高中數(shù)學(xué)北師大版第二章函數(shù)單元測試 學(xué)業(yè)分層測評5

學(xué)業(yè)分層測評(七)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．給出如圖2-2-8所示的對應(yīng)：圖2-2-8其中構(gòu)成從A到B的映射的個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6【解析】由映射的定義可知，構(gòu)成從A到B的映射有①②③.【答案】A2．(2023·西安高一檢測)設(shè)集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，則圖2-2-9中，能表示P到Q的映射的是()圖2-2-9A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4)C．(1)(4) D．(3)【解析】如圖(1)，對于P中的每個元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在圖(2)中，當(dāng)P中元素x取(0,1]的值時，在Q中對應(yīng)的元素不唯一，所以(2)不是映射；在圖(3)中，當(dāng)P的元素取(1,2]的值時，Q中沒有元素與它對應(yīng)，所以(3)不是P到Q的映射；與(1)相同，(4)也是P到Q的映射．【答案】C3．下列對應(yīng)法則中，能建立從集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是()A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→x2＋1 D．f：x→x2－1【解析】因為12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24.故從集合A到集合B的映射的對應(yīng)關(guān)系為f：x→x2－1.【答案】D4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是從A到B的映射，若1和8的原像分別是3和10，則5在f下的像是()A．3 B．4C．5 D．6【解析】由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝1，,10a＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2.))∴f：x→y＝x－2，∴5在f下的像是5－2＝3.【答案】A5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且對任意的a∈A，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個數(shù)是()A．4 B．5C．6 D．7【解析】對應(yīng)關(guān)系是f：a→|a|.因此，3和－3對應(yīng)的像是3；－2和2對應(yīng)的像是2；1和－1對應(yīng)的像是1；4對應(yīng)的像是4.所以B＝{1,2,3,4}．故選A.【答案】A二、填空題6．設(shè)M＝N＝R，f：x→－x2＋2x是M到N的映射，若對于N中元素p，在M中恰有一個原像，則p的值為________．【解析】由題意知，關(guān)于x的方程－x2＋2x＝p有兩相等實根，∴Δ＝4－4p＝0，p＝1.【答案】17．下列對應(yīng)f是從集合A到集合B的函數(shù)的是________．①A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；②A＝Z，B＝{－1,1}，n為奇數(shù)時，f(n)＝－1；n為偶數(shù)時，f(n)＝1；③A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，對應(yīng)關(guān)系f；每個男生對應(yīng)自己的身高．【解析】對于①，集合A中的元素沒有剩余，即A中的任何一個元素在B中都有唯一確定的像，同時集合A和B都是數(shù)集，可知對應(yīng)f是集合A到集合B的函數(shù)．同理，對于②，對應(yīng)f也是集合A到集合B的函數(shù)．對于③，集合A，B不是數(shù)集，不是函數(shù)關(guān)系．【答案】①②8．已知集合A＝B＝R，映射f：x→x2＋2x－4，若a在B中且在A中沒有原像，則a的取值范圍是________．【解析】∵x2＋2x－4＝(x＋1)2－5≥－5.∵a在B中且在A中沒有原像，則a<－5.【答案】(－∞，－5)三、解答題9．設(shè)集合P＝Q＝{(x，y)|x，y∈R}，從集合P到集合Q的映射為f：(x，y)→(x＋y，xy)，求(1)集合Q中與集合P中元素(3,2)對應(yīng)的元素；(2)集合P中與集合Q中元素(3,2)對應(yīng)的元素．【解】(1)由3＋2＝5,3×2＝6，故與集合P中元素對應(yīng)的元素為(5,6)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))故與集合Q中元素(3,2)對應(yīng)的元素為(1,2)或(2,1)．10．下列對應(yīng)是否是從A到B的映射，能否構(gòu)成函數(shù)？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x＋1)；(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2.(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M內(nèi)的矩形}，B＝{x|x是平面M內(nèi)的圓}，f：作矩形的外接圓．【解】(1)當(dāng)x＝－1時，y的值不存在；∴不是映射，更不是函數(shù)．(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分別對應(yīng)到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函數(shù)．(3)∵當(dāng)A中的元素不為零時，B中有兩個元素與之對應(yīng)，∴不是映射，更不是函數(shù)．(4)是映射，但不是函數(shù)，因為A、B不是數(shù)集．[能力提升]1．設(shè)集合A與集合B都是自然數(shù)集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中為元素n2＋n，則在映射f下，像20的原像是()A．2 B．3C．4 D．4或－5【解析】令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，解得n＝－5或4.∵n∈N，∴n＝4.【答案】C2．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，從A到B的映射f：A→B滿足f(a)＋f(b)＝0，那么這樣的映射f：A→B的個數(shù)有()A．2個 B．3個C．5個 D．8個【解析】由f(a)，f(b)∈{－1,0,1}，且f(a)＋f(b)＝0知，這樣的映射有：共3個．【答案】B3．給定映射f(x，y)→(eq\r(x)，x＋y)，在對應(yīng)關(guān)系f下像(2,3)的原像是(a，b)，則函數(shù)y＝ax2＋bx的頂點坐標(biāo)是________．【解析】由題意a＝4，b＝－1，則y＝4x2－x的頂點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,16))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,16)))4．設(shè)集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一個映射，并滿足f：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；(2)試探索B中哪些元素在A中存在原像；(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一個原像時，a，b所滿足的關(guān)系式.【導(dǎo)學(xué)號：04100023】【解】(1)設(shè)(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xy＝3，,x－y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1.))所以(3，－4)在A中的原像有兩個，即(－1,3)和(－3,1)．(2)設(shè)任意(a，b)∈B，則它在A中的原像(x，y)應(yīng)滿足，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xy＝a，,x－y＝b