山西省呂梁市育星中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省呂梁市育星中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)正三棱錐A﹣BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，則球O的表面積為（）A． B．6π C．8π D．12π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)EF與DE的垂直關(guān)系，結(jié)合正棱錐的性質(zhì)，判斷三條側(cè)棱互相垂直，再求得側(cè)棱長，根據(jù)表面積公式計算即可【解答】解：∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO，∵三棱錐A﹣BCD為正三棱錐，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；∴AC⊥AB，設(shè)AC=AB=AD=x，則x2+x2=4?x=，所以三棱錐對應(yīng)的長方體的對角線為=，所以它的外接球半徑為，∴球O的表面積為=6π故選：B．2.在極坐標(biāo)系中，若圓的方程為，則圓心的極坐標(biāo)是（

）A．B．C．（1,π）D．（1,0）參考答案：D3.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為（）A．11 B．12 C．13 D．14參考答案：B【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人．從而得出從編號481～720共240人中抽取的人數(shù)即可．【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人．所以從編號1～480的人中，恰好抽取=24人，接著從編號481～720共240人中抽取=12人．故：B．【點(diǎn)評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題．4.若|，且，則與的夾角是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B5.點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，則動點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的概率為（）A． B． C． D．π參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型；兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型，我們要根據(jù)已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及動點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1對應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型計算公式，即可求出答案．【解答】解：滿足條件的正方形ABCD，如下圖示：其中滿足動點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的平面區(qū)域如圖中陰影所示：則正方形的面積S正方形=1陰影部分的面積故動點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|＜1的概率P==故選：C6.若，，則與的大小關(guān)系為

（

）A．

B．

C．

D．隨x值變化而變化參考答案：A7.從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有A.40種

B.60種

C.100種

D.120種參考答案：B略8.（5分）為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對該班50名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如圖的2×2列聯(lián)表．

喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計305050則至少有（）的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．附參考公式：K2=P（K2＞k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8413.0046.6157.78910.828

A．95% B． 99% C． 99.5% D． 99.9%參考答案：C9.兩個球的半徑之比為1：3，那么這兩個球的表面積之比為（） A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：3參考答案：A【考點(diǎn)】球的體積和表面積． 【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何． 【分析】利用球的表面積公式，直接求解即可． 【解答】解：兩個球的半徑之比為1：3，又兩個球的表面積等于兩個球的半徑之比的平方，（球的面積公式為：4πr2） 則這兩個球的表面積之比為1：9． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，考查計算能力，是基礎(chǔ)題． 10.直線3x+4y﹣13=0與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法判定參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題．【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，發(fā)現(xiàn)d=r，故直線與圓相切．【解答】解：由圓的方程得到：圓心坐標(biāo)為（2，3），半徑r=1，所以圓心到直線3x+4y﹣13=0的距離d==1=r，則直線與圓的位置關(guān)系為相切．故選C【點(diǎn)評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式．其中直線與圓的位置關(guān)系的判定方法為：當(dāng)0≤d＜r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時，直線與圓相離．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

曲線C:在處的切線方程為_____

____．參考答案：2x-y+2=012.不等式的解集為_______________;參考答案：13.若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍為______．參考答案：【分析】關(guān)于的不等式在上恒成立等價于在恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，關(guān)于的不等式在上恒成立等價于在恒成立，設(shè)，，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以?dāng)時，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，由圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在圖象的上方,不符合題意，舍去；當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則，即，解得，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及不等式的恒成立問題的求解，其中解答中把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的關(guān)系，借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14.拋兩枚硬幣，出現(xiàn)“一正一反”的概率為

。參考答案：略15.橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A和B，右焦點(diǎn)為F．若|AF|、|AB|、3|BF|成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】AF=a﹣c，，3BF=3a，AF?3BF=AB2，可得a2+b2=3a（a﹣c），c2﹣3ac+a2=0，即e2﹣3e+1=0，解出即可得出．【解答】解：∵AF=a﹣c，，3BF=3a，∴由AF?3BF=AB2，a2+b2=3a（a﹣c），∵b2=a2﹣c2，∴c2﹣3ac+a2=0，則e2﹣3e+1=0，解得或（舍去）．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.設(shè)橢圓(a＞b＞0)恒過定點(diǎn)A(1，2)，則橢圓的中心到準(zhǔn)線距離的最小值是

．參考答案：略17.在半徑為1的圓周上有一定點(diǎn)A，以A為端點(diǎn)任做一弦，另一端點(diǎn)在圓周上等可能的選取（即在單位長度的弧上等可能地選?。?，則弦長超過1的概率為________參考答案：2/3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，是橢圓上的兩動點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，（其中實(shí)數(shù)為常數(shù)）．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)，且直線過點(diǎn)且垂直于軸時，求過三點(diǎn)的外接圓方程；（3）若直線與的斜率乘積，問是否存在常數(shù)，使得動點(diǎn)滿足，其中，若存在求出的值，若不存在，請說明理由．

參考答案：略19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)構(gòu)成面積為2的正方形．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）設(shè)A1，A2分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過A1的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)P，與直線x=相交于點(diǎn)B，以A2B為直徑作圓．判斷直線PF和該圓的位置關(guān)系，并給出證明．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由題意可得b=c，a=，由a，b，c的關(guān)系可得b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；（II）直線PF和圓的位置關(guān)系為相切．求出A1（﹣，0），A2，F(xiàn)（1，0），顯然直線A1P的斜率存在，設(shè)直線A1P的方程為y=k（x+），（k＞0），代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，以及直線PF的斜率和方程，求得B的坐標(biāo)，以及圓的圓心M的坐標(biāo)和半徑，求得M到直線PF的距離，化簡整理與半徑比較，即可得到所求結(jié)論．【解答】解：（I）由橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)構(gòu)成面積為2的正方形由題意可得：b=c，則=2，解得b=c=1．∴a2=b2+c2=2．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1；（II）直線PF和圓的位置關(guān)系為相切．理由：A1（﹣，0），A2，F(xiàn)（1，0），顯然直線A1P的斜率存在，設(shè)直線A1P的方程為y=k（x+），（k＞0），代入橢圓方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣2=0，由﹣+xP=﹣，解得xP=，yP=k（xP+）=，即P（，），直線FP的斜率為，則直線FP的方程為y=（x﹣1），可令x=，解得y=2k，即有B（，2k），以A2B為直徑作圓，圓心為M（，k），半徑為r=k，由圓心到直線PF的距離為d==k?=k=r．可得直線PF與A2B為直徑的圓相切．20.已知⊙O：x2+y2=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長的最小值；（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時⊙P的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程．【專題】壓軸題；直線與圓．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡可得a，b間滿足的等量關(guān)系．（2）由于PQ==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．（3）設(shè)⊙P的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為，此時，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）連接OQ，∵切點(diǎn)為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化簡可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故當(dāng)a=時，線段PQ取得最小值為．（3）若以P為圓心所作的⊙P的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故當(dāng)a=時，PO取得最小值為，此時，b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1．故半徑最小時⊙P的方程為+=．【點(diǎn)評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．21.設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足,其中,命題實(shí)數(shù)滿足.(Ⅰ)若且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解析:由得，又,所以,

當(dāng)時，1<,即為真時實(shí)數(shù)的取值范圍是1<.

由,得,即為真時實(shí)數(shù)的取值范圍是.若為真，則真且真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(Ⅱ)是的充分不必要條件，即,且,