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?(2017?江西新余三校聯(lián)考)已知cos=_8’則sin(x+3)的值為()1-4A.A.f117B.3c.—§D?一9n1(nA4.已知sin3?(2017?江西新余三校聯(lián)考)已知cos=_8’則sin(x+3)的值為()1-4A.A.f117B.3c.—§D?一9n1(nA4.已知sin(6_a)=3,則cos2百+aj的值是()則sin(a+剖的值是.4石a=55.已知sin(3+a)+sin[練??碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、選擇題1.)已知cos(x-6)=_¥,1-3B1-3A2d?32.則cosx+cos(j—3)=(C.-1A.3.)1B.2C.3D.±1A.D.44..(n\7^2~7已知sin(a_4)=io,cos2a=^5,貝9sina=(B.d?-55.在斜三角形ABC中,sinA=—\:2cosB?cosC,且tanB?tanC=1—'J2,則角A的值為()na?4nB?3neq3nd.r6.(2017?浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知銳角a,B滿足sina—cosa=*,tana+tanB+£3?tanatanB=\:3,則a,B的大小關(guān)系是()nnC?nnC?4<av0D?4<0<a「nB?B<4<a8.已矢口cos4?—sin4?=2,且代(8.已矢口cos4?—sin4?=2,且代(0,2則cos(2q+39.已矢口tana,tanB是方程x2+3\;3x+4=0的兩根,且a,“丘2),則a+B=10.若0va<2,cos(^+acos則cos]a三、解答題11.已知函數(shù)f(x)=cos2x+sinxcosx,x^R.(i)求fD的值;(2)若sina=3(2)若sina=3
=5,且a£n,求店+24)12.已知函數(shù)f(x)=4tanxsin匕—x)?cos]x—3)—Y3.(1)求fx)的定義域與最小正周期;nn⑵討論fx)在區(qū)間4,4」上的單調(diào)性.答案第五節(jié)三角恒等變換3?三角恒等變換的綜合問題.本節(jié)主要包括3?三角恒等變換的綜合問題.本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn):1?三角函數(shù)的化簡求值;2?三角函數(shù)的條件求值;突破點(diǎn)(一)三角函數(shù)的化簡求值基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(a-P)cos(a—”)=cosacos歲+sinasinfi
C(a+P)cos(a+0)=cosacos0—sinasinPS(a-Psin(a—P)=sinacosP—cosasinfiS(a+P或n(a+P)=siinacosP+cosasinBT(a-P)tana—tanP二心^^—^=1+^0^“;變形:^ana—tanP=tan(a—P)(1+tanatanP)T(a+P)tana+tanP、,,tan(a+P)=i—tanatanP;^形:^ana+tanP=tan(a+P)(1—tanatanP)2.二倍角公式S2asin2a=2sin_acos_a;變形:1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2C2acos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a;、「宀1+cos2a1—cos2a變形:cos2a=2,sin2a=?-2tanatan2a=亠21—tan2a考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“袖”占口一三角函數(shù)式的化簡I1.三角函數(shù)式化簡的一般要求:(1)函數(shù)名稱盡可能少;(2)項(xiàng)數(shù)盡可能少;(3)盡可能不含根式;(4)次數(shù)盡可能低、盡可能求出值.2.常用的基本變換方法有:異角化同角、異名化同名、異次化同次,降冪或升冪,“1”的代換,弦切互化等.[例1]已知a£(0,n),化簡:(1+sina+cosa)£os2sin2)2+2cosa[解析]原式=acos22cos2aacos22cos2a+2sinacos2)^(因?yàn)閍e(0,n),所以詐9所以cosp°,所以原式=2cos22+2sin2cos2)??os》sin^)所以原式=2cos|0°20°2+血2)?Gs2_a.a=cos22_sin22=cosa.[a.a=cos22_sin22=cosa.[答案]cosa[方法技巧]三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則fI詢過看甬之間的差別與聯(lián)系*把期進(jìn)行合理的i1—拆-分,從止確使閉去■式二曲\咅曲數(shù)客稱之間時(shí)耒井.從血確星蹩用的金武」最祜簾見的有“切化蚯”i亠祈蔬材蒔兀義商示禍鬲萬懇焉血皿看丁亦歸話説護(hù)屈宀紺因式癩…二次式門點(diǎn)二三角函數(shù)的給角求值I[例2]求值:1+cos20°c1(1)2sln20°-Sln10擊一伽55⑵sin50°(1+\3an10°).[解](1)原式=2cos210°
2[解](1)原式=2cos210°
2X2sln10°cos10°-sin10°cos5°sin5°sin5°cos5°cos10°
2sln10°-sin10°cos25°—sin25°
sin5°cos5°cos10°
2sin10°—sin10°cos10°2sin10°cos10°
2sin10°—2cos10°cos10°
2sin10°—2cos10°=cos10°—2sin(30°—10°)=2sin10°cos10°—2毎cos10°—今sin10°)=2sin10°=V3sin10°=V3=2sin10°=2-⑵sin50°(1+/3tan10°)=sin50°(1+tan60°?tan10°)
ccos60cos10+sin60sin10=sm50?_cos60cos10.cos(60°-10°)=sin50?—cos60cos10=2sin50°cos50°=cos10°=sin100°=cos10°==cos10°=cos10°=1.[方法技巧]給角求值問題的解題規(guī)律解決給角求值問題的關(guān)鍵是兩種變換:一是角的變換,注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系,從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消,從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù);二是結(jié)構(gòu)變換,在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號(hào)特征的基礎(chǔ)上,結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形.能力練誦抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1—cos2能力練誦抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1—cos210°.—:cos80°;1—cos20°=()解析:選A1—cos210。cos80°寸1—cos20°=sin210°=sin10°\1—(1—2sin210°)=sin210°=^2=V2sin210°=2?2?[考點(diǎn)二](1+tan18°)?(1+tan27°)的值是()a.<3b.1+逸C.2D.2(tan18°+tan27°)解析:選C原式=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan45°(1—tan18°tan27°)=2,故選C?3[考點(diǎn)一]化簡:(sin2?+cos2a—1)(sin2a—cos2a+1)sin4a解析(sin2?+cos2a—1)(sin2a—cos2a+1)sin4a_sin^cos2x.1答案:^cos2r突破點(diǎn)(二)三角函數(shù)的條件求值考點(diǎn)貫誦抓高考命題的^cos2x.1答案:^cos2r突破點(diǎn)(二)三角函數(shù)的條件求值考點(diǎn)貫誦抓高考命題的“形”與“神”考點(diǎn)一給值求值問題I[例1](2017?合肥模擬)已知cos(6+j?cos3-a=-寸,a£(|,2)?求sin2a的值;1求tana—tana的值?_2sin2a?cos2asin22a—cos22a+2cos2a—1—2sin2a?cos2a—2cosP2a+2cos2a_2sin2a?cos2a1—cos2a_sin2a_2sin2a_2sinacosasinacosa_tana?答案:tana4?[考點(diǎn)一]化簡:12cos4x—2cos2x+22tanl^4-Jsin2!^+j2(1—sin22r)2sin£-xjcosg_x12cos22x1[解]⑴*.*cos(6+jcos(3-j=cos£+asin(6+a)=a+U=14f.*.sin^2a+312.??coslVaG9.*.2a+3G網(wǎng)=-sin2a=si12?=sin(2a+3)cos§-cos(2a+§)12?(2)VaG(nn)a27,?*.2aG^3,n),1又由(1)知sin2a=2,cos2a=-.*.tana—1sinatana=cosacosasin2a—cos2asina=sinacosa—2cos2asin2a=2XY~=2也.[方法技巧]給值求值問題的求解思路先化簡所求式子;觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手);將已知條件代入所求式子,化簡求值.考點(diǎn)二給值求角問題I[例2](1)設(shè)a,fi為鈍角,且sina=普,cos“=一,則a+fl的值為()A3nB5n44,5n亠7nD?4或4
11⑵已知a,fiw(0,n),且tan(a_fl)=2,tanfi=—7,則2a—fi的值為[解析](1)Va,fi為鈍角,sina=專,cosfi=—普學(xué),?—2苗?“一血..cosa=5,sinfi=珂,???cos(a+fi)=cosacosfi—sinasinfi=¥>°?又a+"W(n,2n),(普,2』,/.a+ft=7n~4-⑵*.*tana=tan[(a—fl)+fl]=tan(a_^+tan#1—tan(a—)tanfi112—7i1_=3>0,1+1X13.“n.?.0<a<2.又Ttan2a=2tan又Ttan2a=2tana1—tan2a2X34>o,.??0v2.??0v2a<n,/環(huán)tan2a—tanfi???仙(2久-刈=1+仙2atanfi=3+1=131*11—3X1?2a—fi=—?2a—fi=—n<2a—fi<0,3nT[答案](1)C(2)—3n~4[方法技巧]給值求角時(shí)選取函數(shù)的原則和解題步驟(1)通過先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時(shí),遵照以下原則:已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是(0,£),選正、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,n),選余弦函數(shù)較好;若角的范圍為(一2,2),選正弦函數(shù)較好.(2)解給值求角問題的一般步驟:求角的某一個(gè)三角函數(shù)值;確定角的范圍;根據(jù)角的范圍寫出所求的角的大小.
AlBlD.CAlBlD.解析:選B強(qiáng)—滬氣總呼鼻嗔2.五10-或
¥¥??解析:選ATa,fi都是銳角,且cosa=令,sin(a—^)=詰°,?佃血a=^55,cos(a—fi)=3^010,從而cosfi=cos[a—(a五10-或
¥¥??解析:選ATa,fi都是銳角,且cosa=令,sin(a—^)=詰°,?佃血a=^55,cos(a—fi)=3^010,從而cosfi=cos[a—(a—fi)]=cosacos(a-fl)+sinasin(a—fi)=’,故選A?3?[考點(diǎn)二](2017?臺(tái)州模擬)若sin2a=琴,sin(fi—a)=且aEn3n_4,n-,fiE0,二」,則a+fi的值是()A烏b?9F5n士9nD/4或~4解析:選A因?yàn)閍W〔4,n]所以2a£〔2,2n],又sin2a=^,所以2aWnnn_2,n_,aE環(huán)2」9故cos2a=—琴5?又fi已[兀,普],所以fi—aw[2,竽],故cos(fi—a)=—3^1°.所以cos(a+fi)=cos[2a+(fi2f5—a)]=cos2a?cos(fi—a)—sin2asin(fi—a)=—5XX需=¥,又a+fiE,故a+fi=^?4?[考點(diǎn)二]若銳角a,fi滿足(1+V3tana)(1+V3tanfi)=4,則a+fi=?解析:因?yàn)?1+"/3tana)(1+'3tanfi)=4,所以1+J3(tana+tanfi)+3tanatanfi=4,即Y3(tana+tanfi)=3—3tanatanfi=3(1—tanatanfi),即tana+tanfi=V3(1—tanatanfi).Atan(a+fi)=1—瓷齢=朽?又Ta,fi為銳角,??"+/=.答案:n,且噸+碣=學(xué)5?[考點(diǎn)一]已知ae(2,n⑴求cosa的值;⑵若sin(a-厲=_5,0^(2,J,求cosfi的值.解:⑴已知si^+cos^普兩邊同時(shí)平方,得1+2sinacos¥=3,則sin么=專?又2<a<n,所以cosa=—p1—sin2?=—草3.(2)因?yàn)?<a<n,2<0<n,又sin(a—0)=—5,4所以cos(a—0)=5.則cos0=cos[a—(a—0)]=cosacos(a—0)+sinasin(a—0)=—Sx4+ixr—3A=—W3+3=2X5+2Xl57=10*突破點(diǎn)(三)三角恒等變換的綜合問題利用三角恒等變換將三角函數(shù)化簡后研究圖象及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)?在高考中以解答題的形式出現(xiàn),考査三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對(duì)稱性等問題.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“袖”考點(diǎn)三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題I[典例]已知向量m=(sinx,1),n=\$Acosx,Acos2x(A>0),函數(shù)fx)=m?n的最大值為6.⑴求A;(2)將函數(shù)y=fx)的圖象向左平移12個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的I倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在[o,24上的值域.[解](1fx)=m?n2x=\'3Asin2x2x=\'3Asin2x+!cos2x)=Asin(2x+殳因?yàn)锳>0,由題意知A=6.⑵由⑴知問=6血@+芳?將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移12個(gè)單位后得到y(tǒng)=6si頂+韻+6]=6血(加+3)的圖象再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的1倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=6sin@+3)的圖象.因此g(x)=6sin£x+3)?因?yàn)閤W[o,24],所以4x+3丘[3,判,故g(x)在[°,謝上的值域?yàn)閇一3,6]?[方法技巧]三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用(1)圖象變換問題先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin(遠(yuǎn)+?)+t或余弦型函數(shù)y=Acos(ex+^)+t的形式,再進(jìn)行圖象變換.⑵函數(shù)性質(zhì)問題求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟:①利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(dx+?)+t或y=Acos(dx+0+t的形式;2n②利用公式T=石@>0)求周期;根據(jù)自變量的范圍確定遠(yuǎn)+卩的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時(shí),根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn),也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值;根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(ex+e)+t或y=Acos(dx+?)+t的單調(diào)區(qū)間.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.已知函數(shù)fx)=2sinxsin(x+?)?(1)求函數(shù)fx)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;n⑵當(dāng)xe[o,2」時(shí),求函數(shù)fx)的值域.解:(1)解:(1)fx)=2sinx|2^sinx+*cosx3X1一嚴(yán)+2血”雄一)+£所以函數(shù)fx)的最小正周期為T=n.由一2+2^n^2x_3^2^2^n,kEZ,n5n解得—J^+knWxW^+kn,kEZ,所以函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間是|^—12+kn,卷+kn],kEZ.(2)當(dāng)xe[o,2]時(shí),2x-|e[-n,2n],$血一牝[一爭,1_,fx)E[o,1+¥]?故fx)的值域?yàn)閇0,1+占3].2.已知函數(shù)fx)="73sinex—cosex—1,xeR(其中e>0).(1)求函數(shù)fx)的值域;⑵若函數(shù)y=fx)的圖象與直線y=—1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為2求函數(shù)y=f(X)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)fx)=2生3sinex-^cos-1=2sin@x-另—1.由一1Wsin@x—6)W1,得一3W2sin@x—6)—1W1?所以函數(shù)用)的值域?yàn)椋垡?,1].2n⑵由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知,y=fx)的周期為n,所以石=n,即血=2?所以fx)=2sin(2x一一1,由2kn_2^2x_6^2kn+2(kEZ),得刼―:冬涇航+壬眶z).所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[刼一彳,kn+3(kEZ).3.已知函數(shù)f(x)=2cos2?x—1+3sinexcos血x(0sv1),直線x=3是函數(shù)fx)的圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)心)的單調(diào)遞增區(qū)間;2n(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=fx)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,然后再向左平移晉個(gè)單位長度得到的,若g(2a+n)=6,aw(0,剳,求sina的值.解:(1)fx)=cos2ex+3sin2ex=2sin^2ex+6),由于直線x=3是函數(shù)f(x)=2sin^2?x+6)的圖象的一條對(duì)稱軸,所以sinl俘血+6)=±1,因此普血+6=kn+2(kEZ),31解得血=尹+2仇丘乙),又05V1,所以血所以f(x)=2sin&+6)?由2kn—nWx+nW2kn+n(kEZ),得2kn—竽03兀+歎取),所以函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kn—竽,2kn+n(kEZ).弟+竽)+6],(2)由題意可得g(x)=2sinx即g(x)=2cos2,5,得cos(a+6)=3,又aW(0,2),故6<。+6<普,所以sin(a+5)=4,由g(2a+§)=2coj2(2a+3)=2cos(a+6)=所以sina=sin[(a+5)—5]=sin^a+5)^cos^-cos(a+l)?sin6=5x¥—5烤=氣尹[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測]重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基.二練題點(diǎn)過高考[練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]sin110°sin20°1(2017?麗水模擬)計(jì)算cos2155°—sin2155°的值為(A.-2BlD?與解析:選Bsin110°sin20°=sin70°sin20°cos2155°_sin2155°=cos310°__cos20°sin20°2sin40°=1cos50°=sin40°=2*2.(2017?臨安中學(xué)高三月考)已知si1n=2,—2<aV0,則cos)A*!B.|A*!D.1D.1C—2
iJ3解析:選C由已知得cosa=2,sina=_?,所以cos(a_n)=1cosa+^sina=_2?C.士1解析:選C因?yàn)?.(2017?江西新余三校聯(lián)考)已知BC.士1解析:選C因?yàn)?.(2017?江西新余三校聯(lián)考)已知B?7)8,則D.±71_78,所以有121_8)=16,從而求得sin&+3)的值為士4,故選C?4.已知sin£—a=3,則cos2(V+a)的值是()1-3-7--9解析:1-3-7--9解析:選DTsi1V=1_2sin26_a=7,cos2^+a=cosl^^+2a)=cosn=cosn_^3_2a)=_cos3_2a=7一9?的值是5.已知sinl魯+j+sin么二4^3,則sin的值是解析:Tsin^V+j+sina=4J3?/.sinfcosa+cos^ina+sina=4^,???2sina+亨cosa=4^,即今sin么+2cosa=5,故sin£+"6)=sinacos7^+cosasin7^=_^23sina+2cosj=_5?答案:一4[練??碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、選擇題1.已知sin2a=3,則cos2!^—另=()A.B?fC.D?2解析:選D依題意得cos2(a—4)=cosacos4+sinasin42=£(cosa+sina)2=|(1+sin2a)=#?2.已知cosQ—6)=—專3,則cosx+cos?—3)=()A.C.D.±1解析:選CTcos?—6)=—智,cosx+cosx—3=cosx+cosxcos3+sinxsin3=3cosx+_23sinxrS^^cosx+2sinJ=\'3cos(-6)=佰X(-^=-13?若tana=2噸,則仝=(A.1D.4B.2C.3(a—10)sin!a—10+2)sin(a+5)cos解析:選Cd5)£5)sin(a-5n..nsinan..nsinacos+cosasmcos+smg55_cosa55n.n=sinan.nsinacosg—cosasmgcosac°sg—smgsin52?ncos5+sin5n55?.ncosg3smgn=n=3,故選c.sinzsinz~5n.n52?二cos5—sin5cos5(n\7寸274.已知sing—4)=〒0,cos2a=25,貝0sina=()cos2a—sincos2a—sin2a=725,所以tan(B+C)=tanB+tanC1—tanBtanC—1?c?5d?-5解析:選c由sin£—另二7^2得sina—cosa=5①AlB.由cos2a=25得所以(cosa—sina)?(cosa+sina)=25,②由①②可得cosa+sina=—③3由①③可得sina=5?5.在斜三角形ABC中,sinA=—\/2cosB?cosC,且tanB?tanC=1—V2,則角A的值為(),nnA?4b?3n3nc?2D?a解析:選A由題意知,sinA=—V2cosB?cosC=sin(B+C)=sinB?cosC+cosB?sinC,在等式一\'2cosB?cosC=sinB?cosC+cosB?sinC兩邊同除以cosB?cosC得tanB+tanC=—1'2,又tanB?tanC=1—馮2,由已知,有tanA=—tan(B+C),n則tanA=1,所以A=4,16.(2017?浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知銳角a,B滿足sina—cosa=6,tana+tan0+"j3?tanatanp=\'3,則a,p的大小關(guān)系是(),n“A.a<4<pnB.p<4<anC?4<a<pn“D?4<pva解析:選B':a為銳角,sina—cosa=6,a>4?又tana+tanfi+\3tanatanp=i3,tan(a+p)=tantan(a+p)=1—tanatanp''nn??a+p=-,又a>4.
??P<44va.二、填空題7.函數(shù)用)=sin(2r—4)—^;'2sin2x的最小正周期是.解析::%)=號(hào)2sin2x—乎cos2x—'2(1—cos2x)=¥sin2x+乎cos2x—b'2=sinl@+4)—V2?:2n/(兀)的最小正周期T=~2=n?答案:n8.已知cos4a—sin4a=2,且a^@2),則cos^2a+3)=解析:TaE仏2),cos4a—sin4a=(sin2a+cos2a)(cos2a—sin2a)=cos2a=|>0,A2a^^0,2),
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