教育與心理統(tǒng)計八參數(shù)估計

第八章參數(shù)估計參數(shù)(cānshù)估計的一般問題一個總體參數(shù)(cānshù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)(cānshù)的區(qū)間估計樣本容量的確定精品資料學(xué)習(xí)(xuéxí)目標(biāo)估計量與估計值的概念點估計與區(qū)間估計的區(qū)別評價(píngjià)估計量優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法樣本容量的確定方法精品資料參數(shù)估計在統(tǒng)計方法(fāngfǎ)中的地位參數(shù)估計假設(shè)檢驗統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計精品資料統(tǒng)計(tǒngjì)推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等精品資料參數(shù)估計的一般(yībān)問題估計量與估計值點估計與區(qū)間(qūjiān)估計評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)精品資料估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個估計量參數(shù)用表示，估計量用表示估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計(tǒngjì)量的具體值如果樣本均值x=80，則80就是的估計值估計量與估計值

(estimator&estimatedvalue)精品資料參數(shù)估計的方法(fāngfǎ)矩估計法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計量法估計方法點估計區(qū)間估計精品資料點估計

(pointestimate)用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)(cānshù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計2. 不足：沒有給出估計值接近總體參數(shù)(cānshù)程度的信息點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等精品資料問題(wèntí)的提出：這種形式的參數(shù)估計方法稱為(chēnɡwéi)區(qū)間估計.精品資料區(qū)間(qūjiān)估計

(intervalestimate)在點估計的基礎(chǔ)(jīchǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限精品資料區(qū)間(qūjiān)估計的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.64x+1.64x精品資料

置信區(qū)間與置信水平（置信度）

定義：

置信區(qū)間置信水平.精品資料1、將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含(bāohán)總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平2、表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例3、常用的置信水平值有0.99,0.95,0.90相應(yīng)的為0.01，0.05，0.104、由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間5、統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含(bāohán)真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間6、注意：用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含(bāohán)總體參數(shù)的真值**我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含(bāohán)總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含(bāohán)參數(shù)真值的區(qū)間中的一個精品資料置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)區(qū)間包含了的區(qū)間未包含1–aa/2a/2置信度和置信區(qū)間的意義(yìyì):精品資料兩點說明(shuōmíng):精品資料影響區(qū)間(qūjiān)寬度的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度(chéngdù)，用來測度2、樣本容量，3. 置信水平(1-)，影響z的大小精品資料良好(liánghǎo)估計量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性：估計(gūjì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(gūjì)的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏精品資料有效性：對同一總體參數(shù)(cānshù)的兩個無偏點估計量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有效AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)精品資料一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體(zǒngtǐ)參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)充分性：一個容量為n的樣本統(tǒng)計(tǒngjì)量，是否充分地反映了全部n個數(shù)據(jù)反映總體的信息。精品資料單總體參數(shù)的區(qū)間(qūjiān)估計精品資料總體均值的區(qū)間(qūjiān)估計估計總體平均數(shù)的步驟：（P204）1、根據(jù)實得樣本的數(shù)據(jù)，計算(jìsuàn)樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。2、計算(jìsuàn)標(biāo)準(zhǔn)誤3、確定置信水平或顯著性水平4、根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計表。5、計算(jìsuàn)置信區(qū)間6、解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間精品資料總體均值(jūnzhí)的區(qū)間估計假定條件（1）總體服從正態(tài)分布,且方差(２)已知（2）如果非正態(tài)分布，２未知的大樣本(yàngběn)(n30)2、使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料解

例

精品資料【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量(zhìliàng)進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。精品資料解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算(jìsuàn)得：總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均(píngjūn)重量的置信區(qū)間為[101.44，109.28]精品資料２未知的大樣本(yàngběn)(n30)例：從某年高考隨機(jī)抽102份作文試卷(shìjuàn)，算得平均分為26，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，試估計總體平均數(shù)95%的置信區(qū)間。精品資料解：已知n=102,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(shùjù)計算得：

總體(zǒngtǐ)均值在0.95置信水平下的置信區(qū)間為：[25.709，26.291]精品資料總體均值的區(qū)間(qūjiān)估計1. 假定條件總體(zǒngtǐ)服從正態(tài)分布,且方差(２)未知小樣本(n<30)使用t分布統(tǒng)計量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料t分布(fēnbù)t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定(tèdìng)的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z精品資料例：書P2077-3精品資料總體(zǒngtǐ)均值的區(qū)間估計【例】已知某種燈泡(dēngpào)的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡(dēngpào)中隨機(jī)抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡(dēngpào)平均使用壽命95%的置信區(qū)間精品資料解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(shùjù)計算得：，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡(dēngpào)平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時～1503.2小時精品資料標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間(qūjiān)估計1. 假定條件樣本容量大于30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分布(fēnbù)近似服從正態(tài)分布(fēnbù)。2、總體標(biāo)準(zhǔn)差在1-置信水平下的置信區(qū)間為例子：P208T7—5精品資料總體(zǒngtǐ)方差的區(qū)間估計1. 目的：估計一個(yīɡè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)條件：假設(shè)總體服從正態(tài)分布3、總體方差2的點估計量為S2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料總體(zǒngtǐ)方差的區(qū)間估計221-2總體方差1-的置信區(qū)間自由度為n-1的2例：P209T7—6精品資料積差相關(guān)系數(shù)的區(qū)間(qūjiān)估計（P214）1、總體相關(guān)系數(shù)為0樣本相關(guān)系數(shù)的分布，服從自由度df=n-2的t分布置信區(qū)間：2、總體相關(guān)系數(shù)不為0如果n>500，置信區(qū)間為：3、FISHZ函數(shù)分布計算第一步：查附表，r轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)為Zr第二步：總體的FISHZ的置信區(qū)間為：第三步：將總體FISH系數(shù)的置信區(qū)間轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)成相關(guān)系數(shù)。例：P215T7—9精品資料等級(děngjí)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計1、當(dāng)9<n<20時，rR的自由度df=n-2,置信區(qū)間為：2、若n>20時，rR的分布(fēnbù)近似正態(tài)分布(fēnbù)，置信區(qū)間為：例：P216T7—10精品資料總體(zǒngtǐ)比例的區(qū)間估計1. 假定條件當(dāng)np>5時，可以由正態(tài)分布來近似(jìnsì)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為例：P2177—11精品資料【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為(rénwéi)女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性(nǚxìng)比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%精品資料總體比例(bǐlì)的區(qū)間估計當(dāng)np<5時，此時(cǐshí)二項分布不接近正態(tài)分布。例：P2187—13精品資料兩個總體參數(shù)(cānshù)的區(qū)間估計精品資料兩個總體均值(jūnzhí)之差的估計

(獨立的隨機(jī)樣本)1. 假定條件(1)兩個(liǎnɡɡè)總體都服從正態(tài)分布，1２、2２已知(2)非正態(tài)分布,1２、2２未知大樣本(n130和n230)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z精品資料兩個總體(zǒngtǐ)均值之差的估計1. 1２，2２已知時，兩個總體(zǒngtǐ)均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為1２、2２未知時，兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料兩個總體(zǒngtǐ)均值之差的估計【例】某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨立抽取(chōuqǔ)兩個隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間English精品資料解:兩個總體(zǒngtǐ)均值之差（1-2）在1-置信水平下的置信區(qū)間為:兩所中學(xué)高考英語(yīnɡyǔ)平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為[5.03，10.97]分精品資料兩個(liǎnɡɡè)總體均值之差的估計

(獨立小樣本:12=22)1. 假定(jiǎdìng)條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：1２=2２兩個獨立的小樣本(n1<30和n2<30)總體方差的合并估計量估計量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤精品資料兩個總體均值(jūnzhí)之差的估計兩個(liǎnɡɡè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料兩個總體(zǒngtǐ)均值之差的估計【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間（分鐘）下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差(fānɡchà)相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間21精品資料解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(shùjù)計算得合并估計量為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均(píngjūn)時間之差的置信區(qū)間為[0.14，7.26]分鐘?？傮w均值之差1-2在95%置信水平下的置信區(qū)間為：精品資料兩個(liǎnɡɡè)總體均值之差的估計

(小樣本:1222)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：1２2２兩個獨立(dúlì)的小樣本(n1<30和n2<30)使用統(tǒng)計量精品資料兩個總體均值(jūnzhí)之差的估計

(小樣本:1222)兩個(liǎnɡɡè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為自由度精品資料兩個總體均值(jūnzhí)之差的估計【例】沿用前例。假定第一種方法(fāngfǎ)隨機(jī)安排12名工人，第二種方法(fāngfǎ)隨機(jī)安排名工人，即n1=12，n2=8，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法(fāngfǎ)組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法(fāngfǎ)組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間21精品資料解:根據(jù)樣本(yàngběn)數(shù)據(jù)計算得自由度為：兩種方法(fāngfǎ)組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為[0.192，9.058]分鐘精品資料兩個總體(zǒngtǐ)均值之差的估計

(匹配大樣本)假定條件兩個匹配的大樣本(yàngběn)(n130和n230)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為對應(yīng)差值的均值對應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差精品資料兩個總體均值(jūnzhí)之差的估計

(匹配小樣本)假定條件兩個匹配的小樣本(n1<30和n2<30)兩個總體(zǒngtǐ)各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體(zǒngtǐ)均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料兩個總體均值(jūnzhí)之差的估計【例】由10名學(xué)生(xuésheng)組成一個隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測試，結(jié)果如下表。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-295%的置信區(qū)間STATISTICS精品資料解:根據(jù)樣本(yàngběn)數(shù)據(jù)計算得兩種試卷(shìjuàn)所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為：[6.33，15.67]分精品資料1. 假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本(yàngběn)是獨立的2. 兩個總體比例之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(liǎnɡɡè)總體比例之差的區(qū)間估計參考：例：P2197—14、7—15精品資料實例：某個(mǒuɡè)同學(xué)針對某個(mǒuɡè)電視節(jié)目的收視率做了一次調(diào)查。在調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，統(tǒng)計有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，統(tǒng)計有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間12精品資料解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度為95%的置信區(qū)間為城市(chéngshì)與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%~19.32%精品資料兩個總體(zǒngtǐ)方差比的區(qū)間估計1. 目的：比較兩個總體的方差比方法(fāngfǎ)：用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/S22遠(yuǎn)離1,說明兩個總體方差之間存在差異總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為精品資料兩個總體方差比的區(qū)間(qūjiān)估計FF1-F總體方差比1-的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖精品資料兩個總體方差比的區(qū)間(qūjiān)估計【例】為了研究男女學(xué)生在生活費支出(元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到(dédào)下面的結(jié)果：男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間精品資料解:根據(jù)(gēnjù)自由度n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F(xiàn)1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度為90%的置信區(qū)間為男女(nánnǚ)學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.47~1.84精品資料樣本容量的確定(quèdìng)估計(gūjì)總體均值時樣本容量的確定估計(gūjì)總體比例時樣本容量的確定估計(gūjì)兩個總體均值之差時樣本容量的確定估計(gūjì)兩個總體比例之差時樣本容量的確定精品資料估計(gūjì)總體均值時樣本容量n為樣本容量n與總體方差2、邊際誤差E（估計(gūjì)誤差范圍）、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為：與總體方差成正比與邊際誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比估計總體均值(jūnzhí)時樣本容量的確定其中：精品資料估計總體(zǒngtǐ)均值時樣本容量的確定【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(gūjì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？精品資料解:已知=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.9612/22置信度為90%的置信區(qū)間為即應(yīng)抽取97人作為(zuòwéi)樣本精品資料1、根據(jù)比例區(qū)間估計(gūjì)公式可得樣本容量n為估計總體比例(bǐlì)時樣本容量的確定

E的取值一般小于0.1

未知時，可取最大值0.5其中：精品資料估計總體比例(bǐlì)時樣本容量的確定【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計，某種產(chǎn)品(chǎnpǐn)的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時，應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品(chǎnpǐn)作為樣本？解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%應(yīng)抽取的樣本容量為

應(yīng)抽取139個產(chǎn)品作為樣本精品資料設(shè)n1和n2為來自兩個總體的樣本，并假定n1=n2根據(jù)均值之