高中數(shù)學(xué)北師大版2第四章定積分 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)17

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十七)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.若y＝f(x)與y＝g(x)是[a，b]上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線x＝a，x＝b所圍成的平面區(qū)域的面積為()\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx\i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx\i\in(a,b,)|f(x)－g(x)|dx\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,b,)[f（x）－g（x）]dx))【解析】當(dāng)f(x)>g(x)時(shí)，所求面積為eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx；當(dāng)f(x)≤g(x)時(shí)，所求面積為eq\i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx.綜上，所求面積為eq\i\in(a,b,)|f(x)－g(x)|dx.【答案】C2.由拋物線y＝x2介于(0，0)點(diǎn)及(2，4)點(diǎn)之間的一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為()\f(4,5)π \f(16,5)π\(zhòng)f(8,5)π \f(32,5)π【解析】V＝πeq\i\in(0,2,)(x2)2dx＝eq\f(π,5)x5eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\f(32,5)π.【答案】D3.如圖4-3-4，陰影部分的面積是()圖4-3-4\r(3) －eq\r(3)\f(32,3) \f(35,3)【解析】S＝eq\i\in(－3,1,)(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,-3))＝eq\f(32,3).【答案】C4.曲線y＝x2－1與x軸所圍成圖形的面積等于()\f(1,3) \f(2,3) \f(4,3)【解析】函數(shù)y＝x2－1與x軸的交點(diǎn)為(－1，0)，(1，0)，且函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故所求面積為S＝2eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).【答案】D5.由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是()π ππ π【解析】因?yàn)閤y＝4，所以y＝eq\f(4,x)，V＝πeq\i\in(1,4,)y2dx＝πeq\i\in(1,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))eq\s\up12(2)dx＝16πeq\i\in(1,4,)x－2dx＝－16πx－1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,1))＝－16πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－1))＝12π.【答案】B二、填空題6.由曲線y＝eq\r(x)與y＝x3所圍成的圖形的面積可用定積分表示為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210077】【解析】畫出y＝eq\r(x)和y＝x3的草圖，所求面積為如圖所示陰影部分的面積，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x3))得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1.因此，所求圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx.【答案】eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x3)dx7.由曲線y＝eeq\f(x,2)，直線x＝0，x＝1以及x軸所圍成的圖形繞著x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積是________.【解析】體積V＝πeq\i\in(0,1,)exdx＝π(e－1).【答案】π(e－1)8.由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為________.【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝x－2，))得其交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2).因此y＝eq\r(x)與y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為eq\a\vs4\al(\i\in(0,4,)[\r(x)－（x－2）]dx)＝eq\i\in(0,4,)(eq\r(x)－x＋2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up12(\f(3,2))－\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,2)×16＋2×4＝eq\f(16,3).【答案】eq\f(16,3)三、解答題9.(2023·濟(jì)寧高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖像如圖4-3-5所示，它與直線y＝0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖像所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為eq\f(27,4)，求a的值.圖4-3-5【解】由題圖知方程f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根，其中有兩個(gè)相等的實(shí)根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)，有eq\f(27,4)＝eq\i\in(0,－a,)[0－(x3＋ax2)]dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)＋\f(ax3,3)))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(－a,0))＝eq\f(a4,12)，所以a＝±3.又－a>0?a<0，得a＝－3.10.設(shè)兩拋物線y＝－x2＋2x，y＝x2所圍成的圖形為M，求：(1)M的面積；(2)將M繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【解】如圖，M為圖中陰影部分.(1)圖中M的面積為eq\i\in(0,1,)[(－x2＋2x)－x2]dx＝eq\i\in(0,1,)(－2x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)x3＋x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,3).(2)M繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為πeq\i\in(0,1,)[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx＝πeq\i\in(0,1,)(－4x3＋4x2)dx＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x4＋\f(4,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(π,3).[能力提升]1.直線l過(guò)拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于()\f(4,3) \f(8,3) \f(16\r(2),3)【解析】∵拋物線方程為x2＝4y，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0，1)，故直線l的方程為y＝1.如圖所示，可知l與C圍成的圖形的面積等于矩形OABF的面積與函數(shù)y＝eq\f(1,4)x2的圖像和x軸正半軸及直線x＝2圍成的圖形的面積的差的2倍(圖中陰影部分)，即S＝4－2eq\i\in(0,2,)eq\f(x2,4)dx＝4－2·eq\f(x3,12)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】C2.已知過(guò)原點(diǎn)的直線l與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為eq\f(9,2)a3，則直線l的方程為()＝ax ＝±ax＝－ax ＝－5ax【解析】顯然，直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y＝kx，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝x2－2ax，))得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，所以圖形面積S＝eq\i\in(0,2a＋k,)[kx－(x2－2ax)]dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋2a,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋k,0))＝eq\f(（k＋2a）3,2)－eq\f(（2a＋k）3,3)＝eq\f(（2a＋k）3,6).又因?yàn)镾＝eq\f(9,2)a3，所以eq\f(（2a＋k）3,6)＝eq\f(9,2)a3，解得k＝a，所以直線l的方程為y＝ax.故選A.【答案】A3.一個(gè)半徑為1的球可以看成是由曲線y＝eq\r(1－x2)與x軸所圍成區(qū)域(半圓)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的，則球的體積為________.【解析】V＝eq\i\in(－1,1,)π(1－x2)dx＝πeq\i\in(－1,1,)(1－x2)dx＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(－1,1,)1dx－\i\in(－1,1,)x2dx))＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)π.【答案】eq\f(4,3)π4.已知曲線C：y＝2x3－3x2－2x＋1，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，求曲線C的過(guò)點(diǎn)P的切線l與曲線C圍成的圖形的面積.【解】設(shè)切線l與曲線C相切于點(diǎn)M(x0，y0)，由于y′＝6x2－6x－2，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6xeq\o\al(2,0)－6x0－2＝\f(y0,x0－\f(1,2))，,y0＝2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)－2x0＋1，))解得x0＝0，于是切線l的斜率k＝－2，方程為y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－2x＋1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x3