山西省呂梁市汾陽(yáng)第五高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省呂梁市汾陽(yáng)第五高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.由直線與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為(

)A． B．1 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】為了求得與x軸所圍成的不規(guī)則的封閉圖形的面積，可利用定積分求解，積分的上下限分別為與，cosx即為被積函數(shù)．【解答】解：由定積分可求得陰影部分的面積S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以圍成的封閉圖形的面積是．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用、定積分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．2.已知F（x）=f（x）﹣x是偶函數(shù)，且f（2）=1，則f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣4參考答案：C考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：直接利用函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)求解即可．解答：解：F（x）=f（x）﹣x是偶函數(shù)，且f（2）=1，F(xiàn)（2）=f（2）﹣2=﹣1．則F（﹣2）=f（﹣2）+2=﹣1，∴f（﹣2）=﹣3．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．3.奇函數(shù)在上的解析式是，則在上的函數(shù)解析式是（

）A．

B．C．

D．參考答案：B4.已知命題p：x<1，，則為(A)x≥1, (B)x<1,(C)x<1, (D)x≥1,參考答案：C5.如圖，正方形ABCD與正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，則直線BD與PQ所成角的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：B【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角．【分析】以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，過B作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BD與PQ所成角的取值范圍．【解答】解：以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，過B作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=1，則B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F(xiàn)（0，，），當(dāng)D點(diǎn)在正方形BCEF的投影剛好落在CE上，記為G點(diǎn)，其坐標(biāo)為G（1，，），此時(shí)BG與BD所成角剛好30度，即直線BD與PQ所成角的最小值為，取P（，0，0），Q（0，）時(shí)，直線BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直線BD于PQ所成角最大值為．∴直線BD與PQ所成角的取值范圍是[，]．故選：B．6.甲乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為、標(biāo)準(zhǔn)差分別為、，則A.， B.，C.， D.，參考答案：C【分析】通過讀圖可知甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低與乙同學(xué)，其他次考試都遠(yuǎn)高于乙同學(xué)，可知圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定，故.【詳解】由圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低與乙同學(xué)，其他次考試都遠(yuǎn)高于乙同學(xué)，可知圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定，故.故選.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)際意義，是基礎(chǔ)題.7.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.3參考答案：D【分析】根據(jù)三視圖可得直觀圖，結(jié)合圖形，即可得到最長(zhǎng)的棱為，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)。【詳解】根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，，底面，且，∴該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為，故選：D．8.已知函數(shù)若a、b、c互不相等，且，則a＋b＋c的取值范圍是（

）A．（1，2014）

B．（1，2015）

C．（2，2015）

D．[2，2015]參考答案：C9.已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，，則的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.若，，且，則與的夾角是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【詳解】由題有，即，故，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，若，則t=_______；參考答案：－2【分析】根據(jù)向量平行，向量坐標(biāo)交叉相乘相等，即可得答案；【詳解】，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖，正方形邊長(zhǎng)是2，直線x+y﹣3=0與正方形交于兩點(diǎn)，向正方形內(nèi)投飛鏢，則飛鏢落在陰影部分內(nèi)的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概率的求法，可以得出鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：觀察這個(gè)圖可知：陰影部分是正方形去掉一個(gè)小三角形，設(shè)直線與正方形的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，∴在直線AB的方程為x+y﹣3=0中，令x=2得A（2，1），令y=2得B（1，2）．∴三角形ABC的面積為s==，則飛鏢落在陰影部分的概率是：P=1﹣=1﹣=1﹣=．故答案為：．13.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于x軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行x軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為__________．參考答案：【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長(zhǎng)，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時(shí)，最短，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，由得：，整理得，所以，，所以；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又因?yàn)閮善叫泄饩€間的最小距離為4，最小時(shí)，兩平行線間的距離最??；因此，所求方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等求解，屬于?？碱}型.14.已知函數(shù)的圖像與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，那么=_____________.參考答案：略15.設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋x＋3，且f(x)≤5，則x的取值范圍是________。參考答案：－1≤x≤116.直線與曲線相切于點(diǎn)，則__________．參考答案：－5【分析】計(jì)算，求導(dǎo)得到，根據(jù)，，計(jì)算得到答案.【詳解】過點(diǎn)，故.，則，，.，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了切線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.17.在△中，，為線段上一點(diǎn)，若，則△的周長(zhǎng)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.定義：圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關(guān)于圓的距離比λ；（1）設(shè)圓C0：x2+y2=1，求過P（2，0）的直線關(guān)于圓C0的距離比λ=的直線方程；（2）若圓C與y軸相切于點(diǎn)A（0，3），且直線y=x關(guān)于圓C的距離比λ=，求此圓C的方程；（3）是否存在點(diǎn)P，使過P的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓C1：（x+1）2+y2=1與C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距離比始終相等？若存在，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用．【專題】新定義；轉(zhuǎn)化思想；待定系數(shù)法；直線與圓．【分析】（1）設(shè)過P（2，0）的直線方程為y=k（x﹣2），求得已知圓的圓心和半徑，由新定義，可得方程，求得k，即可得到所求直線方程；（2）設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由題意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|(zhì)a|=r②，=r③，解方程可得a，b，r，進(jìn)而得到所求圓的方程；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（m，n），設(shè)過P的兩直線為y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），求得兩圓的圓心和半徑，由新定義可得方程，化簡(jiǎn)整理可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)過P（2，0）的直線方程為y=k（x﹣2），圓C0：x2+y2=1的圓心為（0，0），半徑為1，由題意可得=，解得k=±，即有所求直線為y=±（x﹣2）；（2）設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由題意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|(zhì)a|=r②，=r③解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．則有圓C的方程為（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（m，n），設(shè)過P的兩直線為y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圓心為（﹣1，0），半徑為1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圓心為（3，3），半徑為2，由題意可得=，化簡(jiǎn)可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，即有或，解得或．則存在這樣的點(diǎn)P（1，﹣1）和（﹣，），使得使過P的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓的距離比始終相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查恒成立問題的解法，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．B9B12（1）見解析；（2）解析：（1），令當(dāng)單增，單減（2）令，即恒成立，而，令在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，與題意不合；當(dāng)時(shí)，為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，而，由零點(diǎn)存在性定理，必存在一個(gè)零點(diǎn)，使得，當(dāng)時(shí)，從而在上單調(diào)遞減，從而，與題意不合，綜上所述：的取值范圍為【思路點(diǎn)撥】（1）f′（x）=exsinx+excosx=ex，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，令h（x）=ex（sinx+cosx），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性可得：在上單調(diào)遞增，，對(duì)k分類討論，即可得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得出k的取值范圍．請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。20.已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)試判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性并說明理由；(3)試求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值．參考答案：(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0.即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0.由f(1)＝，f(2)＝，得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝．∴a＝2，b＝，c＝0.(2)由(1)知，f(x)＝2x＋，∴f′(x)＝2－．當(dāng)x∈(0，)時(shí)，0<2x2<，則>2.∴f′(x)<0.∴函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)．(3)由f′(x)＝2－＝0，x>0，得x＝．∵當(dāng)x>時(shí)，<2，∴f′(x)>0，即函數(shù)f(x)在(，＋∞)上為增函數(shù)．又由(2)知x＝處是函數(shù)的最小值點(diǎn)，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為f()＝2.21.已知函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|2x﹣2|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）設(shè)g（x）=x﹣a，對(duì)任意x∈[a，+∞）都有g(shù)（x）≥f（x），求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）分類討論，去掉絕對(duì)值，分別求得不等式f（x）≥﹣2的解集，再取并集，即得所求．（2）作出f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得滿足x∈[a，+∞）時(shí)g（x）≥f（x）的a的取值范圍．解答： 解：（1）對(duì)于f（x）≥﹣2，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，不等式即x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈?；當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，不等式即3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x＜1；當(dāng)x≥1時(shí)，不等式即﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6．綜上，不等式的解集為{x|﹣≤x≤6}．（2）f（x）=|x+2|﹣|2x﹣2|=，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：∵g（x）=x﹣a，表示一條斜率為1且在y軸上的截距等于﹣a的直線，當(dāng)直線過（1，3）點(diǎn)時(shí)，﹣a=2．①當(dāng)﹣a≥2，即a≤﹣2時(shí)，恒有g(shù)（x）≥f（x）成立．②當(dāng)﹣a＜2，即a＞﹣2時(shí)，令f（x）=g（x），即﹣x+4=x﹣a，求得x=2+，根據(jù)對(duì)任意x∈[a，+∞）都有g(shù)（x）≥f（x），∴a≥2+，即a≥4．綜上可得，a≤﹣2或a≥4．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．22.已知函數(shù)f（x）=|x2﹣1|，g（x）=a|x|﹣1．（Ⅰ）求不等式f（x）≤3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤3，等價(jià)于0≤x2≤4，由此求得x的范圍．（Ⅱ）由題意可