山西省呂梁市興縣魏家灘中學2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

山西省呂梁市興縣魏家灘中學2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)（是虛數(shù)單位），則 (

)A．

B．

C．

D．參考答案：D2.在△中，內(nèi)角的對邊分別是若，，則A=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A3.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是（

） A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù) C．最小正周期為的偶函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)。參考答案：B略4.已知等差數(shù)列的前n項和為An，等差數(shù)列的前n項和為Bn，且，則使為整數(shù)的所有n的值的個數(shù)為

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：答案:D5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．(－∞,1)

B．(－∞,2)

C．(2,+∞)

D．(3,+∞)

參考答案：D6.在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是

A．（1）（3）

B．（1）（4）

C．（2）（4）

D．（3）（4）參考答案：D略7.已知P是中心在原點，焦距為的雙曲線上一點，且的取值范圍為，則該雙曲線方程是(A)(B) (C)(D)參考答案：8.已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,5]，部分對應(yīng)值如下表．f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)

的圖像如圖所示．x－1045f(x)1221下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：

①函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；③如果當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；④當1<a<2時，函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點．其中真命題的個數(shù)有A．4個

B．3個

C．2個

D．1個參考答案：D依題意得，函數(shù)f(x)不可能是周期函數(shù)，因此①不正確；當x∈(0,2)時，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，②正確；當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的可能圖像形狀分析可知，此時t的最大值是5，因此③不正確；注意到f(2)的值不明確，結(jié)合圖形分析可知，將函數(shù)f(x)的圖像向下平移a(1<a<2)個單位后相應(yīng)曲線與x軸的交點個數(shù)不確定，因此④不正確．綜上所述，選D．9.某幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A．28π B．37π C．30π D．148π參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為大圓柱中挖去一個小圓柱，代入體積公式計算即可．【解答】解：由三視圖可知幾何體為大圓柱里面挖去一個小圓柱．大圓柱的底面半徑為4，高為4，小圓柱的底面半徑為3，高為3，∴幾何體的體積V=π×42×4﹣π×32×3=37π．故選B．10.已知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項和，若是數(shù)列中的唯一最小項，則數(shù)列的首項的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，，，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題：①當時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2；②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當時總有；③當時，；④對某個正整數(shù)，若，則。其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號）

參考答案：①③④當時，

，，故①正確；同樣驗證可得③④正確，②錯誤.

12.公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為是的等比中項，，則=______

參考答案：60略13.函數(shù)y=的定義域為

．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求出函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，得，即1＜x＜3或x＜﹣1，即函數(shù)的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，3），故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．14.已知復數(shù)滿足，則_____.參考答案：略15.（x2﹣x+2）5的展開式中x3的系數(shù)為．參考答案：﹣200【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】二項式定理．【分析】先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r、r′的值，即可求得x3項的系數(shù)．【解答】解：式子（x2﹣x+2）5=[（x2﹣x）+2]5的展開式的通項公式為Tr+1=?（x2﹣x）5﹣r?2r，對于（x2﹣x）5﹣r，它的通項公式為Tr′+1=（﹣1）r′??x10﹣2r﹣r′，其中，0≤r′≤5﹣r，0≤r≤5，r、r′都是自然數(shù)．令10﹣2r﹣r′=3，可得，或，故x3項的系數(shù)為?22?（﹣）+?23?（﹣）=﹣200，故答案為：﹣200．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．16.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為M，若z=2x﹣y+2a+b（a＞0，b＞0）的最大值為3，則+的最小值為．參考答案：3【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；不等式．【分析】①畫可行域；②z為目標函數(shù)的縱截距；③畫直線z=x﹣y．平移可得直線過A或B時z有最值．得到a，b關(guān)系式，然后利用基本不等式求解表達式的最小值．【解答】解：畫不等式組所表示的平面區(qū)域為M如圖，畫直線z=2x﹣y+2a+b，平移直線z=2x﹣y+2a+b過點A（1，0）時z有最大值3；則z=2+2a+b=3，解得2a+b=1，a＞0，b＞0，則+=（+）（2a+b）=3+≥3+2=3+2，當且僅當b=，2a+b=1，即a=1﹣，b=時，表達式取得最小值．故答案為：3+2．【點評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．17.14．對于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組(是不小于2的正整數(shù))，對于任意，當時有，則稱，是該數(shù)組的一個“逆序”，一個數(shù)組中所有“逆序”的個數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”，則數(shù)組（2，4，3，1）中的逆序數(shù)等于

.

參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，四個頂點所圍成菱形的面積為.（I）求橢圓的方程；（II）坐標原點為，且滿足，(i)求的取值范圍；(ii)求的面積.參考答案：（I）由已知，于是

所以橢圓的方程為

…………3分

（II）設(shè)直線AB的方程為，設(shè)聯(lián)立，得

----------①

…………6分

∵

……7分

=

……8分

……9分

又直線AB的斜率不存在時，所以的取值范圍是.…11分

(ii)設(shè)原點到直線AB的距離為d，則.

……14分

19.(本小題滿分13分)（Ⅰ）寫出兩角差的余弦公式cos(α-β)=

，并加以證明；（Ⅱ）并由此推導兩角差的正弦公式sin(α-β)=

。參考答案：解：（Ⅰ）兩角差的余弦公式

……1分在平面直角坐標系xOy內(nèi)，以原點O為圓心作單位圓O，以O(shè)x為始邊，作角α,β，設(shè)其終邊與單位圓的交點分別為A,B，則向量，向量,記兩向量的夾角為，則

…4分(1)如果,那么，∴∴

……6分(2)如果,如圖，不妨設(shè)α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以有同樣有

…………8分（Ⅱ），

…………9分證明如下：把公式中的換成，得

………………13分20.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【知識點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定G10G11解析：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

…………5分（Ⅱ）如圖，以點C為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．設(shè)P(0，0，2a)（a＞0），則E(1，–1，a)，=(2，2，0)，＝(0，0，2a)，=(1，–1，a)．取m=(1，–1，0)，則m·=m·=0，m為面PAC的法向量．設(shè)n=(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·=n·=0，即，取x=a，y=–a，z=–2，則n=(a，–a，–2)，依題意，|cos<m，n>|===，則a=2．

…………10分于是n=(2，–2，–2)，=(2，2，–4)．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為?，則sin?=|cos<，n>|==，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．

…………13分【思路點撥】（Ⅰ）證明平面EAC⊥平面PBC，只需證明AC⊥平面PBC，即證AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，可求a的值，從而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．21.已知矩形ABCD中，，BC=1，現(xiàn)沿對角線BD折成二面角C﹣BD﹣A，使AC=1（I）求證：DA⊥面ABC（II）求二面角A﹣CD﹣B的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推導出∠DAB=90°，DA⊥AC，由此能證明DA⊥面ABC．（Ⅱ）取AB，DB的中點O，N，則直線OC，ON，OA兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的大?。窘獯稹孔C明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，，BC=1，現(xiàn)沿對角線BD折成二面角C﹣BD﹣A，使AC=1，∴∠DAB=90°，，∴DC2=AC2+DA2，則DA⊥AC，又AB∩AC=A，∴DA⊥面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知DA⊥面ABC，則平面CAB⊥平面ABD，又AC=BC，∠DAB=90°，取AB，DB的中點O，N，則直線OC，ON，OA兩兩垂直，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，則，，，設(shè)平面BCD的法向量=（x，y，z），則，取x=，得=（，﹣1，﹣1），設(shè)平面ACD的法向量=