多項(xiàng)式因式分解

因式分解因式分解第3章因式分解3.1多項(xiàng)式因式分解返回教學(xué)目標(biāo)：

了解因式分解的意義，知道因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)判斷一個(gè)變形是否是因式分解。動(dòng)腦筋21

等于3

乘哪個(gè)整數(shù)？21＝3×7x2-1等于x+1乘哪個(gè)多項(xiàng)式？

對(duì)于整數(shù)21與3，有整數(shù)7使得21＝3×7，我們把3叫作21的一個(gè)因數(shù).同理，7也是21的一個(gè)因數(shù).對(duì)于多項(xiàng)式x2-1與x+1，有x-1使得 ，我們把x+1叫作x2-1的一個(gè)因式，同理x-1也是x2-1的一個(gè)因式．探究

一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)f與g，如果有多項(xiàng)式h使得f=gh

，那么我們把g叫作f的一個(gè)因式，此時(shí)，h也是

f

的一個(gè)因式．把x2-1寫成的形式，叫作把x2-1

因式分解．

結(jié)論一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．可以看出，因式分解與整式乘法其實(shí)是兩種互逆的變形.即x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法說一說為什么要把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解呢？萬里長(zhǎng)城是由磚砌成的.不少房子也是用磚砌成的.因此，磚是基本建筑塊之一.小知識(shí)類似地，在數(shù)學(xué)中也經(jīng)常要尋找那些“基本建筑塊”.例如，在正整數(shù)集中，像2，3，5，7，11，13，17，…這些大于1的數(shù)，它的因數(shù)只有1和它自身，稱這樣的正整數(shù)為質(zhì)數(shù)或素?cái)?shù).小知識(shí)素?cái)?shù)就是正整數(shù)集中的“基本建筑塊”：每一個(gè)大于1的正整數(shù)都能表示成若干個(gè)素?cái)?shù)的乘積的形式.例如12=2×2×3，①

30=2×3×5

②小知識(shí)有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因數(shù)為2×3=6，進(jìn)而很容易把分?jǐn)?shù)約分：分子與分母同除以6，得小知識(shí)同樣地，在系數(shù)為有理數(shù)(或系數(shù)為實(shí)數(shù))的多項(xiàng)式組成的集合中，也有一些多項(xiàng)式起著“基本建筑塊”的作用：每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本的多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁.

小知識(shí)例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一元二次方程，常常需要把多項(xiàng)式因式分解.因式分解還可以在許多實(shí)際問題中簡(jiǎn)化計(jì)算.小知識(shí)例1

下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？（1）（2）舉例解（1）是.

因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式a

2+2ab+b

2表示成了多項(xiàng)式a+b與a+b的積的形式.（2）不是.

因?yàn)?m+3)(m-2)+2不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.例2

檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.（1）（2）（3）分析檢驗(yàn)因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個(gè)多項(xiàng)式的乘積與左邊的多項(xiàng)式是否相等．舉例解

(1)因?yàn)閤(x+y)=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x(x+y)正確.(2)因?yàn)?a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正確.(3)因?yàn)?2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正確.練習(xí)1.

求4，6，14

的最大公因數(shù).

答：最大公因數(shù)是2.練習(xí)2.

下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？（1）（2）（3）（4）解（1）不是.因?yàn)閺淖筮叺接疫吺钦匠朔ǖ倪^程而不是把多項(xiàng)式表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的積的形式.（2）是.因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式2x2y+4xy2

表示成了多項(xiàng)式2xy與x+2y的積的形式.

（3）不是.因?yàn)閺淖筮叺接疫吺钦匠朔ǖ倪^程而不是把多項(xiàng)式表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的積的形式.（4）是.因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式4a2-4a+1表示成了多項(xiàng)式2a-1的平方的形式.

3.檢驗(yàn)下列因式分解是否正確。(1)

(2)(3)，所以不正確。(1)

(2)(3)因?yàn)橐驗(yàn)?，所以不正確。因?yàn)?，所以正確。小結(jié)與復(fù)習(xí)一般地，對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)f

與g，如果有多項(xiàng)式h

使