2021-2022學(xué)年福建省泉州市成功中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省泉州市成功中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的5、拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D2.若，則“”是的“”（

）A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既非充分又非必要條件參考答案：A3.已知數(shù)列滿足：，若數(shù)列的最小項(xiàng)為1，則m的值為A． B． C． D．參考答案：B4.已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于、兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△的面積為（

）A．18

B．24

C．36

D．48參考答案：C設(shè)拋物線的方程為（），由，得，，所以的準(zhǔn)線為，因此△的面積為，故選擇C?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考察拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要清楚△的高即為動(dòng)點(diǎn)P到直線AB的距離，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，知點(diǎn)P到直線AB的距離恒等于。5.的二項(xiàng)展開(kāi)式的第三項(xiàng)為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致形狀為（

）參考答案：D略6.A．

B．

C．

D．參考答案：C7.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【專題】閱讀型．【分析】利用三視圖的作圖法則，對(duì)選項(xiàng)判斷，A的三視圖相同，圓錐，四棱錐的兩個(gè)三視圖相同，棱臺(tái)都不相同，推出選項(xiàng)即可．【解答】解：正方體的三視圖都相同，而三棱臺(tái)的三視圖各不相同，圓錐和正四棱錐的，正視圖和側(cè)視圖相同，所以，正確答案為D．故選D【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的三視圖的識(shí)別能力，作圖能力，三視圖的投影規(guī)則是主視、俯視長(zhǎng)對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等．8.已知集合且={直線}，={平面}，，若，有四個(gè)命題①②③④其中所有正確命題的序號(hào)是（）A．①②③

B．②③④

C．②④

D．④參考答案：D9.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．16 B．32 C．48 D．144參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為四棱錐，結(jié)合直觀圖判斷相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知：幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴幾何體的體積V=××6×6=48．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是解答本題的關(guān)鍵．10.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知命題，則p的否定為

．

參考答案：12.為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則

.參考答案：13.已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣x2﹣4x+l，函數(shù)g（x）=有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為．參考答案：[﹣2，0）∪[4，+∞）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】利用函數(shù)的關(guān)系式求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的最值，畫出函數(shù)的圖象，通過(guò)m與1比較，討論函數(shù)的解得個(gè)數(shù)，求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣x2﹣4x+l，可得函數(shù)f（x）=﹣x2﹣2x+4，函數(shù)的最大值為：f（﹣1）=5，當(dāng)f（x）=x時(shí)，x=1或﹣4，故函數(shù)y=f（x）與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（1，1）（﹣4，﹣4），當(dāng)f（x）=4時(shí)，x=0或﹣2，由題意可知m≠1，當(dāng)m＜1時(shí)，直線y=4與y=x（x＞m）有一個(gè)公共點(diǎn)，故直線y=4與y=f（x）（x≤m）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故﹣2≤m＜0．當(dāng)m＞1時(shí)，直線y=4與y=f（x）（x≤m）有2個(gè)公共點(diǎn)，故直線y=4與y=x（x＞m）無(wú)公共點(diǎn)，故m≥4．綜上，m的取值范圍是：[﹣2，0）∪[4，+∞）．故答案為：[﹣2，0）∪[4，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用考查數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想的應(yīng)用．14.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，

.參考答案：15.設(shè)3x﹣1，x，4x是等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)，則a4=．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)列式求得x，進(jìn)一步求出a3和d，則a4可求．【解答】解：∵3x﹣1，x，4x是等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)，∴3x﹣1+4x=2x，解得：x=，∴，d=3x=，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．16.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則=． 參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【專題】方程思想；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得S4=5S2且S6=21S2，代入化簡(jiǎn)可得． 【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且， ∴S4=5S2，又S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比數(shù)列， ∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4）， ∴（5S2﹣S2）2=S2（S6﹣5S2）， 解得S6=21S2， ∴==． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，用S2表示S4和S6是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題． 17.已知經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且，若直線AB被圓所截得的弦長(zhǎng)為4，則p= ．參考答案：或.

拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入有，設(shè)，其中，從而，①，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，于是直線方程為，即，從而圓心到直線的距離為，又圓的半徑為，弦長(zhǎng)為，從而有，解得或.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（1）令g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求g（x）單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a取值范圍．參考答案：【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的極大值，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由f′（x）=lnx﹣2ax+2a，可得g（x）=lnx﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），所以g′（x）=﹣2a=，當(dāng)a≤0，x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0，x∈（0，）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，x∈（，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．所以當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）．（2）由（1）知，f′（1）=0．①當(dāng)0＜a＜時(shí)，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．②當(dāng)a=時(shí)，=1，f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意．③當(dāng)a＞時(shí)，0＜＜1，當(dāng)x∈（，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，④a≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在x=1處取極小值，不合題意；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．所以f（x）在x=1處取極大值，符合題意．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．19.已知直線l：ρsin(θ+)=m，曲線C：（1）當(dāng)m=3時(shí)，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；（2）若曲線C上存在到直線l的距離等于的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）分別化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離d與半徑比較即可得出結(jié)論．（2）曲線C上存在到直線l的距離等于的點(diǎn)，可得圓心C（1，0）到直線l的距離d=≤r+，解出即可得出．【解答】解：（1）直線l：，展開(kāi)可得：=m，化為直角坐標(biāo)方程：y+x=m，m=3時(shí)，化為：y+x﹣3=0，曲線C：，利用平方關(guān)系化為：（x﹣1）2+y2=3．圓心C（1，0）到直線l的距離d===r，因此直線l與曲線C相切．（2）∵曲線C上存在到直線l的距離等于的點(diǎn)，∴圓心C（1，0）到直線l的距離d=≤+，解得﹣2≤m≤4．∴實(shí)數(shù)m的范圍是[﹣2，4]．20.如圖，拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切．（Ⅰ）求拋物線E及圓M的方程；（Ⅱ）過(guò)P（1，0）作兩條相互垂直的直線，與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓M相交于C，D兩點(diǎn)，N為線段CD的中點(diǎn)，當(dāng)，求AB所在的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）利用拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，即可求拋物線E及圓M的方程；（Ⅱ）聯(lián)立?x2﹣kx+k=0，又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，可得k的范圍，利用，求出k，即可求AB所在的直線方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為，∴p=，∴拋物線E：y=x2，…（3分）∵圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，∴圓M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k（k顯然存在且不為零）聯(lián)立?x2﹣kx+k=0…（8分）又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，則即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圓心M到直線AB的距離）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直線方程為：即．…（15分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線E及圓M的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．參考答案：解：（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

………………1分依題意，可得

．………………3分，，∴

，即，∴．

………………6分

（2）設(shè)，且平面，則

，即，∴解得，取，