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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.總體由編號(hào)為01,02,...,39,40的40個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()A.23 B.21 C.35 D.322.已知全集,函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.3.已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.4.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.5.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A. B. C. D.6.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.7.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.8.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9.已知集合A,則集合()A. B. C. D.10.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且11.正三棱柱中,,是的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.12.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過點(diǎn),,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(,)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P,Q.若為直角三角形,則該雙曲線的離心率是______.14.在中,角所對(duì)的邊分別為,為的面積,若,,則的形狀為__________,的大小為__________.15.若,且,則的最小值是______.16.的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為______,常數(shù)項(xiàng)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點(diǎn),并求面積的最小值.18.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求和的直角坐標(biāo)方程;(2)已知為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離.20.(12分)已知,且滿足,證明:.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.22.(10分)設(shè)函數(shù),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)時(shí),若,,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個(gè)數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號(hào)01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個(gè)編號(hào)為21.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
求函數(shù)定義域得集合M,N后,再判斷.【詳解】由題意,,∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式,集合是函數(shù)的定義域,還是函數(shù)的值域,是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集,都由代表元決定.3、D【解析】
設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長(zhǎng)為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長(zhǎng)為,因?yàn)閳A柱的表面積公式為,所以,解得,因?yàn)閳A柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握?qǐng)A柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.6、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.7、A【解析】
根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng),即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8、B【解析】
試題分析:通過逆否命題的同真同假,結(jié)合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點(diǎn):邏輯命題9、A【解析】
化簡(jiǎn)集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由且可得,故選B.11、C【解析】
取中點(diǎn),連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點(diǎn),連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角,考查計(jì)算能力.12、D【解析】
對(duì)于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對(duì)于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對(duì)于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以過點(diǎn),,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據(jù)是等腰直角三角形,且為中點(diǎn)可得,再由雙曲線的性質(zhì)可得,解出即得.【詳解】由題,設(shè)點(diǎn),由,解得,即線段,為直角三角形,,且,又為雙曲線右焦點(diǎn),過點(diǎn),且軸,,可得,,整理得:,即,又,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),是??碱}型.14、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得,即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案為等腰三角形,15、8【解析】
利用的代換,將寫成,然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)),所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知,求解()的最小值的處理方法:利用,得到,展開后利用基本不等式求解,注意取等號(hào)的條件.16、3-260【解析】
(1)令求得所有項(xiàng)的系數(shù)和;(2)先求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù),再求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】將代入,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)為,的展開式中含常數(shù)項(xiàng),所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:3;-260【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析,最小值為4【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點(diǎn),由,即,得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即∵,∴∵點(diǎn)在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),此時(shí),可知:當(dāng),此時(shí)直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時(shí),最小,且最小值為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過定點(diǎn)問題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.18、(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件,求出首項(xiàng)和公差,即可得出結(jié)果.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn則:1S則:Tn=1【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)..(2)最大距離為.【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.(2)曲線的參數(shù)方程為,設(shè),計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】(1)由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)可知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,則到直線的距離為,所以線段的中點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,距離的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、證明見解析【解析】
將化簡(jiǎn)可得,由柯西不等式可得證明.【詳解】解:因?yàn)椋?,所以,又,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用,相對(duì)不難,注意已知條件的化簡(jiǎn)及柯西不等式的靈活運(yùn)用.21、(1),;(2)或【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí),直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí),的最大值為所以;當(dāng)時(shí),的最大值為,所以.綜上所述,或【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.22、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)參數(shù)的取值,討論的正負(fù),即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可;(2)首先通過構(gòu)造新函數(shù),討論新函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)
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