydz/2

–pndscos(n,x)=0

式中dscos(n,x)=dydz/2，所以上式變成

ρfxdxdydz/6+(px–pn)dydz/2

=0令dx、dy、dz趨近于零則有：px=pn

同理可得：

py=pn

pz=pn所以

px

=py

=pz=pn總結(jié)：流體靜壓強(qiáng)不是矢量，而是標(biāo)量，僅是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。即：p=p(x,y,z)，由此得靜壓強(qiáng)的全微分為4.2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性4.2.2靜止流體的平衡微分方程式一、平衡微分方程式以圖示微小平行六面體為研究對(duì)象，六面體質(zhì)量為dm=ρdxdydz

首先考察三個(gè)軸向上的質(zhì)量力：

Fx

=fxdm

=fxρ

dxdydz

Fy

=fydm=fyρ

dxdydz

Fz

=fzdm=fzρ

dxdydz其次分析三個(gè)軸向上的表面力：假設(shè)A點(diǎn)的壓強(qiáng)為p(x,y,z)，則根據(jù)靜壓強(qiáng)特性二，有：

pABD=pABC=pACD=p(x,y,z)將函數(shù)p=p(x,y,z)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并只取一階無(wú)窮小量，從而得到其它對(duì)應(yīng)三個(gè)面上的壓強(qiáng)為：4.2.2靜止流體的平衡微分方程式由此得三個(gè)方向上的表面力分別為：X向Y向Z向微小六面體在三個(gè)軸向上處于平衡狀態(tài)，所以作用在其上的質(zhì)量力和表面力的合力應(yīng)為0。即：化簡(jiǎn)得：兩邊同除六面體質(zhì)量ρdxdydz

，則得單位質(zhì)量流體的力平衡方程為：4.2.2靜止流體的平衡微分方程式總結(jié)：（1）歐拉平衡微分方程式適用于任何種類的平衡流體。（2）歐拉平衡微分方程說(shuō)明了微元平衡流體的質(zhì)量力和表面力無(wú)論在任何方向上都應(yīng)該保持平衡，即：平衡流體在哪個(gè)方向上有質(zhì)量分力，則流體靜壓強(qiáng)沿該方向必然發(fā)生變化；反之平衡流體在哪個(gè)方向上沒(méi)有質(zhì)量分力，則流體靜壓強(qiáng)在該方向上必然保持不變。假如可以忽略流體的質(zhì)量力，則這種流體中的流體靜壓強(qiáng)必然處處相等。4.2.2靜止流體的平衡微分方程式二、力勢(shì)函數(shù)1、壓強(qiáng)差公式（歐拉平衡微分方程式綜合形式）把歐拉平衡微分方程式中的三個(gè)方程分別乘以dx、dy、dz

，然后相加得：

上式右邊為壓強(qiáng)的全微分，因此，2、質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)壓強(qiáng)差公式中的dp積分后得到一點(diǎn)上的靜壓強(qiáng)p，而平衡流體中任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由其坐標(biāo)唯一確定，因此壓強(qiáng)差公式左端的積分也應(yīng)該是一個(gè)唯一確定的值。4.2.2靜止流體的平衡微分方程式取函數(shù)U(x,y,z)令：則有：所以壓強(qiáng)差公式變化為：3、重力場(chǎng)中平衡流體的質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)重力場(chǎng)中單位質(zhì)量力為：fx=0,fy=0,fz=-g,

代入力勢(shì)函數(shù)公式有：積分得：U=-gz+c4.2.2靜止流體的平衡微分方程式三、等壓面及其特性1、等壓面：在靜止流體中，由壓強(qiáng)相等的點(diǎn)所組成的面。2、等壓面微分方程式

fxdx+fydy+fzdz=03、等壓面的性質(zhì)：

I、等壓面也是等勢(shì)面；II、等壓面垂直于單位質(zhì)量力；證明：取等壓面上任意微小線段dl=dxi

+dyj

+dzk，令R=fxi

+fyj

+fzk為等壓面上任意一點(diǎn)的單位質(zhì)量力，則有：4.2.2靜止流體的平衡微分方程式只有cos(R,dl)=0，上式成立，所以單位質(zhì)量力R與等壓面垂直。III、兩種互不摻混液體的分界面也是等壓面。

4.2.2靜止流體的平衡微分方程式4.2.3重力作用下靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律一、流體靜力學(xué)基本方程

4.2.3重力作用下靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律一、流體靜力學(xué)基本方程

推導(dǎo)：在重力場(chǎng)中，單位質(zhì)量力分量為：fx=0,fy=0,fz=-g

代入壓強(qiáng)差公式：得：即：對(duì)于不可壓縮流體，ρ=常數(shù)。積分得：

p+gz=c

形式一

由上圖，從均質(zhì)連續(xù)流體中取任意兩點(diǎn)1、2，假設(shè)其鉛垂坐標(biāo)分別為z1和z2

，靜壓強(qiáng)分別為p1

和p2，則上式又可寫成：p1+gz1=p2+gz2=c簡(jiǎn)單變換為：形式二或形式三上三式統(tǒng)稱為流體靜力學(xué)基本方程，又稱水靜力學(xué)基本方程。二、流體靜力學(xué)基本方程的能量意義和幾何意義（1）位置水頭（位置高度）：流體質(zhì)點(diǎn)距某一水平基準(zhǔn)面的高度.（2）壓強(qiáng)水頭（壓強(qiáng)高度）：由流體靜力學(xué)基本方程中的p/(

g)得到的液柱高度。（見(jiàn)圖3-5中的hp）（3）靜力水頭：位置水頭z和壓強(qiáng)水頭p/(

g)之和。4.2.3重力作用下靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律（4）幾何意義：在重力場(chǎng)中，對(duì)均質(zhì)連續(xù)不可壓縮靜止流體，其靜力水頭為一確定值，換句話說(shuō)靜力水頭的連線為一平行于某一基準(zhǔn)面的水平線。

（5）壓強(qiáng)勢(shì)能：流體靜力學(xué)基本方程中的p/項(xiàng)為單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能。（6）能量意義：在重力場(chǎng)中，對(duì)均質(zhì)連續(xù)不可壓縮平衡流體，任意一點(diǎn)單位質(zhì)量流體的總勢(shì)能保持不變。三、自由液面不可壓縮流體壓強(qiáng)基本公式（1）壓強(qiáng)基本公式p=p0+gh

4.2.3重力作用下靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律（2）淹深：自由液面下的深度。（3）液面壓強(qiáng)的產(chǎn)生方式：外力施加于流體表面產(chǎn)生壓強(qiáng)。一是通過(guò)固體對(duì)流體施加外力而產(chǎn)生壓強(qiáng)；二是通過(guò)氣體使液體表面產(chǎn)生壓強(qiáng)；三是通過(guò)不同質(zhì)的液體使液面產(chǎn)生壓強(qiáng)。（4）帕斯卡原理：液面壓強(qiáng)能夠在流體內(nèi)部等值傳遞的原理。hh'h4.2.3重力作用下靜止流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量一、靜壓強(qiáng)的表示方法1、大氣壓強(qiáng)(pa）：由地球表面上的大氣層產(chǎn)生的壓強(qiáng)。2、國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)(patm）：將地球平均緯度（北緯45o）,海平面z=0處，溫度為15oC時(shí)的壓強(qiáng)平均值。定義為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)。且patm=101325Pa

。3、流體靜壓強(qiáng)的表示方法表壓強(qiáng)（計(jì)示壓強(qiáng)）：表壓強(qiáng)是以大氣壓強(qiáng)為基準(zhǔn)算起的壓強(qiáng)，以pb表示。絕對(duì)壓強(qiáng)：以絕對(duì)真空為基準(zhǔn)算起的壓強(qiáng)叫絕對(duì)壓強(qiáng)，以pj表示真空度：低于大氣壓強(qiáng)，負(fù)的表壓強(qiáng)稱為真空度，以pz

表示。

3、表壓強(qiáng)、大氣壓強(qiáng)、絕對(duì)壓強(qiáng)和真空度之間關(guān)系絕對(duì)壓強(qiáng)=大氣壓強(qiáng)+表壓強(qiáng)表壓強(qiáng)=絕對(duì)壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)真空度=大氣壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)4、靜壓強(qiáng)的計(jì)量單位應(yīng)力單位：Pa、N/m2、bar液柱高單位：mH2O、mmHg標(biāo)準(zhǔn)大氣壓：1atm=760mmHg=10.33mH2O=101325Pa≈1bar

4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量大氣壓強(qiáng)（對(duì)流層：海平面-11km）:T=T0-βzp/p0=(1-βz/T0)g/(Rβ)T0=288K,p0=101325N/m2,β=0.0065K/mR=287N·m/kg·K飛機(jī)在大氣對(duì)流層中飛行，地面大氣壓強(qiáng)為100kPa,溫度為25度，若飛機(jī)上的氣壓計(jì)讀數(shù)為68000Pa，求飛機(jī)所在高度。二、壓強(qiáng)的測(cè)量1、測(cè)量?jī)x表金屬?gòu)椥允綁簭?qiáng)計(jì)：液壓傳動(dòng)中的壓力表。大量程直接觀測(cè)。電測(cè)式壓強(qiáng)計(jì)：壓力傳感器。遠(yuǎn)程動(dòng)態(tài)測(cè)量。液柱式壓強(qiáng)計(jì)：用于低壓實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所。精度高。2、測(cè)壓管測(cè)量方法：

A點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)pj

=pa+ghA點(diǎn)的表壓強(qiáng)pb=pj-pa=gh4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量3、U型測(cè)壓計(jì)

4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量測(cè)壓原理：等壓面性質(zhì)測(cè)壓公式：如圖3-8中，兩種液體的交界面上的點(diǎn)1和點(diǎn)2是等壓面，所以點(diǎn)1和點(diǎn)2的靜壓強(qiáng)相等，即p1=p2

。設(shè)A點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為pj，則有:

p1=pj+1gh1

p2=pa+2gh2

p1=p2，所以pj+1gh1=pa+2gh2A點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)：pj=pa+2gh2-1gh1

A點(diǎn)的表壓強(qiáng)：pb=pj-pa=2gh2-1gh1注意：工作液體的密度要大于被測(cè)液體的密度，并且這兩種液體不能摻混。

4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量30【例】如圖，若被測(cè)流體為水，測(cè)壓計(jì)工作介質(zhì)為水銀，水銀面高差h＝0.25m，求壓強(qiáng)差p1-p2?！窘狻繐?jù)U形測(cè)壓計(jì)的工作原理可知：4、U型差壓計(jì)4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量測(cè)試原理：存在兩個(gè)等壓面1’—2和3’—3在1’—2等壓面上有：p1=p2=p3+1gh1在3’—3等壓面上有：pB=p3+ghB

而：pA=p1+ghA即：pA=p3+1gh1+ghA=pB+1gh1+ghA-ghB

于是pA-pB=1gh1+ghA-ghB

=1gh1-g(hB-hA)=1gh1-gh1=(1-)gh14.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量5、微壓計(jì)4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量測(cè)試原理：連通容器中裝滿密度為2的液體，右邊的測(cè)管可以繞樞軸轉(zhuǎn)動(dòng)從而形成較小的銳角，容器原始液面為O—O，當(dāng)待測(cè)氣體（p>pa)引入容器后，容器液面下降h

，而測(cè)管中液面上升h，形成平衡。根據(jù)等壓面方程，有：

pj=pa+2g(h+h)表壓強(qiáng)pb

=pj-pa=2g(h+h)而h=Lsin

根據(jù)體積相等原則有：變換為：所以pb

=2gL(sinα+(d/D)2)4.2.4靜壓強(qiáng)的表示方法及其測(cè)量一、容器做勻加速直線運(yùn)動(dòng)4.2.5流體的相對(duì)靜止一、容器做勻加速直線運(yùn)動(dòng)例：如圖所示，設(shè)盛有液體的容器以等加速度a，沿與水平面成角的傾斜面做直線運(yùn)動(dòng)。試分析平衡狀態(tài)下流體的壓強(qiáng)分布情況。4.2.5流體的相對(duì)靜止解：第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；第二步：根據(jù)容器運(yùn)動(dòng)情況，確定平衡流體的單位質(zhì)量力分量：fx=0,fy=acos,fz=asin-g

第三步：根據(jù)相應(yīng)幾何關(guān)系確定等壓面方程acosdy+(asin-g)dz=0

于是：4.2.5流體的相對(duì)靜止第四步：根據(jù)壓強(qiáng)差公式，建立流體的壓強(qiáng)分布公式。由壓強(qiáng)差公式：dp=(fxdx+fydy+fzdz)得：dp=acosdy+(asin-g)dz積分得p=aycos+z(asin-g)+c其中c=p0

，于是得出p=p0+aycos+z(asin-g)

4.2.5流體的相對(duì)靜止二、勻加速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)特例[特例1]容器向左沿水平面作勻加速直線運(yùn)動(dòng)圖示坐標(biāo)系中：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力：fx=0,fy=a,fz=-g

等壓面方程：tanβ=a/g壓強(qiáng)分布公式：dp=ady-gdz積分得p=ay+z(-g)+c其中c=p0

，于是得出

p=p0+ay+z(-g)

=p0+g(a/g)y-z

=p0+gytanβ-z=p0+gh

定義h=ytan-z

為傾斜液面下的淹深4.2.5流體的相對(duì)靜止4.2.5流體的相對(duì)靜止[特例2]容器沿鉛錘方向作勻加速直線運(yùn)動(dòng)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)：圖示坐標(biāo)系中：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力：fx=0,fy=0,fz=a-g

等壓面方程：tanβ=0壓強(qiáng)分布公式：dp=(a-g)dz積分得p=(a-g)z+c其中c=p0

，于是得出

p=p0+(a-g)z=p0+(g-a)(-z)=p0+(g-a)h

此時(shí)h=-z

為液面下的淹深4.2.5流體的相對(duì)靜止向上運(yùn)動(dòng)時(shí)：圖示坐標(biāo)系中：?jiǎn)挝毁|(zhì)量力：fx=0,fy=0,fz=-a-g

等壓面方程：tanβ=0壓強(qiáng)分布公式：dp=(-a-g)dz積分得p=(-a-g)z+c其中c=p0

，于是得出

p=p0+(-a-g)z