13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題后預(yù)習(xí)目標：1.理解并掌握平面內(nèi)一直線同側(cè)兩個點到直線上的某一點的距離之和為最小值時點的位置的確定。2.能利用軸對稱解決實際問題路徑最短的問題。3.通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本能力，感受學(xué)習(xí)成功的快樂。2.能利用軸對稱平移解決實際問題中路徑最短的問題。

3.通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本能力，感受學(xué)習(xí)成功的快樂。

活動一：創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑引思1、觀察圖片ABCEDF③①② 如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇走哪條路最近?你的理由是什么？理由：兩點之間線段最短2、兩點在一條直線異側(cè)已知：如圖，A、B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點P，使得PA＋PB最小.

方法：為什么這樣做就得到最短距離呢？根據(jù)：

引言：

前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”．活動二：引入新知問題1

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B處，牧馬人到河邊什么地點飲馬，可使他所走的路徑最短？探索新知1BAl？？你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？追問1

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al追問1

對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知2問題2

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·追問2

你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知3問題3

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？追問2

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′利用軸對稱的有關(guān)知識使問題轉(zhuǎn)化成“兩點之間線段最短”運用新知 如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋活動三：

基本思路：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

活動四：課堂檢測1、如圖（造橋選址問題）A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.)作法：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E

2.連接AE，交河岸與點M，則點M為建橋的位置，MN為所建的橋.ABMNab2、已知：如圖，A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點B、C組成三角形，使三角形周長最小.析；分別作點A關(guān)于OM、ON的對稱點A‘、A“，連接A’、A”分別交OM、ON于點B、點C，則點D、點C即為所求。AMNOBCA'A"3、（實際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)