電工與電子技術(shù)基礎(chǔ)正弦交流電路電子教案

《電工與電子技術(shù)基礎(chǔ)（第2版）》

電子教案主編劉蓮青王連起中等職業(yè)學(xué)校教學(xué)用書（電子技術(shù)專業(yè)）第3章正弦交流電路3.1正弦交流電的三要素3.2正弦量的表示方法3.3正弦交流電路的特點與分析方法3.4電阻電路

3.5電感元件

3.6電感電路

3.7電容元件

3.8電容電路

3.9串聯(lián)電路

3.10正弦交流電路的相量圖

3.11R、L、C元件特性實驗

3.12日光燈及功率因數(shù)提高實驗本章小結(jié)3.1正弦交流電的三要素3.1.1周期與頻率3.1.2最大值與有效值3.1.3相位、初相與相位差交流電是指大小和方向都隨時間變化的電壓電流，每一時刻的電壓電流值叫瞬時值，一般用小寫字母u、i表示。按正弦規(guī)律變化的交流電為正弦交流電，也稱為正弦量。正弦交流電可以用正弦函數(shù)的解析式表示，解析式也叫瞬時值表達式，表示瞬時值隨時間變化規(guī)律的圖形稱波形圖。圖示為正弦電流的波形圖，與其相對應(yīng)的瞬時值表達式為

i=Imsin(t＋i)式中的三個常數(shù)、Im和i表示正弦電流的特征，稱為正弦量的三要素。3.1.1周期與頻率1.周期交流電完成一個循環(huán)所需要的時間,用字母Ｔ表示。單位為秒（s）、毫秒(ms)、微秒(μs)、納秒(ns)。2.頻率單位時間內(nèi)交流電變化所完成的循環(huán)數(shù)，頻率與周期互為倒數(shù)，即

頻率的單位為1／秒,又稱為赫茲（Hz）,工程實際中常用的單位還有kHz、MHz及GHz等。

我國電力工業(yè)的標準頻率為50Hz，習(xí)慣上稱為工頻，它的周期是0.02S。聲音信號的頻率大約是20Hz～20kHz，無線電調(diào)幅廣播使用的頻率一般為為525kHz～18MHz,調(diào)頻廣播的頻率為88～108MHz，而目前常用的電視信號頻率則在48.5～957.5MHz之間。周期與頻率是表示正弦量變化快慢的重要參數(shù)。在瞬時值式子中，是正弦量的角速度，它反映了正弦量周期變化的快慢。由于正弦量在一個周期經(jīng)過的角度為2弧度，即T=2,故有=2/T=2f因此在電路中，稱為角頻率，單位是弧度/秒（rad/S）。當(dāng)f=50Hz時，

=2×50=314rad/S。3.1.2最大值與有效值1.瞬時值和最大值(1)瞬時值正弦交流電任一時刻的值稱瞬時值。用小寫字母表示，如u、i

等。(2)最大值

正弦量瞬時值中的最大值,也叫幅值、峰值。用大寫字母帶下標“m”表示,如Um、Im等。2.有效值一般電器設(shè)備上所標明的電流、電壓值都是指有效值。使用交流電流表、電壓表所測出的數(shù)據(jù)也是有效值。例如“220V,25W”的白熾燈指它的額定電壓的有效值為220V。一般不加說明,交流電的大小皆指它的有效值。(1)有效值定義交流電的有效值是根據(jù)它的熱效應(yīng)確定。如某一交流電流和一直流電流分別通過同一電阻R,在一個周期T內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，就將這個直流電流I的數(shù)值叫做交流電流的有效值。(2)正弦交流電的有效值有效值用大寫字母I、U表示，正弦交流電的有效值與最大值的關(guān)系例照明電源的額定電壓為220V,動力電源的額定電壓為380V,問它們的最大值各為多少?解因為額定電壓均為有效值，故照明電的最大值為動力電的最大值為3.1.3相位、初相與相位差1.相位正弦量解析式中的(ωt

+ψ)稱為相位角或電工角，簡稱相位或相角。正弦量在不同的瞬間，有不同的相位，因而有著不同的狀態(tài)(包括瞬時值和變化趨勢)。相位的單位一般為弧度(rad)。2.初相t=0時正弦量的相位，稱初相，用ψ表示。習(xí)慣上初相角用小于180°的角表示，即其絕對值不超過π。如:ψ=320°，可化為

ψ=320°－360°=－40°正弦量由負向正變化經(jīng)過零值的瞬間作為計時起點，則其初相為零，這個正弦量波形圖的正半波起點在坐標的原點，如圖1所示。當(dāng)正弦量的初相大于零時，其正半波的起點在坐標原點的左邊；當(dāng)正弦量的初相小于零時，其正半波的起點在坐標原點的右邊。如圖2所示電壓的初相u0，電流的初相i

0。圖1圖2３.相位差兩個同頻率正弦量的相位之差。例電壓u=Umsin(ωt+ψu)電流i=Imsin(ωt+ψi)它們的相位差φ=（ωt+ψu）－(ωt+ψi)=ψu－ψi，即：同頻率正弦量的相位差為初相位之差。例

u=Umsin(ωt+60°)i=Imsin(ωt+30°)求電壓與電流的相位差。解相位差φ=ψu－ψi=60－30=30°當(dāng)

=0時,即u=i=

時,稱電壓與電流同相。其特點是：電壓與電流同時從零到達最大值，又從最大值到達零，如圖（a）所示。此時u和i的瞬時值表達式為

u=Umsin（t＋）i=Imsin(t＋)當(dāng)

=/2時，即電壓與電流的相位差90，稱兩個正弦量為正交。正交的特點是：當(dāng)一個正弦量為最大值時，另一個正弦量剛好是零，如圖（b）所示。由波形圖可以得到電壓與電流的瞬時值表達式，即

u=Umsin（t＋90）i=Imsin

t當(dāng)

=時，電壓與電流的相位相反，稱它們?yōu)榉聪?。反相的特點是：一個正弦量的正半波正好對應(yīng)另一個正弦量的負半波，如圖（c）所示。其電壓與電流的瞬時值表達式為

u=Umsint

i=Imsin(t－)如果

0,即ui

時，則電壓比電流先到達零值或最大值，稱電壓超前電流角，或者說電流滯后電壓角，如圖（d）所示。此時的電壓與電流的瞬時值表達式為

u=Umsin（t＋u）i=Imsin(t＋i)例一正弦交流電壓，最大值為311V，t=0時的瞬時值為269V，頻率為50Hz，求有效值、周期、角頻率和初相，寫出其解析式。解有效值U=0.707×311=220V；周期T=1/f=1/50=0.02S；

角頻率ω=2πf=2π×50=314rad/s

；正弦電壓的解析式為u=311sin(314t+ψu)V

已知t=0時，u(0)=269V和Um=311V，即

269=311sinψ，

sinψ=0.866所以ψ=60°故解析式為

u=311sin(314t+60°)3.2.1正弦函數(shù)和波形圖表示

3.2.2相量表示法3.2正弦量的表示方法

3.2.1正弦函數(shù)和波形圖表示

正弦交流電的特點是大小和方向隨時間變化，正確地表示正弦交流電，對分析、計算正弦交流電路很重要。由正弦量的三要素可知，三要素一旦確定，正弦量也隨之而定，所以要表示正弦量，必須要體現(xiàn)三要素。正弦函數(shù)式表示正弦量也叫做瞬時值表達式法。在此表達式中，表示出正弦交流電的最大值、角頻率和初相三個要素，體現(xiàn)了正弦交流電的特點，所以它可以表示正弦量,例如電流i=3sin(314t－30)A，電壓u=220(314t+20)V。在實驗室中，通過示波器可以觀察到正弦交流電隨時間變化的規(guī)律，如圖示。由圖可見，波形圖也表示出了三要素，即曲線的峰值為最大值，曲線變化一個循環(huán)所用的時間為一個周期，正半波的起點與坐標原點的夾角表示初相。

在畫波形圖時，一般橫軸表示時間

t或相位角t；縱軸表示電壓或電流的瞬時值。為了便于比較同頻率電壓與電流的相位關(guān)系，常將電壓和電流的波形圖畫在同一個坐標平面上，如圖示。

3.2.2相量表示法在正弦交流電路分析中，常常要進行電壓電流的運算，正弦量的瞬時值表達式體現(xiàn)了交流電的變化規(guī)律，可直接得出正弦量的三要素，但是運算繁瑣。波形圖雖然表示簡單且形象直觀，有幾何的直觀性，但是不便于運算。因此，在正弦交流電路的分析中應(yīng)該采用更簡便的表示方法。相量表示正弦量，不但使正弦交流電路的分析變得簡便，而且使正弦交流電路的許多規(guī)律和性質(zhì)便于認識和理解。對于一個正弦量i=Imsin(t＋i)，可以用一個旋轉(zhuǎn)向量來表示，如圖3（a）所示。在平面直角坐標中，以原點為起點畫一個電流向量，向量的長等于電流的最大值Im，向量的初始位置與橫軸正方向的夾角等于電流的初相i。若以為角速度繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則向量在縱軸上的投影，即為相應(yīng)不同時刻的電流瞬時值例如i在t=0時的投影為Imsini

,就是該電流在t=0時的瞬時值。如果將圖（a）按時間t

展開，即可得到圖（b）所示的正弦波形。由此可見，旋轉(zhuǎn)向量反映了正弦量的三要素，所以它可以用來表示正弦量。同理正弦電壓也可以用旋轉(zhuǎn)向量表示。為了與空間向量區(qū)別，電路中稱其為相量。幾個同頻率正弦量用相量表示，可以畫在同一個坐標上。由于它們的頻率相同，在旋轉(zhuǎn)時的相對位置不變，即相位差不變，因為同頻率正弦量的相位差等于初相之差，所以在畫相量時，可以只畫出每個相量的初始位置即可。為了便于研究正弦量之間的相位關(guān)系，常將幾個相量畫在同一個坐標內(nèi)，組成相量圖，如圖（a）所示。由于相量之間的相位差，在頻率相同時，任何時刻都保持不變，因此在作相量圖時，一般將坐標也省去，而以某一相量作為參考相量，其它相量的位置由它們與參考相量之間的相位差而定，相量圖（a）可用圖（b）表示。相量圖在分析、計算正弦交流電路中和工程上得到廣泛的應(yīng)用，可以用相量圖表示或分析幾個同頻率正弦量之間的相位和大小關(guān)系。相量可以進行加減運算，其方法是平行四邊形法則。圖（a）中圖（b）中相量在做減法時可利用加負相量的方法。以上介紹了三種常用的正弦量的表示方法，尤其是相量表示方法在進行正弦量的加減運算時較為簡便，在電路分析中常用來分析幾個正弦量的相位關(guān)系。在此特別指出的是：由于正弦量之間存在大小和相位關(guān)系，所以一般不能用有效值或最大值直接進行加減運算，因為有效值和最大值沒有體現(xiàn)出相位關(guān)系。例

做出uA=220sintV、uB=220sin（t－120）V和uC=220sin（t＋120）V的相量圖解由最大值和有效值的關(guān)系可知三個電壓的有效值均為220V，初相分別為A=0、B=－120、C=120。選UA為參考相量，UB順時針旋轉(zhuǎn)120，UC逆時針旋轉(zhuǎn)120，做出如圖示的相量圖。正弦電路研究的問題基本與直流電路相似，包括兩個方面：（1）電路中電壓與電流的關(guān)系；（2）電路中電源與負載之間的功率關(guān)系。交流電壓、電流的大小和方向隨時間變化，并且存在相位關(guān)系；此外，交流電路中的元件有電阻、電感和電容，三種元件的電壓電流關(guān)系是不相同的。由于本章所討論的都是同頻率正弦量，所以在進行電路分析時，要抓主要矛盾，關(guān)鍵是掌握電壓與電流有效值的數(shù)量關(guān)系和相位關(guān)系。交流電路中，除電阻元件外還有電感元件和電容元件，電阻是消耗電能的元件，而電感和電容是儲能元件，并不消耗能量。所以交流電路中的功率關(guān)系主要研究電阻、電感、電容元件和電源的功率大小與特點，并討論它們之間的能量交換過程。3.3.1正弦交流電路研究的主要問題3.3.2正弦交流電路的分析方法分析交流電路的依據(jù)仍是歐姆定律和基爾霍夫定律，但電路的電壓和電流都要用瞬時值或相量表示?；鶢柣舴螂娏鞫墒请娏鬟B續(xù)性原理在電路中的體現(xiàn)，在交流電路中，流過電路任一節(jié)點的電流瞬時值代數(shù)和等于零。即

i=0在同頻率正弦交流電路中，電流可以用相量表示，所以基爾霍夫電流定律的相量形式為

I

=0即任一節(jié)點所聯(lián)各支路電流相量的代數(shù)和為零。式中流入節(jié)點的支路電流相量取正號，流出節(jié)點的支路電流相量取負號。.基爾霍夫電壓定律是能量守恒定律在電路中的體現(xiàn)。在交流電路中，任一瞬間電路任一回路中各支路電壓的代數(shù)和等于零，即

u=0在正弦交流電路中電壓用相量表示后,可得到基爾霍夫電壓定律的相量形式

U

=0即任一回路中各支路電壓相量的代數(shù)和為零。式中與回路方向相同的電壓相量為正，反之為負。應(yīng)用基爾霍夫定律時要特別注意，對電壓、電流有效值（最大值）一般不成立，即I≠0，U≠0。因為有效值沒有表示正弦量的相位，而相位在正弦電路的分析中是不可缺少的參數(shù)。.3.4電阻電路3.4.1正弦交流電路中電阻元件的電壓與電流關(guān)系

3.4.2正弦交流電路中電阻的功率電阻元件的基本特性是伏安特性，在直流電路中線性電阻的電壓與電流的關(guān)系由歐姆定律確定。電阻元件在電路中總是消耗能量的，它是一個耗能元件。本節(jié)研究正弦電壓作用下的電阻電壓與電流的關(guān)系和功率。3.4.1正弦交流電路中電阻元件的電壓與電流關(guān)系在正弦交流電路中，雖然電壓、電流是隨時間變化的，但是在每一瞬間，電阻上的電壓與電流的關(guān)系仍由歐姆定律確定。圖示為正弦交流電阻電路，在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)電阻兩端的電壓

u=Umsint根據(jù)歐姆定律，可得電阻中的電流

i=u/R=(Um/R)sint

=Imsint上式表明電壓與電流是同頻率、同相的正弦量，其電壓與電流有效值（或最大值）的關(guān)系仍滿足歐姆定律，即

I=U/R

或Im=Um/R電壓與電流的波形圖和相量圖如圖示。3.4.2正弦交流電路中電阻的功率電阻元件在交流電路中同樣也消耗功率，由于電壓電流隨時間變化，因此電阻在各瞬間消耗的功率也不同。電阻中任意瞬間消耗電功率叫瞬時功率，它等于電壓與電流瞬時值的乘積，用小寫字母p表示。將電壓u與電流i代入,即

p=ui

=Umsint

Imsint

=2UIsin2t

=UI（1－cos2t）

=UI－UIcos2t瞬時功率隨時間變化的規(guī)律如圖示。p中的前一部分為常量UI，后一部分是以二倍電源頻率正弦變化，整個波形在平均值UI的上下變動。由于電壓與電流同相，所以當(dāng)電壓、電流同時為零時，瞬時功率也為零；電壓、電流到達最大值時，瞬時功率也達最大值。在任何瞬間，恒有p0；說明電阻在吸收功率，它是一種耗能元件。瞬時功率雖然表明了電阻中消耗功率的瞬時狀態(tài)，但不便于表示和比較大小，所以工程中常用瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值表示功率，稱為平均功率（或有功功率），用大寫字母P表示,由瞬時功率p的表達式可知其第二項UIcos2t的平均值為零，故有

P=UI=I2R=U2G

與直流電路中電阻功率的形式相同。因為平均功率代表了電路實際所吸收的功率，所以習(xí)慣上就稱其為功率，它的基本單位仍為瓦特（W）。例如我們?nèi)粘Ｕf的100W燈泡，1/8W的電阻，10kW的電動機等都是指平均功率。

例1一個1k的電阻，將其接到頻率為50Hz，電壓有效值為10V的正弦電源上，求電阻的電流有效值和功率。如果保持電壓有效值不變，將電源頻率變?yōu)?0kHz,再求電阻的電流和功率。解因為電阻的大小與頻率無關(guān)，所以當(dāng)頻率改變時，如果電壓有效值不變，電流有效值及功率也不變。

I=U/R=10/1000A=0.01A=10mAP=I2R=0.012×1000=0.1W

例2已知某電阻的電壓u=220√2sin（314t+30）V,電阻R=2.2k,求電阻中的電流i和功率。解設(shè)電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則電壓有效值

U=220V而電流有效值

I=U/R=220/2200=0.1A電壓與電流同相且同頻率，所以

i=0.1√2sin（314t＋30）A

P=I2R=22W3.5.1電感元件磁通鏈與電流的關(guān)系3.5.2電感元件電壓與電流的關(guān)系3.5.3電感的磁場能量3.5電感元件電感元件是表示線圈的理想化的電路元件，它是電路中常用的元件之一。當(dāng)電流通過電感線圈時，在它的周圍建立了磁場，將電能轉(zhuǎn)化為磁場能量儲存起來。本節(jié)主要討論電感元件的基本特性，電壓與電流的關(guān)系及磁場能量。3.5.1電感元件磁通鏈與電流的關(guān)系圖示線圈，當(dāng)電流iL通過線圈時，將產(chǎn)生自感磁通L。設(shè)線圈有N匝，如果磁通穿過線圈的各匝，則線圈中的自感磁鏈（全部自感磁通）L=NL

。由于磁通是電流產(chǎn)生的，所以磁鏈與電流存在一定的關(guān)系。在磁通與電流的參考方向符合右螺旋的情況下，將自感磁鏈與產(chǎn)生它的電流之比稱為線圈的電感，用L表示，即

L=L/iLL是一個比例系數(shù)，當(dāng)L的單位為韋伯（Wb）,i的單位為安培（A）時，L的基本單位是亨利（H）常用的單位還有毫亨（mH）和微亨（H）在電路中線圈可以用圖示符號表示。線圈的電感與線圈的形狀、匝數(shù)、幾何尺寸及周圍介質(zhì)有關(guān)，當(dāng)介質(zhì)為非鐵磁物質(zhì)時，L為常數(shù)叫線性電感。式L=L/iL的圖象稱為韋安特性，如圖示。3.5.2電感元件電感電壓與電流的關(guān)系當(dāng)通過電感的電流變化時，電流產(chǎn)生的磁鏈也隨之變化，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，電感兩端將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，若電流與磁鏈的參考方向符合右螺旋，則感應(yīng)電動勢在電路分析中，常用的是電壓與電流的關(guān)系，而感應(yīng)電壓與電動勢僅差一負號，若電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向時，感應(yīng)電壓由此可見，電感電壓的大小取決電流對時間的變化率，即某一瞬間的電感電壓不是取決于此瞬間電流的數(shù)值，而是由電流的變化快慢決定。電感在直流電路中，由于電流不變化，電感電壓為零，相當(dāng)于短路。3.5.3電感的磁場能量電感元件中若有電流就一定產(chǎn)生磁通，而有磁通就意味著電感內(nèi)有磁場。磁場是一個能量場，它儲存著一定的磁場能量。因此，當(dāng)電感通有電流時，它的磁場中就儲存有磁場能量。任一時刻電感的磁場能量

WL=0.5Li2當(dāng)L的單位是亨利，電流的單位是安培時，磁場能量的單位是焦耳（J）。磁場能量與電流的平方成正比，當(dāng)電流增加時磁場能量增加，電感吸收能量將電能轉(zhuǎn)化為磁場能量；當(dāng)電流減小時，磁場能量也隨之減小，電感釋放能量。因此電感元件只是儲存能量而不消耗能量，也不會釋放出多于它吸收的能量，電感與電阻不同，它是一種儲能元件。3.6電感電路3.6.1正弦交流電路中電感元的電壓與電流的關(guān)系3.6.2電感電路的功率與能量3.6.1正弦交流電路中電感元件的電壓與電流的關(guān)系如圖示電感元件L，當(dāng)其通過正弦電流i=Imsint時，在電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電感電壓

u=Ld(Imsint)/dt=LImcost

=LImsin（t＋90）

=Umsin（t＋90）在正弦電路中，電感電壓與電流是同頻率的正弦量，而且電壓的相位超前電流90，其波形如圖示。電感電壓與電流最大值或有效值的關(guān)系由電感L及電源的角頻率確定，即

Um=LIm=XLIm

或

U=LI=XLI其中

XL=L=2fLXL稱為電感電抗，簡稱感抗，它表示了電感電壓有效值與電流有效值的大小關(guān)系，體現(xiàn)了電感對正弦電流的阻礙作用，顯然XL的基本單位是歐姆?？梢钥闯龈锌筙L與電感L和電源頻率f成正比。這說明對于不同頻率的電源，電感有不同的感抗，而且電感對高頻電流阻礙作用很大，而在直流電路中電感的感抗等于零，可視為短路。XL隨頻率變化的關(guān)系叫做感抗的頻率特性，如圖。電感電壓的相位超前電流90，電感電壓取決于電流的變化率，從波形圖可以看出電流在正半波起始時，其值雖然為零，但它的變化率卻是最大，所以電壓值為最大；而當(dāng)電流為最大時，其變化率為零，因此電壓值也為零，這就使得電感電壓的相位超前電流90。電感電路的相量圖，清楚地表明電壓超前電流90。3.6.2電感電路的功率與能量在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電感的瞬時功率

p=ui

=Umsin（t＋90）Imsint

=1/2UmImsin2t=UIsin2t可見電感的瞬時功率是一個幅值為UI，以二倍電源頻率正弦變化的時間函數(shù)。其波形如圖示。從波形圖可以看出，當(dāng)u、i都為正值或都為負值時，p0，說明此時電感吸收功率，從電源得到電能，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿芰績Υ嫫饋恚划?dāng)u與i一個為正值，另一個為負值時，p0,說明此時電感向外釋放能量，將磁場能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔芩瓦€給電源，所以電感與電源之間發(fā)生了周期性的能量交換。由波形圖不難看出，電感的瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值為零，即

P=0

平均功率等于零，說明電感不消耗功率。雖然電感不消耗功率，但是它與電源之間有能量交換，工程中為了表示能量交換的規(guī)模大小，將電感瞬時功率的最大值定義為電感的無功功率，簡稱感性無功功率，用QL表示，即

QL=UI=I2XL=U2/XL

無功功率的基本單位是乏爾，簡稱乏（Var）,較大的單位是千乏（kVar）。

例1已知某電感L=0.0127H，若將其接到頻率f=50Hz，電壓U=10V的正弦電源上，求（1）電感的感抗和電流（2）如果將電源的頻率變?yōu)閒=5kHz，其感抗和電流為多少。解（1）當(dāng)f=f1=50Hz時

XL1=2f1L=2×3.14×50×0.0127=4

I1=U/XL1=10/4=2.5A

（2）當(dāng)f=f2=5kHz時

XL2=2f2L=2×3.14×5000×0.0127=100×XL1=400

I2=U/XL2=0.025A=25mA可見在電壓有效值不變的情況下，頻率越高感抗越大，電流就越小。例2

將L=0.318H的電感接到u=220√2sin（314t＋60）V的電源上，求（1）電感電流的瞬時值表達式i（2）感性無功功率QL（3）電感儲存的最大磁場能量WLm（4）畫電壓電流相量圖。解（1）電壓有效值

U=220V

電感的感抗

XL=L=314×0.318=100

電感的電流有效值

I=U/XL=220/100=2.2A電感電流滯后電壓90，可知電流的瞬時值表達式

i=2.2√2sin(314t+60－90)=2.2√2sin（314t－30）A

（2）電感的無功功率

QL=I2XL=2.22×100=484Var

（3）最大磁場能量

WLm=0.5LIm2=0.5×0.318(2.2√2)2=1.54J

（4）電壓電流相量圖如圖示。

3.7電容元件

3.7.1電容元件電壓與電荷的關(guān)系

3.7.2電容元件電壓與電流的關(guān)系

3.7.3電容的電場能量電容器是一種電工、電子技術(shù)中廣泛應(yīng)用的實際器件,電容元件是電容器的理想化電路元件,它是常用的電路元件之一。在電路中，電容元件具有儲存電荷的作用，當(dāng)電容電壓升高時，電容充電儲存電荷；當(dāng)電容電壓降低時，電容放電釋放電荷。3.7.1電容元件電壓與電荷的關(guān)系電容元件儲存電荷的能力叫做電容量，簡稱電容，用C表示。在圖示電壓參考方向下，若以q表示正極板上的電荷，則電容

C=q/u若電容大小與電壓、電荷無關(guān)，是一個常數(shù)，稱為線性電容。其特點是電荷與電壓成正比。在式中，當(dāng)q的單位為庫侖（C），u的單位為伏特（V）時，電容的基本單位是法拉（F）。實際電路中常用的單位是微法（F）和皮法（pF）。換算關(guān)系是1F=10-6F，1pF=10-12F。如果以u為橫坐標，q為縱坐標，畫出電荷與電壓關(guān)系的圖象，稱做電容元件的庫伏特性。線性電容的庫伏特性是一條通過原點的直線，如圖示。3.7.2電容元件電壓與電流的關(guān)系當(dāng)電容進行充放電時，電容的電壓將發(fā)生變化，極板上電荷的數(shù)量也要相應(yīng)地改變，這時在與電容相聯(lián)的導(dǎo)線中就有電荷的移動，形成電流。在電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電容的充放電電流

i=dq/dt=Cdu/dt由上式可以看出，電容電流的大小取決于電壓對時間的變化率，而不是決定于電壓的大小。因為電容電流是充放電電流，當(dāng)其充電時，電壓升高，du/dt

0,i0,電流與電壓方向相同；當(dāng)它放電時，電壓降低，du/dt

0,i0,電流與電壓方向相反。在直流電路中電容充滿電后其電壓不再變化，電流為零，相當(dāng)于開路，所以電容具有隔直的作用。3.7.3電容的電場能量電容器充電后極板上儲存了電荷，極板之間有電壓，說明電容器內(nèi)存在電場。電場是一個能量場，因此當(dāng)電容儲存有電荷或有電壓時，它就儲存了電場能量。任一時刻電容儲存的電場能量

WC=0.5Cu2

上式表明，任一時刻電容的電場能量與該時刻的電壓平方成正比。當(dāng)電容的單位為法，電壓的單位為伏時，電場能量的單位是焦耳。由于電容可以儲存電場能量，因此它與電感元件相似是一種儲能元件。當(dāng)電容充電時，電壓上升，電容儲存電場能量；當(dāng)電容放電時，電壓下降，電容釋放電場能量。所以電容元件只是儲存能量而不消耗能量，也不會釋放出多于它吸收的能量。

3.8電容電路3.8.1正弦交流電路中電容元件的電壓與電流關(guān)系3.8.2電容電路的功率與能量3.8.1正弦交流電路中電容元件的電壓與電流關(guān)系將電容接到正弦電壓u=Umsint上，在圖示電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電容電流

i=Cdu/dt

=Cd（Umsint）/dt

=CUmcost

=CUmsin（t＋90）

=Imsin（t＋90）電容的電壓與電流為同頻率的正弦量，且電流的相位超前電壓90，其波形如圖示。電容電壓與電流最大值或有效值的關(guān)系由電容C及電路的角頻率確定，即

Im=CUm=Um/XC

或I=CU=U

/XC

其中

XC=1/C=1/2πfCXC稱為電容電抗,簡稱容抗,它表示了電容電壓有效值與電流有效值的大小關(guān)系,體現(xiàn)了電容對正弦電流的阻礙作用。XC的單位是歐姆。XC也由二個因素決定,它與電容和電源頻率成反比。這是因為在電壓一定的情況下,C大電容儲存的電荷多;f高電容的充放電次數(shù)增多,電流增大,相當(dāng)于XC減小。所以電容對高頻電流阻礙作用小,對低頻電流阻礙作用大。在直流電路中,電容的XC=,可視為開路。XC的頻率特性如圖示。還需特別討論的是,電容電流的相位超前電壓90的物理實質(zhì)。電容電流是充放電電流,它取決電壓的變化率。由波形圖可知,電壓正半波起始時,雖然為零,但變化率為正的最大,所以電流值為最大;當(dāng)電壓為最大時,其變化率為零,電流值也為零。這就使得電流在相位上超前電壓90。電容電壓與電流的相量圖如圖示，它清楚地表明了電流超前電壓90。3.8.2電容電路的功率與能量在電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電容元件的瞬時功率

p=ui

=UmsintImsin（t＋90）

=1/2UmImsin2t=UIsin2t由此可見電容瞬時功率的最大值為UI，并以二倍電源頻率正弦變化，其波形如圖示。由波形圖看出，當(dāng)p0時，電容電壓u增大，說明此時電容充電，從電源獲得能量并轉(zhuǎn)化為電場能量，儲存起來；當(dāng)p0時，u減小，說明此時電容放電，將電場能量送還給電源，所以電容與電源之間發(fā)生了周期性地能量交換。波形圖看出電容在一個周期內(nèi)的平均功率為零，即

P=0說明電容不消耗功率。雖然電容不消耗功率，但是它與電源之間存在能量交換。為了表示能量交換的規(guī)模大小，將電容瞬時功率的最大值定義為電容的無功功率，或稱容性無功功率，用QC表示，即

QC=UI=I2XC=U2/XC

QC的單位也是乏或千乏。

例1將一個25F的電容接到f=50Hz,U=10V的正弦電源上，求電容的容抗和電流。如果保持電壓有效值不變，電源頻率變?yōu)?00Hz,再求其容抗和電流。解當(dāng)f=f1=50Hz

XC1=1/2πf1C=127.4

I1=U/XC1=0.078A=78mA

當(dāng)f=f2=500Hz時

XC2=1/2πf2C=127.4=12.74

I2=U/XC2=10×I1=0.78A=780mA可見在電壓有效值一定的情況下，頻率越高，則電容電流越大。例2將一個127F的電容接到u=220sin（314＋30）V的電源上，求（1）電容電流i（2）容性無功功率（3）電容儲存的最大電場能量WCm（4）畫電壓電流相量圖。解（1）電壓的有效值

U=220V

電容的容抗

XC=1/C=25

電容電流

I=U/XC=8.8A所以i=8.8sin（314t＋30＋90）A=8.8sin（314t＋120）A（2）容性無功功率

QC=I2XC=8.82×25=1936Var（3）電壓為最大值時電容儲存最大的電場能量

WCm=0.5CUm2=0.5×127×10-6×(220√2)2=6.15J（4）電壓電流相量圖如圖示。

3.9串聯(lián)電路3.9.1電阻、電感與電容串聯(lián)電路的電壓與電流關(guān)系3.9.2電路的三種性質(zhì)3.9.3正弦交流電路的功率3.9.1電阻、電感與電容串聯(lián)電路的電壓與電流關(guān)系在R、L、C串聯(lián)電路中，流過各元件的電流相同，為了分析方便，以電流為參考，設(shè)

i=Imsint

三種元件的電壓電流關(guān)系可知電阻電壓uR=Ri=RImsint電感電壓uL=XLImsin(t+90)電容電壓uC=XCImsin(t－90)由基爾霍夫電壓定律可知電路的總電壓

u=uR+uL+uC或用相量表示為1.RLC串聯(lián)電路相量圖以電流相量為參考相量作出相量圖，圖中設(shè)UL>UC

顯然，組成一個直角三角形，稱為電壓三角形，由電壓三角形可得電壓三角形清楚地表示出電阻電壓、電抗電壓和總電壓之間的關(guān)系。由相量圖可以求得電流與總電壓有效值之間的關(guān)系為

2.阻抗三角形其中X=XL—XC稱為電抗，Z

和分別稱為阻抗的模和阻抗角，其關(guān)系為將電壓三角形的每邊除以電流，可以得到由R、X與Z構(gòu)成一個直角三角形，叫做阻抗三角形，它表明R、X、Z及之間的關(guān)系，如圖示。阻抗三角形與電壓三角形為相似三角形。

3.9.2電路的三種性質(zhì)根據(jù)RLC串聯(lián)電路的電抗RLC串聯(lián)電路有以下三種不同性質(zhì)：1.感性電路當(dāng)ωL>1/ωC時，X>0，φ>0，UL>UC。電壓超前電流；電路呈感性，相量圖如圖(a)所示。2.容性電路當(dāng)ωL<1/ωC時，X<0，φ<0，UL<UC，電壓滯后電流；電路呈容性，相量圖如圖(b)所示。3諧振電路當(dāng)ωL=1/ωC時，X=0，φ=0，UL=UC。Z=R。端口電壓與電流同相，電路呈阻性。這是一種特殊狀態(tài)，稱為諧振，相量圖如圖(c)所示。RL串聯(lián)電路、RC串聯(lián)電路、LC串聯(lián)電路、電阻元件、電感元件、電容元件都可以看成RLC串聯(lián)電路的特例。3.9.3電路的功率1.功率三角形將電壓三角形每邊乘以電流可以得到由平均功率、無功功率和視在功率組成的功率三角形。2.平均功率電阻元件上要消耗電能,用有功功率（或平均功率）表示為

P=URI=I2R=UIcosφ3.無功功率電感元件和電容元件只是儲放能量,它們與電源之間要進行能量交換,相應(yīng)的無功功率為

Q=UXI=ULI－UCI=QL－QC=UIsinφ4.視在功率通常交流電氣設(shè)備（發(fā)電機、電動機、變壓器）都是按照額定電壓U和額定電流I來設(shè)計和使用的。例如變壓器的容量就是以額定電壓和額定電流的乘積來表示的,稱之為額定視在功率S

S=UI視在功率的單位是伏安（VA）或千伏安(kVA)。由于有功功率（平均功率）P、無功功率Q和視在功率S三者所代表的意義不同,為了區(qū)別起見,各采用不同的單位。5.功率因數(shù)一個交流發(fā)電機輸出的功率不僅與發(fā)電機輸出的端電壓及輸出電流的有效值的乘積有關(guān),而且還與電路負載的參數(shù)有關(guān)。若電路所具有的參數(shù)不同,其電壓與電流間的相位差φ就不同,在同樣電壓U和電流I之下,電路的有功功率和無功功率也就不同。式UIcosφ中的cosφ稱為功率因數(shù)。

cosφ

=P/S功率因數(shù)表示電器設(shè)備功率與容量的關(guān)系。6.功率關(guān)系由功率三角形可知,功率P、

Q、S及cosφ之間的關(guān)系。P=Scosφ

Q=Ssinφ

S=√P2+Q2

cosφ

=P/S

例1

R、L、C串聯(lián)后接到電壓U=10V，角頻率=5000rad/s的正弦交流電源。已知R=7.5,電感L=6mH，電容C=5F。求電路中的電流和各元件上的電壓。解感抗

XL=L=5000×6×10-3=30

容抗電抗

X=XL－XC=30－40=－10電路的阻抗阻抗角

=arctgX/R=arctg(-10/7.5)=－53.1電路的電抗、阻抗角是負值，說明電路為容性，電流相位超前電壓53.1。電路電流有效值

I=U/Z=0.8A電阻電壓

UR=RI=7.5×0.8=6V電感電壓

UL=XLI=30×0.8=24V電容電壓

U=XCI=40×0.8=32V

例2已知電阻R=30，電感L=382mH,電容C=40F，串聯(lián)后接到電壓u=220sin（314t＋30）V的電源上。求電路的i、P、Q和S。解感抗

XL=L=314×382×10－3=120容抗

XC=1/C=1/(314×40×10－6)=80

電路的電抗

X=XL－XC=120－80=40電路的阻抗阻抗角=arctgX/R=arctg40/30=53.1電抗和阻抗角為正值，說明電路為感性，電壓超前電流53.1。電流有效值

I=U/Z=220/50=4.4A注意電源電壓的初相已給定，不能再任意指定，電流

i=4.4sin（314t＋30－53.1）=4.4sin（314t－23.1）A平均功率

P=UIcos

=220×4.4cos53.1=581W無功功率

Q=UIsin

=220×4.4sin53.1=774Var視在功率

S=UI=220×4.4=968VA由上可見，

0，電壓超前電流，Q0,電路為感性。

例3有一個線圈，其電阻為5，當(dāng)將其接到頻率為50Hz,電壓有效值為220V的正弦交流電源時，通過線圈的電流有效值是6A。（1）求線圈的電感，（2）若將此線圈接到直流220V電源上，求通過線圈的電流。解（1）電路中沒有電容，線圈可視為R、L串聯(lián)電路，由已知的電壓、電流有效值求得復(fù)阻抗的模

Z=U/I=220/6=36.7

由阻抗三角形可知線圈的電感

L=XL/=36.4/314=0.116H=116mH（2）當(dāng)線圈接到220V直流電源時，因為電感對直流相當(dāng)于短路，這時線圈中的電流由電阻決定，即

I=U/R=220/5=44A可見，電流比線圈接到交流電源時大得多，所以交流線圈接到同樣電壓值的直流電源時，往往會使線圈燒毀。解用相量圖求解，串聯(lián)電路以電流為參考，電阻電壓與電流同相，電容電壓滯后電流90

，由KVL做出如圖示的相量圖。端電壓的有效值顯然U

U1+U2=280V。

例4

圖示電阻電容串聯(lián)電路，電壓表V1的讀數(shù)為120V，電壓表V2的讀數(shù)是160V，求端電壓U的大小。例5圖示電路，已知電流表A1的讀數(shù)為8A，電流表A2的讀數(shù)是6A，求電流表A的讀數(shù)。解利用相量圖求解，根據(jù)電阻、電感元件的電壓電流關(guān)系可知，電阻電流與電壓同相，電感電流滯后電壓90，并聯(lián)電路以電壓相量為參考，由KCL做出如圖示相量圖。電流表A的讀數(shù)但是

I

I1+I2=14A。3.10正弦交流電路的相量圖在正弦交流電路的分析中，常常需要畫反映電路基本定律和電壓、電流關(guān)系的相量圖，它直觀地用幾何圖形表示出各相量之間的大小和相位關(guān)系，并可以利用相量圖對電路進行輔助分析與計算。因此，相量圖是分析正弦交流電路的一種重要工具。在畫電路的相量圖時，除要按比例畫出各個相量的長短外，更重要的是確定各相量之間的相位關(guān)系。由于做圖的精度所限，相量圖更多的用于電路的定性分析。在畫相量圖時應(yīng)掌握以下原則1.回路中所有支路（或元件）電壓相量的關(guān)系要符合KVL。2.節(jié)點上所有支路電流相量的關(guān)系要符合KCL。3.元件上電壓與電流的相量應(yīng)符合元件的特性，即電阻電壓與電流同相，電感電壓超前電流90,電容電壓滯后電流90。除了掌握上述畫圖原則外，在做相量圖時還必須選某一相量作為參考相量，而其它有關(guān)相量就根據(jù)參考相量來加以確定。參考相量的初相可以取為零，也可取其它的值，視具體情況而定。參考相量的選擇直接關(guān)系到相量圖能否較容易地畫出，做相量圖選擇參考相量的方法是：在畫串聯(lián)電路的相量圖時，一般選電流為參考相量，以此為基準確定各元件的電壓相量，各電壓相量之間的關(guān)系，根據(jù)KVL由相量求和的方法做出。在并聯(lián)電路中，一般選取電壓為參考相量，以它為參考確定各元件的電流相量，各電流相量之間的關(guān)系，根據(jù)KCL由相量求和的方法做出。在混聯(lián)電路中一般選取電路末端的電壓或電流為參考相量，然后根據(jù)KCL、KVL由電路的末端向始端逐步做出各電壓電流的相量圖。

例1

電力系統(tǒng)的負載多為感性，功率因數(shù)一般較低，為了使電力設(shè)備的容量能得到充分地利用，減小輸電線路的電流，降低線路的功率損耗，常常采用負載端并聯(lián)電容器的方法提高負載的功率因數(shù)，如圖示。試利用相量圖定性分析感性負載并聯(lián)電容器提高功率因數(shù)的原理。

解并聯(lián)電路選電壓為參考相量，令它的初相為零。負載R、L支路的電流iL滯后電壓1，其功率因數(shù)為cos1。并聯(lián)電容器后，電容的電流ic超前電壓90，根據(jù)KCL其總電流i=iL+iC，在相量圖中可利用多邊形法則進行相加，如圖示。由相量圖可見i與u的相位差為，顯然

1，即cos

cos1，因此感性負載并聯(lián)電容器后提高了功率因數(shù)。例2如圖3-42（a）所示正弦交流電路，已知端電壓U=100V，支路電流IR=IC=10A，端電壓與總電流同相，求電路參數(shù)R、XL和XC

。解做電路的相量圖進行分析，混聯(lián)電路，選末端電壓Uab為參考相量。按比例做出電路的相量圖，如圖（b）。由相量圖中各相量的幾何關(guān)系可知

UL=U=100V由于IR=IC，所以由上述分析看出有時用相量圖對電路進行分析要比直接計算電路簡便。

3.11R、L、C元件特性實驗3.11.1實驗?zāi)康?.11.2預(yù)習(xí)要求

3.11.3實驗儀器及設(shè)備3.11.4實驗內(nèi)容及步驟3.11.5注意事項3.11.1實驗?zāi)康?．學(xué)會功率表的使用方法和接線。2．學(xué)習(xí)利用交流電壓表、交流電流表和功率表測量得到R、L、C元件參數(shù)及電路阻抗的方法。3．學(xué)習(xí)和研究正弦交流電路中R、L、C元件上電壓和電流的相量關(guān)系，了解它們在正弦交流電路中消耗功率的情況。4．研究各R、L、C元件串并聯(lián)的正弦交流電路。3.11.2預(yù)習(xí)要求1.回顧正弦交流電路中各種元件上電壓與電流的關(guān)系；R、L、C串聯(lián)電路中，總電壓與各元件上電壓的關(guān)系以及各阻抗的計算方法；R、L、C并聯(lián)電路中，總電流與各支路電流的關(guān)系以及各阻抗的計算方法。2.了解R、L、C元件上的功率特征。3.11.3實驗儀器及設(shè)備名

稱型號及使用參數(shù)數(shù)量單相自耦調(diào)壓器JT132kVA220/0~250V1臺功率表D34-W0~300V0~1Acosφ=0.21塊電工技術(shù)實驗箱DIGE-DGB1個交流電壓表DICE-DG1塊交流電流表DICE-DG1塊萬用表FM101塊3.11.4實驗內(nèi)容及步驟1．測量R、L、C元件的參數(shù)（1）熟悉實驗設(shè)備后，按圖示實驗電路在未通電的情況下連接線路。接線時，自耦調(diào)壓器1、3兩端接220V、50Hz交流電，4、5兩端接負載電路。先接電路連線，最后接電源的兩根線，接好電路后，將自耦調(diào)壓器調(diào)至最小輸出位置，必須經(jīng)教師檢查后才能接通電源。表1測量項被測量U(V)I（A）P（W）計算值RR（Ω）CC（μF）L（

rL

）L（mH）rL（Ω）（2）將單相自耦調(diào)壓器的輸出電壓從零開始逐漸增至100V。在斷開電源的情況下，分別將白熾燈（電阻R）、電感線圈L（

rL

）、C=4μF接入電路，接通電源后分別讀出電壓、電流與功率的測量值，將結(jié)果記入表1中，并計算R、C、L及rL

的值。2．測量L（

rL

）、C串聯(lián)電路（1）按圖示L（

rL

）、C（

4μF）串聯(lián)電路接線，經(jīng)教師檢查無誤后接通電源。表2被測電阻測

量

值計

算

值U(V)P(W)I(A)IC(A)IL(A)ZLcosφX（Ω）L(rL)、C

串聯(lián)

L(

rL)、C

并聯(lián)

（2）將單相自耦調(diào)壓器調(diào)至120V，分別讀出電壓、電流與功率的測量值，將數(shù)據(jù)記入表2中，并將阻抗ZL、

功率因數(shù)cosφ

及等效電抗X的計算值記入表2中。3.11.5注意事項1．本實驗采用220V的工頻交流電源供電，實驗過程中。要特別注意人身安全，不可直接觸摸帶電線路的裸露部分；換接元件時，先斷電源再換元件。2．在使用單相自耦調(diào)壓器時，應(yīng)注意原副邊的連線，用前將調(diào)壓器手柄調(diào)至零位，接通電源后緩緩上調(diào)輸出電壓，同時觀察電路中的儀表有無異常反應(yīng)，如有問題先斷開電源再作處理。3．功率表要正確接入電路，讀數(shù)時應(yīng)注意量程和標度尺的折算關(guān)系。3.12日光燈及功率因數(shù)提高實驗3.12.1實驗?zāi)康?.12.2預(yù)習(xí)要求3.12.3實驗原理與