2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)三角函數(shù)三角恒等變換題型大全

?（2017?江西新余三校聯(lián)考）已知cos=_8’則sin（x+3）的值為（）1-4A.A.f117B.3c.—§D?一9n1（nA4.已知sin3?（2017?江西新余三校聯(lián)考）已知cos=_8’則sin（x+3）的值為（）1-4A.A.f117B.3c.—§D?一9n1（nA4.已知sin（6_a）=3，則cos2百+aj的值是（）則sin（a+剖的值是.4石a=55.已知sin(3+a)+sin［練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力］一、選擇題1．)已知cos(x-6)=_￥，1-3B1-3A2d?32．則cosx+cos(j—3)=(C．－1A．3．)1B．2C．3D．±1A．D．44．.(n\7^2~7已知sin(a_4)=io,cos2a=^5,貝9sina=(B．d?-55.在斜三角形ABC中,sinA=—\：2cosB?cosC,且tanB?tanC=1—'J2,則角A的值為()na?4nB?3neq3nd.r6.(2017?浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知銳角a，B滿足sina—cosa=*,tana+tanB+￡3?tanatanB=\：3,則a,B的大小關(guān)系是（）nnC?nnC?4<av0D?4<0<a「nB?B<4<a8．已矢口cos4?—sin4?=2,且代(8．已矢口cos4?—sin4?=2,且代(0,2則cos(2q+39．已矢口tana,tanB是方程x2+3\；3x+4=0的兩根，且a,“丘2)，則a+B=10.若0va<2,cos(^+acos則cos]a三、解答題11.已知函數(shù)f(x)=cos2x+sinxcosx,x^R.(i)求fD的值；(2)若sina=3(2)若sina=3

=5,且a￡n,求店+24)12.已知函數(shù)f(x)=4tanxsin匕—x)?cos]x—3)—Y3.(1)求fx)的定義域與最小正周期；nn⑵討論fx)在區(qū)間4，4」上的單調(diào)性.答案第五節(jié)三角恒等變換3?三角恒等變換的綜合問題.本節(jié)主要包括3?三角恒等變換的綜合問題.本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn):1?三角函數(shù)的化簡求值；2?三角函數(shù)的條件求值;突破點(diǎn)(一)三角函數(shù)的化簡求值基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(a-P)cos(a—”)=cosacos歲+sinasinfi

C(a+P)cos(a+0)=cosacos0—sinasinPS(a-Psin(a—P)=sinacosP—cosasinfiS(a+P或n(a+P)=siinacosP+cosasinBT(a-P)tana—tanP二心^^—^=1+^0^“；變形：^ana—tanP=tan(a—P)(1+tanatanP)T(a+P)tana+tanP、，，tan(a+P)=i—tanatanP；^形:^ana+tanP=tan(a+P)(1—tanatanP)2.二倍角公式S2asin2a=2sin_acos_a；變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2C2acos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；、「宀1+cos2a1—cos2a變形：cos2a=2，sin2a=?-2tanatan2a=亠21—tan2a考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“袖”占口一三角函數(shù)式的化簡I1.三角函數(shù)式化簡的一般要求：(1)函數(shù)名稱盡可能少；(2)項(xiàng)數(shù)盡可能少；(3)盡可能不含根式；(4)次數(shù)盡可能低、盡可能求出值．2．常用的基本變換方法有：異角化同角、異名化同名、異次化同次，降冪或升冪，“1”的代換，弦切互化等．［例1］已知a￡(0,n),化簡:(1+sina+cosa)￡os2sin2)2+2cosa［解析］原式=acos22cos2aacos22cos2a+2sinacos2)^(因?yàn)閍e(0,n),所以詐9所以cosp°,所以原式=2cos22+2sin2cos2)??os》sin^)所以原式=2cos|0°20°2+血2)?Gs2_a.a=cos22_sin22=cosa.［a.a=cos22_sin22=cosa.［答案］cosa［方法技巧］三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則fI詢過看甬之間的差別與聯(lián)系*把期進(jìn)行合理的i1—拆-分，從止確使閉去■式二曲\咅曲數(shù)客稱之間時(shí)耒井.從血確星蹩用的金武」最祜簾見的有“切化蚯”i亠祈蔬材蒔兀義商示禍鬲萬懇焉血皿看丁亦歸話説護(hù)屈宀紺因式癩…二次式門點(diǎn)二三角函數(shù)的給角求值I［例2］求值：1+cos20°c1(1)2sln20°-Sln10擊一伽55⑵sin50°(1+\3an10°).［解］(1)原式=2cos210°

2［解］(1)原式=2cos210°

2X2sln10°cos10°-sin10°cos5°sin5°sin5°cos5°cos10°

2sln10°-sin10°cos25°—sin25°

sin5°cos5°cos10°

2sin10°—sin10°cos10°2sin10°cos10°

2sin10°—2cos10°cos10°

2sin10°—2cos10°=cos10°—2sin(30°—10°)=2sin10°cos10°—2毎cos10°—今sin10°)=2sin10°=V3sin10°=V3=2sin10°=2-⑵sin50°(1+/3tan10°)=sin50°(1+tan60°?tan10°)

ccos60cos10+sin60sin10=sm50?_cos60cos10.cos(60°-10°)=sin50?—cos60cos10=2sin50°cos50°=cos10°=sin100°=cos10°==cos10°=cos10°=1.［方法技巧］給角求值問題的解題規(guī)律解決給角求值問題的關(guān)鍵是兩種變換：一是角的變換，注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)（余）關(guān)系、倍半關(guān)系，從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；二是結(jié)構(gòu)變換，在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號(hào)特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形.能力練誦抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1—cos2能力練誦抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1—cos210°.—:cos80°;1—cos20°=()解析：選A1—cos210。cos80°寸1—cos20°=sin210°=sin10°\1—(1—2sin210°)=sin210°=^2=V2sin210°=2?2?［考點(diǎn)二］(1+tan18°)?(1+tan27°)的值是()a.<3b.1+逸C.2D.2(tan18°+tan27°)解析：選C原式=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan45°(1—tan18°tan27°)=2,故選C?3［考點(diǎn)一］化簡：(sin2?+cos2a—1)(sin2a—cos2a+1)sin4a解析(sin2?+cos2a—1)(sin2a—cos2a+1)sin4a_sin^cos2x.1答案：^cos2r突破點(diǎn)（二）三角函數(shù)的條件求值考點(diǎn)貫誦抓高考命題的^cos2x.1答案：^cos2r突破點(diǎn)（二）三角函數(shù)的條件求值考點(diǎn)貫誦抓高考命題的“形”與“神”考點(diǎn)一給值求值問題I［例1］（2017?合肥模擬）已知cos（6+j?cos3-a=-寸,a￡（|，2）?求sin2a的值；1求tana—tana的值?_2sin2a?cos2asin22a—cos22a+2cos2a—1—2sin2a?cos2a—2cosP2a+2cos2a_2sin2a?cos2a1—cos2a_sin2a_2sin2a_2sinacosasinacosa_tana?答案：tana4?［考點(diǎn)一］化簡:12cos4x—2cos2x+22tanl^4-Jsin2!^+j2(1—sin22r)2sin￡-xjcosg_x12cos22x1［解］⑴*.*cos(6+jcos(3-j=cos￡+asin(6+a)=a+U=14f.*.sin^2a+312.??coslVaG9.*.2a+3G網(wǎng)=-sin2a=si12?=sin(2a+3)cos§-cos(2a+§)12?(2)VaG(nn)a27,?*.2aG^3,n),1又由(1)知sin2a=2,cos2a=-.*.tana—1sinatana=cosacosasin2a—cos2asina=sinacosa—2cos2asin2a=2XY~=2也.［方法技巧］給值求值問題的求解思路先化簡所求式子；觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手);將已知條件代入所求式子，化簡求值.考點(diǎn)二給值求角問題I［例2］(1)設(shè)a,fi為鈍角，且sina=普，cos“=一，則a+fl的值為()A3nB5n44,5n亠7nD?4或4

11⑵已知a,fiw(0,n),且tan(a_fl)=2，tanfi=—7,則2a—fi的值為［解析］(1)Va,fi為鈍角，sina=專,cosfi=—普學(xué)，?—2苗?“一血..cosa=5,sinfi=珂,???cos(a+fi)=cosacosfi—sinasinfi=￥>°?又a+"W(n,2n),（普,2』,/.a+ft=7n~4-⑵*.*tana=tan［(a—fl)+fl］=tan(a_^+tan#1—tan(a—)tanfi112—7i1_=3>0，1+1X13.“n.?.0<a<2.又Ttan2a=2tan又Ttan2a=2tana1—tan2a2X34>o,.??0v2.??0v2a<n，/環(huán)tan2a—tanfi???仙(2久-刈=1+仙2atanfi=3+1=131*11—3X1?2a—fi=—?2a—fi=—n<2a—fi<0,3nT［答案］(1)C(2)—3n~4［方法技巧］給值求角時(shí)選取函數(shù)的原則和解題步驟（1）通過先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是（0,￡）,選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是（0，n），選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為（一2，2）,選正弦函數(shù)較好.（2）解給值求角問題的一般步驟：求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫出所求的角的大小.

AlBlD．CAlBlD．解析:選B強(qiáng)—滬氣總呼鼻嗔2.五10-或

￥￥??解析：選ATa，fi都是銳角，且cosa=令,sin(a—^)=詰°,?佃血a=^55，cos(a—fi)=3^010,從而cosfi=cos［a—(a五10-或

￥￥??解析：選ATa，fi都是銳角，且cosa=令,sin(a—^)=詰°,?佃血a=^55，cos(a—fi)=3^010,從而cosfi=cos［a—(a—fi)］=cosacos(a-fl)+sinasin(a—fi)=’，故選A?3?［考點(diǎn)二］(2017?臺(tái)州模擬)若sin2a=琴,sin(fi—a)=且aEn3n_4,n-，fiE0，二」，則a+fi的值是()A烏b?9F5n士9nD/4或~4解析：選A因?yàn)閍W〔4，n］所以2a￡〔2，2n］,又sin2a=^，所以2aWnnn_2,n_,aE環(huán)2」9故cos2a=—琴5?又fi已［兀，普］，所以fi—aw［2,竽］,故cos(fi—a)=—3^1°.所以cos(a+fi)=cos［2a+(fi2f5—a)］=cos2a?cos(fi—a)—sin2asin(fi—a)=—5XX需=￥，又a+fiE,故a+fi=^?4?［考點(diǎn)二］若銳角a,fi滿足(1+V3tana)(1+V3tanfi)=4,則a+fi=?解析：因?yàn)?1+"/3tana)(1+'3tanfi)=4,所以1+J3(tana+tanfi)+3tanatanfi=4,即Y3(tana+tanfi)=3—3tanatanfi=3(1—tanatanfi),即tana+tanfi=V3(1—tanatanfi).Atan(a+fi)=1—瓷齢=朽?又Ta,fi為銳角，??"+/=.答案:n，且噸+碣=學(xué)5?［考點(diǎn)一］已知ae(2，n⑴求cosa的值；⑵若sin(a-厲=_5,0^(2，J，求cosfi的值.解：⑴已知si^+cos^普兩邊同時(shí)平方，得1+2sinacos￥=3，則sin么=專?又2<a<n,所以cosa=—p1—sin2?=—草3.(2)因?yàn)?<a<n,2<0<n,又sin(a—0)=—5,4所以cos(a—0)=5.則cos0=cos[a—(a—0)]=cosacos(a—0)+sinasin(a—0)=—Sx4+ixr—3A=—W3+3=2X5+2Xl57=10*突破點(diǎn)(三)三角恒等變換的綜合問題利用三角恒等變換將三角函數(shù)化簡后研究圖象及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)?在高考中以解答題的形式出現(xiàn),考査三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對(duì)稱性等問題.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“袖”考點(diǎn)三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題I［典例］已知向量m=(sinx,1),n=\$Acosx,Acos2x(A>0)，函數(shù)fx)=m?n的最大值為6.⑴求A;(2)將函數(shù)y=fx)的圖象向左平移12個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的I倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在［o,24上的值域.[解](1fx)=m?n2x=\'3Asin2x2x=\'3Asin2x+!cos2x)=Asin(2x+殳因?yàn)锳>0,由題意知A=6.⑵由⑴知問=6血@+芳?將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移12個(gè)單位后得到y(tǒng)=6si頂+韻+6]=6血(加+3)的圖象再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的1倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=6sin@+3)的圖象.因此g(x)=6sin￡x+3)?因?yàn)閤W[o,24],所以4x+3丘[3,判,故g(x)在[°,謝上的值域?yàn)閇一3,6]?[方法技巧]三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用(1)圖象變換問題先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin(遠(yuǎn)+?)+t或余弦型函數(shù)y=Acos(ex+^)+t的形式，再進(jìn)行圖象變換.⑵函數(shù)性質(zhì)問題求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：①利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(dx+?)+t或y=Acos(dx+0+t的形式;2n②利用公式T=石@>0)求周期;根據(jù)自變量的范圍確定遠(yuǎn)+卩的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(ex+e)+t或y=Acos(dx+?)+t的單調(diào)區(qū)間.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.已知函數(shù)fx)=2sinxsin(x+?)?(1)求函數(shù)fx)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；n⑵當(dāng)xe[o,2」時(shí)，求函數(shù)fx)的值域.解：(1)解：(1)fx)=2sinx|2^sinx+*cosx3X1一嚴(yán)+2血”雄一)+￡所以函數(shù)fx)的最小正周期為T=n.由一2+2^n^2x_3^2^2^n,kEZ,n5n解得—J^+knWxW^+kn,kEZ,所以函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間是|^—12+kn,卷+kn],kEZ.(2)當(dāng)xe[o,2]時(shí),2x-|e[-n,2n],$血一牝[一爭,1_,fx)E[o,1+￥]?故fx)的值域?yàn)閇0,1+占3].2.已知函數(shù)fx)="73sinex—cosex—1,xeR(其中e>0).(1)求函數(shù)fx)的值域；⑵若函數(shù)y=fx)的圖象與直線y=—1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為2求函數(shù)y=f(X)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)fx)=2生3sinex-^cos-1=2sin@x-另—1.由一1Wsin@x—6)W1,得一3W2sin@x—6)—1W1?所以函數(shù)用)的值域?yàn)椋垡?,1］.2n⑵由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y=fx)的周期為n,所以石=n，即血=2?所以fx)=2sin(2x一一1,由2kn_2^2x_6^2kn+2(kEZ),得刼―:冬涇航+壬眶z).所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［刼一彳，kn+3(kEZ).3.已知函數(shù)f(x)=2cos2?x—1+3sinexcos血x(0sv1),直線x=3是函數(shù)fx)的圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)心)的單調(diào)遞增區(qū)間;2n(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=fx)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移晉個(gè)單位長度得到的，若g(2a+n)=6,aw(0,剳，求sina的值.解:(1)fx)=cos2ex+3sin2ex=2sin^2ex+6),由于直線x=3是函數(shù)f（x）=2sin^2?x+6）的圖象的一條對(duì)稱軸，所以sinl俘血+6）=±1,因此普血+6=kn+2（kEZ）,31解得血=尹+2仇丘乙）,又05V1,所以血所以f(x)=2sin&+6)?由2kn—nWx+nW2kn+n(kEZ)，得2kn—竽03兀+歎取),所以函數(shù)fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為2kn—竽，2kn+n（kEZ）.弟+竽）+6］，（2）由題意可得g（x）=2sinx即g(x)=2cos2,5,得cos(a+6)=3,又aW(0,2)，故6＜。+6＜普，所以sin(a+5)=4，由g(2a+§)=2coj2(2a+3)=2cos(a+6)=所以sina=sin[(a+5)—5]=sin^a+5)^cos^-cos(a+l)?sin6=5x￥—5烤=氣尹［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測］重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基.二練題點(diǎn)過高考［練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力］sin110°sin20°1(2017?麗水模擬)計(jì)算cos2155°—sin2155°的值為(A.-2BlD?與解析：選Bsin110°sin20°=sin70°sin20°cos2155°_sin2155°=cos310°__cos20°sin20°2sin40°=1cos50°=sin40°=2*2.（2017?臨安中學(xué)高三月考）已知si1n=2，—2＜aV0,則cos)A*!B.|A*!D.1D.1C—2

iJ3解析：選C由已知得cosa=2，sina=_?,所以cos(a_n)=1cosa+^sina=_2?C.士1解析：選C因?yàn)?.（2017?江西新余三校聯(lián)考）已知BC.士1解析：選C因?yàn)?.（2017?江西新余三校聯(lián)考）已知B?7)8,則D.±71_78，所以有121_8）=16，從而求得sin&+3）的值為士4，故選C?4.已知sin￡—a=3，則cos2（V+a）的值是（）1-3-7--9解析：1-3-7--9解析：選DTsi1V=1_2sin26_a=7,cos2^+a=cosl^^+2a)=cosn=cosn_^3_2a)=_cos3_2a=7一9?的值是5.已知sinl魯+j+sin么二4^3，則sin的值是解析：Tsin^V+j+sina=4J3?/.sinfcosa+cos^ina+sina=4^,???2sina+亨cosa=4^,即今sin么+2cosa=5,故sin￡+"6)=sinacos7^+cosasin7^=_^23sina+2cosj=_5?答案：一4［練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力］一、選擇題1．已知sin2a=3，則cos2!^—另=()A．B?fC．D?2解析：選D依題意得cos2(a—4)=cosacos4+sinasin42=￡(cosa+sina)2=|(1+sin2a)=#?2．已知cosQ—6)=—專3，則cosx+cos?—3)=()A．C．D．±1解析:選CTcos?—6)=—智,cosx+cosx—3=cosx+cosxcos3+sinxsin3=3cosx+_23sinxrS^^cosx+2sinJ=\'3cos(-6)=佰X(-^=-13?若tana=2噸，則仝=(A．1D．4B.2C.3(a—10)sin!a—10+2)sin(a+5)cos解析：選Cd5)￡5)sin(a-5n..nsinan..nsinacos+cosasmcos+smg55_cosa55n.n=sinan.nsinacosg—cosasmgcosac°sg—smgsin52?ncos5+sin5n55?.ncosg3smgn=n=3,故選c.sinzsinz~5n.n52?二cos5—sin5cos5(n\7寸274.已知sing—4)=〒0,cos2a=25，貝0sina=()cos2a—sincos2a—sin2a=725,所以tan(B+C)=tanB+tanC1—tanBtanC—1?c?5d?-5解析：選c由sin￡—另二7^2得sina—cosa=5①AlB．由cos2a=25得所以(cosa—sina)?(cosa+sina)=25，②由①②可得cosa+sina=—③3由①③可得sina=5?5.在斜三角形ABC中，sinA=—\/2cosB?cosC,且tanB?tanC=1—V2，則角A的值為(),nnA?4b?3n3nc?2D?a解析：選A由題意知，sinA=—V2cosB?cosC=sin(B+C)=sinB?cosC+cosB?sinC,在等式一\'2cosB?cosC=sinB?cosC+cosB?sinC兩邊同除以cosB?cosC得tanB+tanC=—1'2,又tanB?tanC=1—馮2,由已知,有tanA=—tan(B+C),n則tanA=1,所以A=4，16.(2017?浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知銳角a,B滿足sina—cosa=6，tana+tan0+"j3?tanatanp=\'3，則a,p的大小關(guān)系是（）,n“A.a<4<pnB.p<4<anC?4<a<pn“D?4<pva解析：選B'：a為銳角，sina—cosa=6,a>4?又tana+tanfi+\3tanatanp=i3,tan(a+p)=tantan(a+p)=1—tanatanp''nn??a+p=-，又a>4.

??P<44va.二、填空題7.函數(shù)用）=sin（2r—4）—^;'2sin2x的最小正周期是.解析：：％)=號(hào)2sin2x—乎cos2x—'2(1—cos2x)=￥sin2x+乎cos2x—b'2=sinl@+4)—V2?:2n/（兀）的最小正周期T=~2=n?答案：n8.已知cos4a—sin4a=2，且a^@2),則cos^2a+3)=解析：TaE仏2),cos4a—sin4a=(sin2a+cos2a)(cos2a—sin2a)=cos2a=|>0,A2a^^0,2),