正交實驗舉例20230729

回首頁正交試驗設(shè)計法正交試驗設(shè)計法的基本思想正交表正交表試驗方案的設(shè)計試驗數(shù)據(jù)的直觀分析正交試驗的方差分析常用正交表

1．正交試驗設(shè)計法的基本思想正交試驗設(shè)計法，就是使用已經(jīng)造好了的表格--正交表--來安排試驗并進行數(shù)據(jù)分析的一種方法。它簡單易行，計算表格化，使用者能夠迅速掌握。下邊通過一個例子來說明正交試驗設(shè)計法的基本想法。

[例1]為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個有關(guān)因素進行條件試驗，反應(yīng)溫度(A)，反應(yīng)時間(B)，用堿量(C)，并確定了它們的試驗范圍：

A：80-90℃

B：90-150分鐘

C：5-7％

試驗?zāi)康氖歉闱宄蜃覣、B、C對轉(zhuǎn)化率有什么影響，哪些是主要的，哪些是次要的，從而確定最適生產(chǎn)條件，即溫度、時間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率高。試制定試驗方案。

這里，對因子A，在試驗范圍內(nèi)選了三個水平；因子B和C也都取三個水平：

A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃

B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分

C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7%

當然，在正交試驗設(shè)計中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平間的距離可以相等，也可以不相等。這個三因子三水平的條件試驗，通常有兩種試驗進行方法：(Ⅰ)取三因子所有水平之間的組合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有

33=27次

試驗。用圖表示就是圖1立方體的27個節(jié)點。這種試驗法叫做全面試驗法。

全面試驗對各因子與指標間的關(guān)系剖析得比較清楚。但試驗次數(shù)太多。特別是當因子數(shù)目多，每個因子的水平數(shù)目也多時。試驗量大得驚人。如選六個因子，每個因子取五個水平時，如欲做全面試驗，則需56＝15625次試驗，這實際上是不可能實現(xiàn)的。如果應(yīng)用正交實驗法，只做25次試驗就行了。而且在某種意義上講，這25次試驗代表了15625次試驗。圖1全面試驗法取點..........(Ⅱ)簡單對比法，即變化一個因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A變化之：

↗A1

B1C1→A2

↘A3(好結(jié)果)

如得出結(jié)果A3最好，則固定A于A3，C還是Cl，使B變化之：

↗B1

A3C1→B2(好結(jié)果)

↘B3

得出結(jié)果以B2為最好，則固定B于B2，A于A3，使C變化之：

↗C1

A3B2→C2(好結(jié)果)

↘C3

試驗結(jié)果以C2最好。于是就認為最好的工藝條件是A3B2C2。

這種方法一般也有一定的效果，但缺點很多。首先這種方法的選點代表性很差，如按上述方法進行試驗，試驗點完全分布在一個角上，而在一個很大的范圍內(nèi)沒有選點。因此這種試驗方法不全面，所選的工藝條件A3B2C2不一定是27個組合中最好的。其次，用這種方法比較條件好壞時，是把單個的試驗數(shù)據(jù)拿來，進行數(shù)值上的簡單比較，而試驗數(shù)據(jù)中必然要包含著誤差成分，所以單個數(shù)據(jù)的簡單比較不能剔除誤差的干擾，必然造成結(jié)論的不穩(wěn)定。

簡單對比法的最大優(yōu)點就是試驗次數(shù)少，例如六因子五水平試驗，在不重復(fù)時，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次試驗就可以了。

考慮兼顧這兩種試驗方法的優(yōu)點，從全面試驗的點中選擇具有典型性、代表性的點，使試驗點在試驗范圍內(nèi)分布得很均勻，能反映全面情況。但我們又希望試驗點盡量地少，為此還要具體考慮一些問題。

如上例，對應(yīng)于A有Al、A2、A3三個平面，對應(yīng)于B、C也各有三個平面，共九個平面。則這九個平面上的試驗點都應(yīng)當一樣多，即對每個因子的每個水平都要同等看待。具體來說，每個平面上都有三行、三列，要求在每行、每列上的點一樣多。這樣，作出如圖2所示的設(shè)計，試驗點用⊙表示。我們看到，在9個平面中每個平面上都恰好有三個點而每個平面的每行每列都有一個點，而且只有一個點，總共九個點。這樣的試驗方案，試驗點的分布很均勻，試驗次數(shù)也不多。

當因子數(shù)和水平數(shù)都不太大時，尚可通過作圖的辦法來選擇分布很均勻的試驗點。但是因子數(shù)和水平數(shù)多了，作圖的方法就不行了。

試驗工作者在長期的工作中總結(jié)出一套辦法，創(chuàng)造出所謂的正交表。按照正交表來安排試驗，既能使試驗點分布得很均勻，又能減少試驗次數(shù)，

圖2正交試驗設(shè)計圖例

而且計算分析簡單，能夠清晰地闡明試驗條件與指標之間的關(guān)系。

用正交表來安排試驗及分析試驗結(jié)果，這種方法叫正交試驗設(shè)計法。

2．正交表本書附錄給出了常用的正交表。為了敘述方便，用L代表正交表，常用的有L8(27)，L9(34)，L16(45)，L8(4×24)，L12(211)，等等。此符號各數(shù)字的意義如下：

L8(27)

7為此表列的數(shù)目（最多可安排的因子數(shù)）

2為因子的水平數(shù)

8為此表行的數(shù)目（試驗次數(shù)）

L18(2×37)

有7列是3水平的

有1列是2水平的

L18(2×37)的數(shù)字告訴我們，用它來安排試驗，做18個試驗最多可以考察一個2水平因子和7個3水平因子。

在行數(shù)為mn型的正交表中(m，n是正整數(shù))，

試驗次數(shù)(行數(shù))＝Σ(每列水平數(shù)一1)+l(1)

如L8(27)，

8＝7×(2-1)+l

利用上述關(guān)系式可以從所要考察的因子水平數(shù)來決定最低的試驗次數(shù)，進而選擇合適的正交表。比如要考察五個3水平因子及一個2水平因子，則起碼的試驗次數(shù)為

5×(3-1)+1×(2-1)+1＝12（次）

這就是說，要在行數(shù)不小于12，既有2水平列又有3水平列的正交表中選擇，L18(2×37)適合。

正交表具有兩條性質(zhì)：(1)每一列中各數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。(2)任何兩列所構(gòu)成的各有序數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。所以稱之謂正交表。

例如在L9(34)中(見表1)，各列中的l、2、3都各自出現(xiàn)3次；任何兩列，例如第3、4列，所構(gòu)成的有序數(shù)對從上向下共有九種，既沒有重復(fù)也沒有遺漏。其他任何兩列所構(gòu)成的有序數(shù)對也是這九種各出現(xiàn)一次。這反映了試驗點分布的均勻性。返回3．試驗方案的設(shè)計安排試驗時，只要把所考察的每一個因子任意地對應(yīng)于正交表的一列(一個因子對應(yīng)一列，不能讓兩個因子對應(yīng)同一列)，然后把每列的數(shù)字"翻譯"成所對應(yīng)因子的水平。這樣，每一行的各水平組合就構(gòu)成了一個試驗條件(不考慮沒安排因子的列)。

對于[例1]，因子A、B、C都是三水平的，試驗次數(shù)要不少于

3×(3-1)+1＝7(次)

可考慮選用L9(34)。因子A、B、C可任意地對應(yīng)于L9(34)的某三列，例如A、B、C分別放在l、2、3列，然后試驗按行進行，順序不限，每一行中各因素的水平組合就是每一次的試驗條件，從上到下就是這個正交試驗的方案，見表2。這個試驗方案的幾何解釋正好是圖2。三個3水平的因子，做全面試驗需要33＝27次試驗，現(xiàn)用L9(34)來設(shè)計試驗方案，只要做9次，工作量減少了2／3，而在一定意義上代表了27次試驗.。

再看一個用L9(34)安排四個3水平因子的例子。

[例2]某礦物氣體還原試驗中，要考慮還原時間(A)、還原溫度(B)、還原氣體比例(D)、氣體流速(C)這四個因子對全鐵合量X〔越高越好)、金屬化率Y(越高超好)、二氧化鈦含量Z(越低越好)這三項指標的影響。希望通過試驗找出主要影響因素，確定最適工藝條件。

首先根據(jù)專業(yè)知以確定各因子的水平：

時間：A1＝3(小時)，A2＝4(小時)，A3＝5(小時)

溫度：B1＝1000(℃)，B2＝1100(℃)，B3＝1200(℃)

流速：Cl＝600(毫升／分)，C2＝400(毫升／分)，

C3＝800(毫升／分)

CO:H2：D1＝1:2，D2＝2:1，D3＝1:1

這是四因子3水平的多指標(X、Y、Z)問題，如果做全面試驗需34＝81次試驗，而用L9(34)來做只要9次。具體安排如表3。

同全面試驗比較，工作量少了8／9。由于縮短了試驗周期，可以提高試驗精度，時間越長誤差于擾越大。并且對于多指標問題，采用簡單對比法，往往顧此失彼，最適工藝條

件很難找；而應(yīng)用正交表來設(shè)計試驗時可對各指標通盤考慮，結(jié)論明確可靠。返回4．試驗數(shù)據(jù)的直觀分析

正交表的另一個好處是簡化了試驗數(shù)據(jù)的計算分折。還是以[例1]為例來說明。按照表2的試驗方案進行試驗，測得9個轉(zhuǎn)化率數(shù)據(jù)，見表4。

通過9次試驗，我們可以得兩類收獲。第一類收獲是拿到手的結(jié)果。第9號試驗的轉(zhuǎn)化率為64，在所做過的試驗中最好，可取用之。因為通過L9(34)已經(jīng)把試驗條件均衡地打散到不同的部位，代表性是好的。假如沒有漏掉另外的重要因素，選用的水平變化范圍也合適的話，那么，這9次試驗中最好的結(jié)果在全體可能的結(jié)果中也應(yīng)該是相當好的了，所以不要輕易放過。

第二類收獲是認識和展望。9次試驗在全體可能的條件中(遠不止33＝27個組合，在試驗范圍內(nèi)還可以取更多的水平組合)只是一小部分，所以還可能擴大。精益求精。尋求更好的條件。利用正交表的計算分折，分辨出主次因素，預(yù)測更好的水平組合，為進一步的試驗提供有份量的依據(jù)。

其中I、Ⅱ、Ⅲ分別為各對應(yīng)列（因子）上1、2、3水平效應(yīng)的估計值，其計算式是：Ⅰi(Ⅱi,Ⅲi)=第i列上對應(yīng)水平1（2，3）的數(shù)據(jù)和K1為1水平數(shù)據(jù)的綜合平均=Ⅰ/水平1的重復(fù)次數(shù)Si為變動平方和=

[例1]的轉(zhuǎn)化率試驗數(shù)據(jù)與計算分析見表4。

先考慮溫度對轉(zhuǎn)比率的影響。但單個拿出不同溫度的數(shù)據(jù)是不能比較的，因為造成數(shù)據(jù)差異的原因除溫度外還有其他因素。但從整體上看，80℃時三種反應(yīng)時間和三種用堿量全遇到了，86℃時、90℃時也是如此。這樣，對于每種溫度下的三個數(shù)據(jù)的綜合數(shù)來說，反應(yīng)時間與加堿量處于完全平等狀態(tài)，這時溫度就具有可比性。所以算得三個溫度下三次試驗的轉(zhuǎn)化率之和：

80℃：ⅠA＝xl+x2+x3＝31+54+38＝123；

85℃：ⅡA＝x4+x5+x6＝53+49+42＝144；

90℃：ⅢA＝x7+x8+x9＝57+62+64＝183。

分別填在A列下的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三行。再分別除以3，表示80℃、85℃、90℃時綜合平均意義下的轉(zhuǎn)化率，填入下三行Kl、K2、K3。R行稱為極差，表明因子對結(jié)果的影響幅度。

同樣地，為了比較反應(yīng)時間；用堿量對轉(zhuǎn)化率的影響，也先算出同一水平下的數(shù)據(jù)和IB、ⅡB、ⅢB，Ic、Ⅱc、Ⅲc，再計算其平均值和極差。都填入表4中；

由此分別得出結(jié)論：溫度越高轉(zhuǎn)化率越好，以90℃為最好，但可以進一步探索溫度更好的情況。反應(yīng)時間以120分轉(zhuǎn)化率最高。用堿量以6％轉(zhuǎn)化率最高。

所以最適水平是A3B2C2。返回5.正交試驗的方差分析(一)假設(shè)檢驗

在數(shù)理統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的思想方法是：提出一個假設(shè)，把它與數(shù)據(jù)進行對照，判斷是否舍棄它。其判斷步驟如下：

(1)設(shè)假設(shè)H。正確，可導(dǎo)出一個理論結(jié)論，設(shè)此結(jié)論為R。；

(2)再根據(jù)試驗得出一個試驗結(jié)論，與理論結(jié)論相對應(yīng)，設(shè)為R1；

(3)比較R。與Rl，若R。與Rl沒有大的差異，則沒有理由懷疑H。，從而判定為："不舍棄H。"(采用H。)；若R。與R1有較大差異，則可以懷疑H。，此時判定為："舍棄H。"。但是，R1／R。比l大多少才能舍棄H。呢？為確定這個量的界限，需要利用數(shù)理統(tǒng)計中關(guān)于F分布的理論。

若yl服從自由度為φ1的χ2分布，y2服從自由度為φ2的χ2分布，并且yl、y2相互獨立，則（y1/φ1）/(y2/φ2)服從自由度為(φ1，φ2)的F分布。F分布是連續(xù)分布，分布模數(shù)是兩個自由度(φ1，φ2)。稱φ1為分子自由度，稱φ2為分母自由度。在自由度為(φ1，φ2)的F分布中，某點右側(cè)面積為p，也就是F比此值大的概率為p，把這個值寫為(p)。若檢驗的顯著性水平(或危險率)給定為α?xí)r，則可以把(α)作為臨界值來檢驗假設(shè)。

這里，Se／σ2服從自由度為φe，的χ2分布；當H。成立，σ2＝0時，SA／σ2也服從自由度為φA的χ2分布；又SA與Se相互成立，所以(SA/(φAσ2)/Se/(φeσ2))=VA/Ve服從自由度為(φA，φe)的F分布。這就是假定H。正確時的理論結(jié)論R。。而試驗結(jié)論Rl要與理論結(jié)論R。相比較。由給定的顯著性水平，通常是α＝0．05；分子自由度φ1＝φA＝a-l，分母自由度φ2＝φe=a(n-1)；查F分布表得出(α)。所以H。：αl＝α2=……＝αa＝0(σA2＝0)的檢驗是：(顯著性水平α)

FA=VA/Ve>(α)→舍棄H。

FA=VA/Ve≤(α)→不舍棄H。

通常，(α)一般性地表示成Fα（φA,φB）。

假設(shè)因子A對試驗結(jié)果的影響不顯著，那么A的兩個水平的效應(yīng)該表現(xiàn)為相等或相近，即假設(shè)H。：α1＝α2＝0