2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市第一百七十中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市第一百七十中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列選項(xiàng)中，可以作為的必要不充分條件的是A.

B.C.

D.參考答案：D，，選項(xiàng)均等價(jià)于（其中選項(xiàng)，假設(shè)，則不會(huì)存在，使得成立，即，），等價(jià)于，而是的必要不充分條件.故選D

2.已知直線，平面，且，給出四個(gè)命題：

①若∥，則；②若，則∥；③若，則l∥m；④若l∥m，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：C略3.定義在上的函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足對(duì)任意的有，

，現(xiàn)得出下列5個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)，②的圖像關(guān)于對(duì)稱，③是周期函數(shù)，④是單調(diào)函數(shù)，⑤有最大值和最小值.其中正確的是

A. ①②⑤

B. ②③⑤

C. ②③④

D.

①②③參考答案：D略4.已知命題p：,x2－x+1≥0；命題q：若a2＜b2，則a＜b.下列命題為真命題的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B由時(shí)成立知p是真命題，由可知q是假命題，故選B.5.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A.-2 B.0 C.1 D.2參考答案：A略6.若，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為(

)A．

B．1

C．

D．參考答案：D略7.設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)

(

)A．都大于2B．都不大于2C．至少有一個(gè)不大于2D．至少有一個(gè)不小于2參考答案：D8.若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則（A）（B）（C）（D）參考答案：B略9.已知全集為,則 A. B. C. D.

參考答案：A10.已知?jiǎng)t與的夾角為

（

）

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，函數(shù)的最小值為2，則的最小值為

參考答案：212.函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間是

▲

．參考答案：略13.若變量x,y滿足約束條件則Z=2x-y的最大值為（

）A.2

B.5

C.1

D.4參考答案：B略14.直線的傾斜角是__________．參考答案：直線為，傾斜角，．15.若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的方程是__________.參考答案：16.斜率為的直線l過拋物線的焦點(diǎn)且與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=

；參考答案：略17.如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng)，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則

.

參考答案：1005略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．設(shè)f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）由函數(shù)g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，從而求得k的取值范圍．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，則t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構(gòu)造函數(shù)h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通過數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想即可求得k的范圍．解答： 解：（1）函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因?yàn)閍＞0，所以g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化為2x+﹣2≥k?2x，可化為1+（）2﹣2?≥k，令t=，則k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．記h（t）=t2﹣2t+1，因?yàn)閠∈[，2]，故h（t）max=h（2）=1，所以k的取值范圍是（﹣∞，1]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化為：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，則方程化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴由t=|2x﹣1|的圖象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個(gè)根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．記h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），則，或∴k＞0．點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)恒成立問題問題，考查數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．19.（本小題滿分12分）計(jì)算：（1）計(jì)算；（2）已知，求．參考答案：（1）20；（2）-1.（1）原式＝；（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?考點(diǎn)：指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)20.對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合計(jì)M1（1）求出表中M、p、m、n的值；（2）補(bǔ)全頻率分布直方圖；若該校高一學(xué)生有360人，估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間參考答案：【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值；（II）對(duì)于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，則有f（x）max≤g（x）min．利用導(dǎo)數(shù)分別在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，f（x）有極大值，且；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，且f（x）極小值=﹣2．（Ⅱ）由g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是減函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)，即g（x）最小值=g（0）=0．對(duì)于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，則有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0對(duì)于任意的x∈（0，+∞）恒成立．（1）當(dāng)a=0時(shí)，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合題意．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合題意．（3）當(dāng)a＞0時(shí)，，f'（x）=0得，時(shí)，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．∴f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，而當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，這與對(duì)于任意的x∈（0，+∞）時(shí)f（x）≤0矛盾．同理時(shí)也不成立．綜上所述：a的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考察了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．21.（本題滿分7分）如圖，平面，矩形的邊長(zhǎng)，，為的中點(diǎn)．若，求異面直線與所成的角的大?。?/p>

參考答案：（1）連，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．由平面，得.由，，得平面．．取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、、．，，的大小等于異面直線與所成的角或其補(bǔ)角的大?。桑?，，得，，，．異面直線與所成的角的大小為．22.過橢圓C：+=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F（1，0）的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，自A、B向直線x=5作垂線，垂足分別為A1、B1，且=．（1）求橢圓C的方程；（2）記△AFA1、△FA1B1、△BFB1的面積分別為S1、S2、S3，證明：是定值，并求出該定值．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A（x，y），寫出|AA1|、|AF|的表達(dá)式，由=求出橢圓C的方程；（2）根據(jù)題意可設(shè)直線方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；由得（4m2+5）y2+8my﹣16=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意求出△AFA1的面積S1，△FA1B1的面積S2，△BFB1的面積S3，計(jì)算的值即可．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則|AA1|=5﹣x，|AF|=，由=，得=，化簡(jiǎn)得+=1，由A是橢圓C上任一點(diǎn)，∴橢圓C的方程為+=1；（2）證明：∵直線AB的斜率不可以為0，而可以不存在，∴可設(shè)直線方程為：x=my+1；設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）；由，消去x得（4m2+5）y2+8my﹣16=0；∴（*）；由題意：△AFA1