2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市跳馬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市跳馬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.點(diǎn)、、、在半徑為的同一球面上，點(diǎn)到平面的距離為，，則點(diǎn)與中心的距離為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)線面的位置關(guān)系因?yàn)樵O(shè)中心為D,計(jì)算可得，

設(shè)S在平面射影為H,則可得,可求得為所求。

所以，

故答案為：B2.的外接圓圓心為,半徑為2，,且,向量在方向上的投影為

A.

B.

C.

D.參考答案：C3.在等差數(shù)列的值等于

A．—2011

B．—2012

C．—2010

D．—2013參考答案：B略4.已知集合M={﹣1，1}，N=，則M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1} C．{0} D．{﹣1，0}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】N為指數(shù)型不等式的解集，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出，再與M求交集．求【解答】解：?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故選B5.（5分）（2015?棗莊校級(jí)模擬）已知，則tanα的值為（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】：兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】：計(jì)算題．【分析】：由兩角和的正切公式可得=3，解方程求得tanα的值．解：∵已知，由兩角和的正切公式可得=3，解得tanα=，故選A．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6.已知數(shù)列{an}滿足an+1﹣an=2，a1=﹣5，則|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an．及其數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．令an≥0，解得n，分類討論即可得出．【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn==n2﹣6n．令an=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3時(shí)，|an|=﹣an．n≥4時(shí)，|an|=an．則|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故選：C．7.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的中心是原點(diǎn)，離心率等于，以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：C考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】雙曲線是圓錐曲線的重要代表曲線之一,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).解答本題時(shí)要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)和題設(shè)中的條件運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式先求出.再借助題設(shè)中的離心率求出的值.求解時(shí)巧妙地運(yùn)用設(shè),然后運(yùn)用求出.8.已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是A. B.C. D.參考答案：D9.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A,B,M圖象上任意一點(diǎn)，其中，若不等式恒成立，則稱函數(shù)上“k階線性近似”.若函數(shù)上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為A.

B.

C.

D.參考答案：10.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則△ABM與△ABC的面積比為（

）.A. B. C. D.參考答案：C【分析】將已知條件中的轉(zhuǎn)化為，然后然后化簡(jiǎn)得，由此求得兩個(gè)三角形高的比值，從而求得面積的比值.【詳解】如圖，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以選C.【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查三角形面積的比值的求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則_____▲____．參考答案：12.設(shè)實(shí)數(shù)a，x，y，滿足則xy的取值范圍是

▲

．參考答案：13.已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為

．參考答案：x﹣y﹣1=0考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定；相交弦所在直線的方程．專題：直線與圓．分析：將兩個(gè)方程相減，即可得到公共弦AB的方程，然后根據(jù)半弦長(zhǎng)與弦心距及圓半徑，構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，易求出公共弦AB的長(zhǎng)．解答： 解：圓C1：x2+y2=1與圓C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為：x2+y2﹣1﹣[（x﹣1）2+（y+1）2﹣1]=0即x﹣y﹣1=0故答案為：x﹣y﹣1=0．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)的求法，其中將兩個(gè)圓方程相減，直接得到公共弦AB的方程可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程．14.已知5cos（45°+x）=3，則sin2x=．參考答案：15.如圖，點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，若四邊形為菱形，則橢圓的離心率是

參考答案：略16.雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．參考答案：（﹣4，0），（4，0）,2.【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率即可求出答案．【解答】解：∵雙曲線﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），（4，0），離心率e===2，故答案為：（﹣4，0），（4，0），217.若，內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別為a，b，則三角形ABC的形狀為．參考答案：等腰三角形或直角三角形【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知，利用正弦定理將acosA=bcosB中等號(hào)兩邊的邊轉(zhuǎn)化為該邊所對(duì)角的正弦，化簡(jiǎn)整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，acos（π﹣A）+bsin（+B）=0，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC為等腰或直角三角形，故答案為：等腰三角形或直角三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與二倍角的正弦的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分12分）漢諾塔問(wèn)題是根據(jù)一個(gè)傳說(shuō)形成的一個(gè)問(wèn)題：有三根桿子和套在一根桿子上的若干大小不等的穿孔圓盤(pán)，按下列規(guī)則，把圓盤(pán)從一根桿子上全部移到另一根桿子上.①每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片；②大盤(pán)不能疊在小盤(pán)上面.如圖所示，將A桿上所有碟片移到C桿上，B桿可以作為過(guò)渡桿使用，稱將碟片從一個(gè)桿子移動(dòng)到另一個(gè)標(biāo)子為移動(dòng)一次，記將A桿子上的n個(gè)碟片移動(dòng)到C桿上最少需要移動(dòng)an次.（Ⅰ）寫(xiě)出a1，a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：解：（Ⅰ）.

………………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為

……5分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，從A桿移到C桿上只有一種方法，即a1=1，這時(shí)成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，將A桿上的k+1個(gè)碟片看做由k個(gè)碟片和最底層1張碟片組成的，由假設(shè)可知，將A桿上的k個(gè)碟片移到B桿上有種方法，再將最底層1張碟片移到C桿上有1種移法，最后將B桿上的k個(gè)碟片移到C桿上（此時(shí)底層有一張最大的碟片）又有種移動(dòng)方法，故從A桿上的k+1個(gè)碟片移到C桿上共有種移動(dòng)方法.所以當(dāng)n=k+1時(shí),成立.由①②可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.…8分（也可由遞推式構(gòu)造等比數(shù)列求解）(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，，所以略19.2014年“五一節(jié)”期間，高速公路車輛較多，交警部門(mén)通過(guò)路面監(jiān)控裝置抽樣調(diào)查某一山區(qū)路段汽車行駛速度，采用的方法是：按到達(dá)監(jiān)控點(diǎn)先后順序，每隔50輛抽取一輛，總共抽取120輛，分別記下其行車速度，將行車速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)圖解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）求a的值，并說(shuō)明交警部門(mén)采用的是什么抽樣方法？（Ⅱ）求這120輛車行駛速度的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.1）；（Ⅲ）若該路段的車速達(dá)到或超過(guò)90km/h即視為超速行駛，試根據(jù)樣本估計(jì)該路段車輛超速行駛的概率．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；收集數(shù)據(jù)的方法；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析；（I）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形的面積和為1求得a值，根據(jù)相同抽樣方法的特征判斷其抽樣方法；（II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求眾數(shù)；根據(jù)中位數(shù)是從左數(shù)小矩形面積和為0.5的矩形底邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)求中位數(shù)；（III）利用直方圖求出樣本中車速在[90，95）頻數(shù)，利用個(gè)數(shù)比求超速車輛的概率．解：（I）由頻率分布直方圖知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a=0.06，該抽樣方法是系統(tǒng)抽樣；（II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴眾數(shù)為77.5；∵前三個(gè)小矩形的面積和為0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四個(gè)小矩形的面積為0.06×5=0.3，∴中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為75+x，則0.325+0.06×x=0.5?x≈2.9，∴數(shù)據(jù)的中位數(shù)為77.9；（III）樣本中車速在[90，95）有0.005×5×120=3（輛），∴估計(jì)該路段車輛超速的概率P==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由樣本估計(jì)總體的思想，考查了由頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)，考查了古典概型的概率計(jì)算，是概率統(tǒng)計(jì)的常見(jiàn)題型，解答要細(xì)心．20.（本小題滿分13分）

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：平面BCC1B1；

（Ⅱ）求證：A1B//平面AC1D；

（Ⅲ）求平面AC1D與平面ACC1A1所成的銳二面角的余弦值。參考答案：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形所以所以平面

……………1分因?yàn)槠矫妫?/p>

………………2分又因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以

………3分因?yàn)?所以平面

………………4分（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)闉檎叫?，所以為中點(diǎn)又為中點(diǎn)，所以為中位線所以

…………6分因?yàn)槠矫?，平?/p>

所以平面………8分

(Ⅲ)解：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系設(shè)，則

………………9分設(shè)平面的法向量為，則有，，所以取，得

………………10分又因?yàn)槠矫嫠云矫娴姆ㄏ蛄繛椤?1分

………12分所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值………………13分略21.(本題10分)已知,,，若，求實(shí)數(shù)的值.參考答案：解：，，由，，或，從而，或，故，或.又.考慮.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，