中考數(shù)學(xué)黃金知識點系列專題15等腰三角形

專等三形聚焦考點☆溫習(xí)理解一等三形1、等腰三角形的性質(zhì)（1等腰三角形的性質(zhì)定理及論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°（2等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角角可為鈍角（或直角③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為，底邊長為b則

<a④等腰三角形的三角關(guān)系角為頂角為A角∠∠A=180°∠B

18022、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角是60°的等腰角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。二等三形1.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角.2.性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°3.判定三個角都相等的三角形是等邊三角形；

有一個角等于的等腰三角是等邊三角.三線垂平線1.定義垂直一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分.2.性質(zhì)線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等3.判定到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線.名師點睛☆典例分類考典一等三形性【例1（2016山濱第6題圖eq\o\ac(△,，)中為AB上點為BC上一AC=CD=BD=BE∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【答案】D.考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵．【舉一反三】（2016山棗第4題如圖，在ABC中，

=30°為BC延長線上一點ABC與∠的平分線相交于點，則∠等AB．17.5°．20°．22.5°

ABC第4題圖【答案】A.【解析】考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定.考典二等三形多問【例2】(2016湖懷第8題等三形的兩邊長分別為4cm，則它的周長為（）A．16cmB．17cmC．20cmD或20cm【答案】C.【解析】試題分析：分當(dāng)腰長為4cm或是長為8cm種情況：①當(dāng)腰長是4cm時則三角形的三邊是4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不滿三角形三邊關(guān)系；當(dāng)腰長是8cm時，三角形的三邊是8cm，8cm，4cm，角形的周長是20cm．答案選C．考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【點睛】題考查了等腰三角形的性質(zhì)；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．【舉一反三】（2016湖湘州14題一個等腰三角形邊長為4cm，另一邊長為，那么這個等腰三角形的周長是（）A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD以上都不對【答案】C.【解析】

33考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．考典三等三形性與定【例3年福龍第15題）圖，△ABC是等三角形BD平∠ABC，點在BC的延長線上，且CE=1，，則BC=．【答案】2.【解析】試題分析：∵△ABC是等邊三形，∴∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平∠ABC，∴∠E=30°BD⊥AC，∴，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2.考點：等邊三角.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)和判定解決．【舉一反三】（2016四達第15題）圖P等邊三角形內(nèi)點，將線段AP繞A順針旋轉(zhuǎn)得到線段AQ，連接．PA=6，則四邊形APBQ面積為．【答案】24+9．【解析】

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)．考典四線垂平線性運【例3湖南沙17）圖，△ABC，AC=8，BC=5的直平分線DE交AB于，交邊AC于點E，則△BCE的周長為．【答案】．【解析】試題分析：已知是AB的直分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，所以△BCE周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13考點：線段的垂直平分線的性.【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】（2016山威第10題）圖，在△中∠B=∠C=36°的直平分線交BC于D，交于點H，AC的垂直平分線交BC于E，AC于，連接AD，AE，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．=B，AE將∠三等分C．△ABE≌△ACDD

【答案】．【解析】考點：黃金分割；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段的垂直平分線的綜合.課時作業(yè)☆能力提升一、選擇題1.（2016湖南西第14題）個等腰三角形一邊長為，另一邊長為5cm那么這個等腰三角形的周長是（）A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD以上都不對【答案】C.【解析】試題分析：分4cm為腰三角形的腰和為等腰三角形的腰兩種情況：①當(dāng)為腰三角形的腰時，三角形的三邊分別是4cm，4cm，5cm符三角形的三邊關(guān)系，周長為1；當(dāng)5cm為等腰三角的腰時，三邊分別是，5cm，5cm，4cm，合三角形的三邊關(guān)系，周長為14cm，故答案選C.

考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．2.（2016川孜第9題如，在△中，平∠ABC，∥BC，已知AB=3，=1，eq\o\ac(△,則)的周長為（）A．2BC．4D．5【答案】．【解析】考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．3.（2016遼營第8題如圖，在△中，∠=90°，分別以點和為心，以相同的長（大于

12

AC）為半徑作弧，兩弧相交于點和點，作直線交于，交AC點E，連接．下列結(jié)論錯誤的是（）A．AD=

B．∠=∠DCE

C．∠ADE=∠DCB

D．∠=2∠DCB【答案】．【解析】試題分析：∵是AC的垂直平線，=，=，故正∴DE∥BC∠∠DCE，故正，∴∠=∠CDE=∠DCB故正，故選D．

考點：作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．4.（2016河南6題如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10.DE直平分AC交AB于E，則DE的長為【】（A）6（B（C）4（D【答案】D.【解析】考點：勾股定理；三角形的中位線定.5.（2016北16題）圖，AOBOP平分∠AOB且=2.若點M，分別在，上，且△PMN為邊三角，則滿足上述條件的PMN有（）第16題圖A．1個

B．2個C．3個D．3以上【答案】d.【解析】試題分析：Ｍ、Ｎ分別在ＡＯ、ＢＯ，一個M其中一個和O點合2個反向延長線上，有一個，故答案選D.考點：等邊三角形的判定.

6．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（

2

，

2

（

3

，

3

點C在軸，以A、B、三為頂點的三角形是等腰三角形，則點C個數(shù)為（）A．2B．3．4D．5【答案】．【解析】考點：．腰三角形的判定2坐標(biāo)與圖形性質(zhì)3．分類討論；．綜合題；5．壓軸題．（2016山濱州6題如圖，中D為AB上一點E為上一，且，∠A=50°則∠CDE的度數(shù)為（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【答案】D.

【解析】考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．二、填空題8.貴州義14）圖，在△中AB=BCABC=110°的直平分線交AC于點，連接，∠=

度．【答案】．【解析】試題分析：∵在中ABBC，，∴=∠C=35°，AB的垂直平分線DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠=∠A=35°故答案為：35．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．9.（2016江蘇蘇州第17題）如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°點D、分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿在直線折疊到△′（點B′在四邊形ADEC內(nèi)連接AB′，則AB′的長為．【答案】7.【解析】試題分析：過點D作⊥B于點，過點′作B′G于點G，∵∠B=60°，BE=BD=4，是等

1邊三角形，∵△B′DE≌△BDE，′F=B′E=BE=2，DF=23,∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=102∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考點：軸稱2等邊角形.10.湖隨第12題）已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x﹣8x+15=0的，則該等腰三角形的周長為．【答案】19或21或23．【解析】考點：一元二次方程的解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)．11.（2016廣西池18題）圖的三角形紙片中=BC，C=30°，折疊這個三角形，點B落在的中點D處，折痕為EF那么的長為

．【答案】

143

．【解析】試題分析：過D作DH，過點A作⊥BC于點，∵AB=，∴∠∠=30°，根據(jù)折疊可得D=，∠=∠B=30°=，=12，∴=NC=6，點B落在AC的中點D，∥DH∴=HC=3cm

∴=330°=（cm=DF=xcmFH﹣﹣3=9﹣eq\o\ac(△,Rt)中DF

2

2

FH

2

，故

22(9)

，解得：x

141414，即BF的為：．故答案為：．333考點：翻折變換（折疊問題12.（2016蒙通第14題）腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．【答案】69°或．【解析】考點：等腰三角形的性質(zhì)；分類討論．13.（2016福建平16題）圖，等ABC中，CA==4∠ACB=120°點D在段AB上動（不與A、重合CAD△分別沿直線CA翻折得到CAP與△，給出下列結(jié)論：①==；

②∠的大小不變；③△面積的最小值為

3

；④當(dāng)點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，其中所有正確結(jié)的序號是．【答案】①②④．【解析】③如圖點作QE⊥交延線于E∠∠=60°eq\o\ac(△,Rt)QCE∠=

CQ

，∴=×tan∠=CQ×tan60°=，∵CP==，∴=eq\o\ac(△,S)

11×QE=×3CQ=22

32

CD

2

，∴最短時，最，即：⊥時，CD最，點C作CF，此時就是最短的，∵AC，eq\o\ac(△,S)PCQ=120°，∴ABC=30°，=

12

BC=2，即CD短為2∴=eq\o\ac(△,S)

3=2=2，③錯22誤；④∵將△與分別沿直線CA翻折得到△與CBQAD，DACPAC，∵DAC=30°，

33∴∠APD=60°，∴是等邊三角形，PD，ADP=60°同理BDQ等邊三角形，DQ=，=60°，∴=60°∵當(dāng)點D的點，ADBD，=，eq\o\ac(△,∴)DPQ等邊三角形，∴④正確，故答案為：①②④．考點：幾何變換綜合題；定值問題；最值問題；綜合題；翻折變換（折疊問題14.（2016川州15題）圖P是等邊三角形內(nèi)點，將線段AP繞A順針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若，PB=8，PC=10，則四邊形的面積為．【答案】24+9．【解析】考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)．15.（2016湖南沙17）圖，△ABC中，AC=8，AB的垂直平分線DE交AB于，交邊AC于點E，則△BCE的周長為．

【答案】．【解析】考點：線段的垂直平分線的性.16.（2016南底17題）圖，將△ABC直線DE折疊，使點C與點A重合已AB=7，BC=6則△BCD的長為．【答案】．【解析】試題分析：將△沿線DE疊后，使得點A與點合，由折疊的性質(zhì)可得AD=CD，由，BC=6，可得△的周長考點：翻折變換（折疊問題三、解答題17.（2016山淄第22題分圖知ABC平分BAC交于點DBC的中點為M∥AD，交BA的延線于點E，交于．（1求證：AE=AF；（2求證：BE=（AB+AC【答案）詳見解析）見解析

【解析】∴BE=

11BG=（BA+AG）=22考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．18.（2016南化17題）圖，已知．（1求證：△ADB≌eq\o\ac(△,；)（2）OA與OB相嗎？若相等請說明理由．

【答案】(1)詳見解析）OA=OB理由詳見解.【解析】考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定．19.（2016西池21題）圖AEBF平分∠BAE交BF于C．（1尺規(guī)作圖：過點B作的線，交于，AE于D留作圖痕跡，不寫作法