1984年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1984年國(guó)高數(shù)卷(科)

0.51984全國(guó)統(tǒng)一高數(shù)學(xué)試（理科）0.5一、選題（共5小題每小題3分滿分15）（分）數(shù)集（）π，整數(shù)與數(shù)集Y={（±1π，是整數(shù)}之間的關(guān)系（）AX?Y

BX?Y．X=Y．X≠Y2（分）如圓

+y2

+Gx+Ey+F=0與軸相切于點(diǎn)，那（）AF=0，G≠，．E=0，CG=0，，DG=0E=0，E≠G≠E≠F≠03（分）如n是正整數(shù)那么A一是零一是偶數(shù)C是數(shù)但不不定是整一定是數(shù)4（分）arccos（﹣x大于arccosx的充條件是（）A∈（，]B∈（﹣1，x∈[0，1]D．

的值（）5（分）如θ是二象限，且滿足，那么（）A是一象限角B是三象限角C可是第一象限，也可是第三象限D(zhuǎn)是二象限角二、解題（共15小，滿分）6（分）已圓柱的面展開圖是長(zhǎng)為2與4矩形，求柱的體．7（分）函log（28（分）求程

在什么間上是函數(shù)？的解集9（分）求子（|x|+

﹣2）3

的展開中的常數(shù)項(xiàng)10）求

的值．（分）要排一張個(gè)歌唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目演出節(jié)單，何兩個(gè)蹈節(jié)目不得鄰，問有多種不同的排（只要寫出式子，必計(jì)算12）設(shè)

畫出函y=H（x1）的圖．

1212121n1n13）畫1212121n1n

的曲線14）已知三個(gè)面兩兩交，三條交，求證這三交線交一點(diǎn)或互相行．（）設(shè)d，x為實(shí)≠，x為未知，討論程

在什么況下有解，有解時(shí)出它的解．（分）p≠0，系數(shù)一二次方程2﹣2pz+q=0有兩個(gè)數(shù)根，、再設(shè)zz在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)點(diǎn)是Z，Z，求以Z，Z為焦點(diǎn)且經(jīng)原點(diǎn)的圓的長(zhǎng)軸的．17）求經(jīng)定點(diǎn)M，2以y軸準(zhǔn)線，心率的橢的左頂點(diǎn)的跡方程在△ABC中∠∠∠所的邊分別為，，c=10，的內(nèi)切上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，的距離的方和最大值最小值．19）設(shè)＞2給定數(shù){x}，其中x=a，

P為△ABC求證：（）＞2，

；（）如果≤，那么

．20如圖，知圓心為O半徑為圓與直l相切于點(diǎn)，一動(dòng)P切點(diǎn)沿線右移動(dòng)時(shí)，取長(zhǎng)為這時(shí)點(diǎn)M的度．

，直線PC與直AO交于點(diǎn)M．知當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)P的速度為，求

點(diǎn)評(píng)：

這是一新運(yùn)算類的目，其點(diǎn)一般是“”而不難”，處理方法一為：根據(jù)新算的定，將已知中數(shù)據(jù)代進(jìn)行運(yùn)算，得最終果．4（分）arccos（﹣x大于arccosx的充條件是（）A∈（，]B∈（﹣1，x∈[0，1]D．考點(diǎn)：專題：分析：解答：

反三角數(shù)的運(yùn)用．計(jì)算題壓軸題；分討論；化思想．充分考的圍，推出arccos（﹣）的范圍，然確定arccos（）大arccosx的充分件解：∵[0，]，（）[0，

）時(shí)，∈（01，arccos（x）（，π]＞，點(diǎn)評(píng)：

（）（，π]時(shí)，x﹣1，arccos﹣）[0，（）arccosx=時(shí)，arccosx==arccos（，故選A．本題考反三角函數(shù)運(yùn)用，查分類討論思想，基礎(chǔ)題．

）＜arccosx，5（分）如θ是二象限，且滿足A是一象限角B是三象限角C可是第一象限，也可是第三象限D(zhuǎn)是二象限角

，那么（）考點(diǎn)：專題：

半角的角函數(shù)．計(jì)算題壓軸題．分析：

先根據(jù)θ范圍確

的范，由

可確定

的大小解答：

關(guān)系，而確定的象限解：∵是二象限∴∴∴當(dāng)為數(shù)時(shí)，在第一限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，∵=∴∴是第三限角

在第三限；=

（Z）點(diǎn)評(píng)：

故選．本題主考查象限角二倍角式以及同角角函數(shù)基本關(guān)系．基礎(chǔ)題二、解題（共15小，滿分）6（分）已圓柱的面展開圖是長(zhǎng)為2與4矩形，求柱的體．

0.50.50.5考點(diǎn)：0.50.50.5專題：分析：解答：

棱柱、錐、棱臺(tái)的積．計(jì)算題分類討論．圓柱的面展開圖是長(zhǎng)為的矩形可以有種形式的圓的展開，分求出底半徑和，分別求出積．解：圓的側(cè)面展開是邊長(zhǎng)2與的矩形，當(dāng)母線4時(shí)圓柱的面半徑是當(dāng)母線2時(shí)圓柱的面半徑是

此時(shí)圓體積是，此時(shí)柱的體積是綜上所圓柱的體積：

或．點(diǎn)評(píng)：

本題考圓柱的側(cè)面開圖，柱的體積，基礎(chǔ)題容易疏忽一情況．7（分）函log（2

在什么間上是函數(shù)？考點(diǎn)：專題：分析：

對(duì)數(shù)函的單調(diào)性與殊點(diǎn)．計(jì)算題本題是個(gè)復(fù)合函數(shù)故應(yīng)依復(fù)合函數(shù)的調(diào)性來(lái)斷其單調(diào)性先求出義域，判斷外層函與內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性再依規(guī)則來(lái)斷即可解答：

解：令x

+4x+40得≠﹣2，t=x2

，其對(duì)稱軸x=﹣點(diǎn)評(píng)：

故內(nèi)層數(shù)在（﹣∞﹣）上是減函，在（2，+∞）是增函．因?yàn)橥夂瘮?shù)的底數(shù)0.5＜，故外層是減數(shù)，欲復(fù)合函數(shù)的區(qū)間，須求層的減間故函數(shù)（x2+4x+4）（﹣，﹣）上是增數(shù)．答：函（2+4x+4）（﹣∞﹣）上是增數(shù)．本題的點(diǎn)是復(fù)合函的單調(diào)，考查了對(duì)與二次數(shù)的單調(diào)性判斷方以及定義域求法．8（分）求程

的解集考點(diǎn)：專題：分析：

三角函的化簡(jiǎn)求值計(jì)算題數(shù)形結(jié)合．利用平關(guān)系和倍角式對(duì)方進(jìn)行整理，據(jù)一個(gè)期內(nèi)的正弦數(shù)值求，最后解集出幾何式．解答：

解：由意知，

，即1+sin2x=，∴sin2x=﹣，則2x=

﹣

（∈Z，解得+nπ或﹣

（nZ，∴所求程的解集是{x|x=

π，nZ}∪﹣

π，nZ}點(diǎn)評(píng)：

本題考了三角函數(shù)程的求，即利用同的基本系、倍角公、兩角差公式等等對(duì)方程行化簡(jiǎn)，再三角函在一個(gè)周期的函數(shù)和周期求出集．9（分）求子（|x|+

﹣2）3

的展開中的常數(shù)項(xiàng)

32r+166676考32r+166676分析：

二項(xiàng)式數(shù)的性質(zhì)．解法一利用分步乘原理展式中的常數(shù)是三種況的和，解法二先將

利用完平方公式化二項(xiàng)式利用二項(xiàng)展式的通公式求得第r+1，令指數(shù)為常數(shù)項(xiàng)．解答：

解法一|x|+

﹣）

=（

﹣2（|x|+

﹣（|x|+

﹣）得到常數(shù)項(xiàng)的況有：①三個(gè)號(hào)中全取﹣，得（﹣2）

；②一個(gè)號(hào)取|x|，個(gè)括號(hào)，一個(gè)括取﹣2得C11（﹣）=12∴常數(shù)為（﹣）

+（﹣）=﹣．解法二|x|+

﹣）

=（﹣）．設(shè)第r+1為常數(shù)項(xiàng)，則T=Cr

?（﹣）r

?（

）r

?﹣r

=（﹣）6

?Cr

?|x|6﹣2r，得﹣2r=0，r=3點(diǎn)評(píng)：

∴T=（﹣）3?C3=20本題考解決二項(xiàng)展式的特項(xiàng)問題的重工具有項(xiàng)展開式的項(xiàng)公式還有分步乘原理．10）求

的值．考點(diǎn)：專題：分析：

極限及運(yùn)算．計(jì)算題分子、母同時(shí)除以3n，原轉(zhuǎn)化為，由此能出

的值．解答：解：

==0點(diǎn)評(píng)：

本題考數(shù)列的極限運(yùn)算，題時(shí)要注意理地進(jìn)等價(jià)轉(zhuǎn)化．（分）要排一張個(gè)歌唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目演出節(jié)單，何兩個(gè)蹈節(jié)目不得鄰，問有多種不同的排（只要寫出式子，必計(jì)算考點(diǎn)：專題：分析：解答：

排列、合及簡(jiǎn)單計(jì)問題．計(jì)算題首先分兩個(gè)舞蹈節(jié)不得相的排列法，以猜想用插空法求，然后別求出舞蹈目的排及歌唱節(jié)目排法，乘即可得到案．解：此采用插空法因?yàn)槿蝺蓚€(gè)舞蹈節(jié)不得相，即可把個(gè)歌唱節(jié)目每的前當(dāng)做一個(gè)位，共有個(gè)空位，只把舞蹈目安排到空上就不相鄰了，共4舞蹈節(jié)排好后再排唱節(jié)目有A6種

種排法

767767點(diǎn)評(píng)：

所以共種P?A6排，答案為P4A6．此題主考查排列組及其簡(jiǎn)的計(jì)數(shù)問題對(duì)于不鄰這種類型目的求，要想到可用插空求解，這種題思路常重要，要好的理記憶．12）設(shè)

畫出函y=H（x1）的圖．考點(diǎn)：分析：解答：

分段函的解析式求及其圖的作法；函的圖象考查函圖象的變化y=Hx1）圖象是y=H（x）圖象向右平一個(gè)圖得到的．故可以畫出H（x）的圖象后再向平移1單位得Hx﹣）的圖象．解：點(diǎn)評(píng)：

考查函圖象的平移題．記y=f（x，y=f（x+1y=f（x﹣（x+1，y=f（）﹣的圖象是由y=f（x圖象分向左，向右向上，下平移個(gè)單位到的．13）畫出坐標(biāo)方程

的曲線考點(diǎn)：專題：分析：解答：

簡(jiǎn)單曲的極坐標(biāo)方．作圖題先將方化簡(jiǎn)一下，后根據(jù)坐標(biāo)方程的何意義行畫圖即可解：方∴ρ﹣或θ﹣

=0即=2表圓心在極點(diǎn)半徑為的圓θ=

表示極為

的射線畫出圖即可．點(diǎn)評(píng)：

本題主考查了簡(jiǎn)單線的極標(biāo)方程，以作圖能的考查，屬基礎(chǔ)題14）已知三個(gè)面兩兩交，三條交，求證這三交線交一點(diǎn)或互相行．考點(diǎn)：專題：分析：

平面與面之間的位關(guān)系．證明題綜合題．三個(gè)平兩兩相交，三條交，這三條交交于一，或互相平．證明要分三條交交于一，和三條交互相平兩種情況（）證三交于一點(diǎn)時(shí)先由兩交于一點(diǎn)，證這一也在第三條線上（）證線平行，先由兩線行，再第三條直線這兩條

解答：

平行線的任一條直平行即．證明：三個(gè)平面為，βγ，且∩β，α∩γ=b，β∩γ；∵α∩=c，αγ，∴c?α，?α∴c與b于一點(diǎn)或互相平行（）如圖①，若與b交于一點(diǎn)，可設(shè)∩b=P．由P∈c且c?β，有Pβ；又由∈，b?γ，有P∈γ∴Pβ∩γ=a；所以，線ab，交于一（即點(diǎn)圖①；

圖②點(diǎn)評(píng)：

（）如圖②，若cb，由b?，且c?，∴c∥；又由c?，且∩γ=a，c∥a；以，c相平行本題考了空間中的線平行或相交的證，特別幾何符號(hào)語(yǔ)的應(yīng)用是有難度的題．（）設(shè)d，x為實(shí)≠，x為未知，討論程有解時(shí)出它的解．

在什么況下有解，考點(diǎn)：分析：解答：

對(duì)數(shù)的算性質(zhì)；對(duì)函數(shù)圖與性質(zhì)的綜應(yīng)用；的存在性及的個(gè)數(shù)斷．先將對(duì)式轉(zhuǎn)化為指式，再據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大0，底大于且不等于1到方程有根的等條件后可解．解：原程有解的充條件是由條件）知又由

，所以cx+d=1再≠0，得及x0，，即條件）包含在條件（1及（4）中再由條（3及，知x因此，條件可簡(jiǎn)化以下的價(jià)條件組：

121212111211112121211121112111

這個(gè)不式僅在以下種情形成立：點(diǎn)評(píng)：

①c，1d＞0，c＞，＜1；②c，1d＜0，c＜，＞1、再由條（15）（）可知c1﹣從而，＞，＜c≠﹣，或者當(dāng)＜0，1且≠﹣d時(shí)，原方程解，它的解本題主考查對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化和方程的判定屬中檔題．（分）p≠0，系數(shù)一二次方程2﹣2pz+q=0有兩個(gè)數(shù)根，、再設(shè)zz在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)點(diǎn)是Z，Z，求以Z，Z為焦點(diǎn)且經(jīng)原點(diǎn)的圓的長(zhǎng)軸的．考點(diǎn)：專題：

復(fù)數(shù)的本概念；橢的簡(jiǎn)單質(zhì)．計(jì)算題分析：

由題意個(gè)虛數(shù)根，z是共軛復(fù)，得橢圓短軸：2b=|z+z焦距為2c=|z﹣，然后求長(zhǎng)軸長(zhǎng)．解答：

解：因p，實(shí)數(shù)，p，z，為虛數(shù)，所以（2p）﹣4q＜0q＞由，z為共軛數(shù)，知Z，Z關(guān)于x軸對(duì)稱所以橢短軸在軸上，又由橢圓過原點(diǎn)可知原為橢圓短軸一端點(diǎn)根據(jù)橢的性質(zhì)，復(fù)加，減幾何意義及元二次程根與系數(shù)關(guān)系，可得橢的短軸長(zhǎng)=2b=|z+z|=2|p|，焦距離=2c=|z﹣z長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a=

，點(diǎn)評(píng)：

本題考復(fù)數(shù)的基本念，橢的基本性質(zhì)是小型合題，考查生分析題解決問題能力．17）求經(jīng)定點(diǎn)M，2以y軸準(zhǔn)線，心率的橢的左頂點(diǎn)的跡方程考點(diǎn)：

橢圓的準(zhǔn)方程；軌方程．分析：

先確定圓的位置，左定點(diǎn)坐標(biāo)為（xy，然后根據(jù)離率的含得到左焦點(diǎn)坐標(biāo)，解答：

根據(jù)橢的第二定義定方程解：因橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，2且以軸為準(zhǔn)線，所以橢在軸右側(cè)，長(zhǎng)軸平于軸設(shè)橢圓頂點(diǎn)為A（x，因?yàn)闄E圓的心率為，所以左點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離到的距離，從而左點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)d點(diǎn)M到軸的距離則根據(jù)

及兩點(diǎn)距離公式，得

點(diǎn)評(píng)：

這就是求的軌跡方本題主考查橢圓方的第二義，平面上定點(diǎn)F離與到定線間距之比常數(shù)的的集合在△ABC中∠∠∠所的邊分別為，，c=10，為△的內(nèi)切上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，的距離的方和最大值最小值．考點(diǎn)：專題：分析：

三角函的最值；正定理．計(jì)算題利用正定理可求得，進(jìn)而據(jù)題設(shè)式求得

整理求A+B=

判斷出角形為直角三形，進(jìn)而可用勾股理求得，利用角三角的性質(zhì)求得內(nèi)切圓半徑，解答：

如圖建直角坐標(biāo)系則內(nèi)切的方程可得設(shè)出p坐標(biāo)，表出，S=|PA|利用范圍確的范，則最和最小值可．解：由，運(yùn)正弦定，有，∴sin2A=sin2B．因?yàn)锳≠B，以2A=π2B，即A+B=由此可△ABC是直角三角

+|PB|2

，由，，2

2

2

以及a0，b＞可得a=6，．如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓為O'，切點(diǎn)分為D，，F(xiàn)，則AD+DB+EC=（10+8+6．但上式AD+DB=c=10，所以內(nèi)圓半徑r=EC=2如圖建坐標(biāo)系，則內(nèi)切方程為：（﹣2）+（y）=4設(shè)圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，y則S=|PA|

+|PB|2

+|PC|=x﹣8）

+y2

+y﹣）

2

+y2

﹣16x12y+100=3[﹣2）2

+（y﹣2）﹣4x+76

n1nnnk+1n12k+1kk+1k+2n1nnnk+1n12k+1kk+1k+2k+1nn1點(diǎn)評(píng)：

=3×﹣4x+76=88﹣．因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)圓上，以0x≤4，﹣，最大值﹣16=72最小值本題主考查了三角數(shù)求最的問題，直三角形切圓的問題圓的性問題．考查學(xué)生基知識(shí)的綜合用．19）設(shè)＞2給定數(shù){x}，其中x=a，

求證：（）＞2，

；（）如果≤，那么

．考點(diǎn)：專題：分析：

用數(shù)學(xué)納法證明不式．計(jì)算題壓軸題．（）我們用數(shù)學(xué)歸法進(jìn)行明，先證明等式x＞當(dāng)n=1時(shí)立，再設(shè)不式＞2當(dāng)n=k（≥）時(shí)成立，而證明n=k+1時(shí)，不等式＞2也成，最后到不等式＞對(duì)于所的正整數(shù)n立；（）我們用數(shù)學(xué)歸法進(jìn)行明，先證明等式

當(dāng)時(shí)立，再設(shè)不等式解答：

當(dāng)n=k≥1時(shí)成立進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等后得到等式對(duì)于所的正整數(shù)n成；證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，∵，=，x＞2=