工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日§2.1工業(yè)機(jī)器人位姿描述

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)1.點(diǎn)的位置描述圖2-1點(diǎn)的位置描述其中,px、py、pz是點(diǎn)P的三個位置坐標(biāo)分量。

(2.1)

如圖2-1所示,在直角坐標(biāo)系{A}中,空間任一點(diǎn)P的位置可用(3×1)的位置矢量AP表示為第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

2.點(diǎn)的齊次坐標(biāo)

齊次坐標(biāo)并不是惟一的,當(dāng)列陣的每一項分別乘以一個非零因子ω時,即

(2.2)

如用四個數(shù)組成的(4×1)列陣表示三維空間直角坐標(biāo)系{A}中點(diǎn)P,則該列陣稱為三維空間點(diǎn)P的齊次坐標(biāo),如下:第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)(2.3)

其中:a=ωpx,b=ωpy,c=ωpz。該列陣也表示P點(diǎn),齊次坐標(biāo)的表示不是惟一的。第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)3.坐標(biāo)軸方向的描述

②列陣［abcω］T中第四個元素不為零,則表示空間某點(diǎn)的位置。規(guī)定:

①列陣［abc0］T中第四個元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;圖2-2坐標(biāo)軸方向的描述如圖，用i、j、k來表示直角坐標(biāo)系中X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位向量,用齊次坐標(biāo)來描述X、Y、Z軸的方向,則有第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)例如,在圖2-2中,矢量v的方向用(4×1)列陣表示為

其中:a=cosα,b=cosβ,c=cosγ。

當(dāng)α=60°,β=60°,γ=45°時,矢量為第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)4.動坐標(biāo)系位姿的描述

動坐標(biāo)系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標(biāo)系原點(diǎn)位置和坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向的描述。該位姿矩陣為(4×4)的方陣。如上述直角坐標(biāo)系可描述為:

(2.4)

第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)5.剛體位姿的描述

機(jī)器人的每一個連桿均可視為一個剛體,若給定了剛體上某一點(diǎn)的位置和該剛體在空中的姿態(tài),則這個剛體在空間上是唯一確定的,可用唯一一個位姿矩陣進(jìn)行描述。圖2-3剛體的位置和姿態(tài)描述

如圖2-3所示,設(shè)O′X′Y′Z′為與剛體Q固連的一個坐標(biāo)系,稱為動坐標(biāo)系。剛體Q在固定坐標(biāo)系OXYZ中的位置可用齊次坐標(biāo)形式表示為:第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)令n、o、a分別為X′、

Y′、Z′坐標(biāo)軸的單位方向矢量,即

剛體的位姿表示為(4×4)矩陣:

第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)例1如圖表示連于剛體的坐標(biāo)系{B}位于OB點(diǎn)，xb=10，yb=5，zb=0。ZB軸與畫面垂直，坐標(biāo)系{B}相對固定坐標(biāo)系{A}有一個30°的偏轉(zhuǎn)，試寫出表示剛體位姿的坐標(biāo)系{B}的（4×4）矩陣表達(dá)式。OAYAXAOBYBXB{A}{B}30°(xb,yb,zb)解：XB的方向陣列：n=[cos30°cos60°cos90°0]T=[0.8660.5000.0000]TYB的方向陣列：o=[cos120°cos30°cos90°0]T=[-0.5000.8660.0000]TZB的方向陣列：a=[0.0000.0001.0000]T坐標(biāo)系{B}的位置列陣：p=[10.05.00.01]T所以坐標(biāo)系{B}的（4×4）矩陣表達(dá)式為：第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)6.手部位姿的描述

機(jī)器人手部的位姿如圖2-4所示,可用固連于手部的坐標(biāo)系{B}的位姿來表示。坐標(biāo)系{B}由原點(diǎn)位置和三個單位矢量惟一確定,即:圖2-4機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)描述

(1)原點(diǎn):取手部中心點(diǎn)為原點(diǎn)OB;(2)接近矢量:關(guān)節(jié)軸方向的單位矢量a;(3)姿態(tài)矢量:手指連線方向的單位矢量o;(4)法向矢量:n為法向單位矢量,同時垂直于a、o矢量,即n=o×a。第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

手部位姿矢量為從固定參考坐標(biāo)系OXYZ原點(diǎn)指向手部坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。手部的位姿可由(4×4)矩陣表示:

(2.5)

第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)例2圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長2個單位的正立方體，寫出表達(dá)該手部位姿的矩陣式。XZYY’X’Z’oanQO’解：因為物體Q形心與手部坐標(biāo)系O’X’Y’Z’的坐標(biāo)原點(diǎn)O’相重合，所以手部位置的（4×1）列陣為P=[1111]T手部坐標(biāo)系X’軸的方向可用單位矢量n來表示：n：α=90°，β=180°，γ=90°nx=cosα=0;ny=cosα=-1;nz=cosα=0同理，手部坐標(biāo)系Y’與Z’軸的方向可分別用單位矢量o和α來表示。手部位姿可用矩陣表達(dá)為：第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)圖2-5目標(biāo)物的位置和姿態(tài)描述

7.目標(biāo)物位姿的描述

任何一個物體在空間的位置和姿態(tài)都可以用齊次矩陣來表示,如圖2-5所示。楔塊Q在(a)圖的情況下可用6個點(diǎn)描述,矩陣表達(dá)式為

第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)(2.6)

若讓其繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°,記為Rot(z,90°);再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°,即Rot(y,90°),然后再沿X軸方向平移4,即Trans(4,0,0),則楔塊成為(b)圖位姿,其齊次矩陣表達(dá)式為用符號表示對目標(biāo)物的變換方式可以記錄物體移動的過程,也便于矩陣的運(yùn)算,所以應(yīng)該熟練掌握。

第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)§2.2齊次變換及運(yùn)算一.平移的齊次變換圖2-6點(diǎn)的平移變換

如圖2-6所示為空間某一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的平移,由A(x,y,z)平移至A′(x′,y′,z′),即或?qū)懗桑?/p>

(2.7)第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)a′=Trans(Δx,Δy,Δz)a

記為:

其中,Trans(Δx,Δy,Δz)稱為平移算子,Δx、Δy、Δz分別表示沿X、Y、Z軸的移動量。即:(2.8)

(2.9)

第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

注:①算子左乘:表示點(diǎn)的平移是相對固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。②算子右乘:表示點(diǎn)的平移是相對動坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。③

該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、

物體的平移變換,如機(jī)器人手部的平移變換。

第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)例3：有下面兩種情況（如圖2-7），動坐標(biāo)系{A}相對于定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作（-1，2，2）平移后到{A’}；動坐標(biāo)系{A}相對于自身坐標(biāo)系（即動系）的X、Y、Z軸分別作（-1，2，2）平移后到{A”}。已知：試寫出坐標(biāo)系{A’}、{A”}的矩陣表達(dá)式。圖2-7坐標(biāo)系的平移變換Z0Y’Y0X0X’Z’X”Y”Z”{A}{A”}{A’}YXZ第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)解：動坐標(biāo)系{A}的兩個平移坐標(biāo)變換算子均為

{A’}坐標(biāo)系是動系{A}沿固定坐標(biāo)系作平移變換得來的，因此算子左乘，{A’}的矩陣表達(dá)式為22-12第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

{A”}坐標(biāo)系是動系{A}沿自身坐標(biāo)系作平移變換得來的，因此算子右乘，{A”}的矩陣表達(dá)式為

經(jīng)過平移坐標(biāo)變換后，坐標(biāo){A’}、{A”}的實際情況已圖解在圖2-7中。第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)二.旋轉(zhuǎn)的齊次變換

點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)如圖2-8所示。A(x,y,z)繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角后至A′(x′,y′,z′),A與A′之間的關(guān)系為圖2-8點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換(2.10)

第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)寫成矩陣形式為

(2.17)

記為:a′=Rot(z,θ)a

其中,繞Z軸旋轉(zhuǎn)算子左乘是相對于固定坐標(biāo)系,即

(2.18)

第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)同理,(2.19)

(2.20)

第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

圖2-9所示為點(diǎn)A繞任意過原點(diǎn)的單位矢量k旋轉(zhuǎn)θ角的情況。kx、ky、kz分別為k矢量在固定參考坐標(biāo)軸X、Y、Z上的三個分量,且k2x+k2y+k2z=1?？梢宰C明,其旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣為

圖2-9點(diǎn)的一般旋轉(zhuǎn)變換

第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)(2.21)

注:①該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式,概括了繞X、Y、Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之,當(dāng)給出某個旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣,則可求得k及轉(zhuǎn)角θ。②變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn),也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體的旋轉(zhuǎn)。③

左乘是相對固定坐標(biāo)系的變換;右乘是相對動坐標(biāo)系的變換。

第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日三.平移加旋轉(zhuǎn)的齊次變換

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可以組合在一起，計算時只要用旋轉(zhuǎn)算子乘上平移算子就可以實現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)上加平移。不再贅述。練習(xí)：已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的齊次坐標(biāo)U=[7321]T，將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，還要作4i-3j+7k的平移，求變換后得到的點(diǎn)W的列陣表達(dá)式。end第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)§2.3工業(yè)機(jī)器人連桿參數(shù)及其齊次變換矩陣一.連桿參數(shù)及連桿坐標(biāo)系的建立圖2-10連桿的幾何參數(shù)

1、連桿參數(shù)描述該連桿可以通過兩個幾何參數(shù):

連桿長度an和扭角αn。第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

描述相鄰桿件n與n-1的關(guān)系參數(shù)的兩個參數(shù)：

連桿距離dn和連桿轉(zhuǎn)角θn圖2-11連桿的關(guān)系參數(shù)

第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

這樣,每個連桿可以由四個參數(shù)來描述,其中兩個是連桿尺寸,兩個表示連桿與相鄰連桿的連接關(guān)系。確定連桿的運(yùn)動類型,同時根據(jù)關(guān)節(jié)變量即可設(shè)計關(guān)節(jié)運(yùn)動副,從而進(jìn)行整個機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計。已知各個關(guān)節(jié)變量的值,便可從基座固定坐標(biāo)系通過連桿坐標(biāo)系的傳遞,推導(dǎo)出手部坐標(biāo)系的位姿形態(tài)。第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

建立連桿n坐標(biāo)系(簡稱n系)的規(guī)則如下:①連桿n坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于n+1關(guān)節(jié)軸線上,是關(guān)節(jié)n+1的關(guān)節(jié)軸線與n和n+1關(guān)節(jié)軸線公垂線的交點(diǎn)。2、連桿坐標(biāo)系的建立②Z軸與n+1關(guān)節(jié)軸線重合。③X軸與公垂線重合;從n指向n+1關(guān)節(jié)。④Y軸按右手螺旋法則確定。第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)表2.1連桿參數(shù)及坐標(biāo)系

連桿的參數(shù)名稱含義“±”號性質(zhì)θn轉(zhuǎn)角連桿n繞關(guān)節(jié)n的Zn-1軸的轉(zhuǎn)角右手法則轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)為變量移動關(guān)節(jié)為常量dn距離連桿n沿關(guān)節(jié)n的Zn-1軸的位移沿Zn-1正向為+轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)為常量移動關(guān)節(jié)為變量an長度沿Xn方向上，連桿n的長度，尺寸參數(shù)與Xn正向一致常量αn扭角連桿n兩關(guān)節(jié)軸線之間的扭角，尺寸參數(shù)右手法則常量連桿n的坐標(biāo)系OnZnXnYn原點(diǎn)On軸Zn軸Xn軸Yn位于關(guān)節(jié)n+1軸線與連桿n兩關(guān)節(jié)軸線的公垂線的交點(diǎn)處與關(guān)節(jié)n+1軸線重合沿連桿n兩關(guān)節(jié)軸線之公垂線，并指向n+1關(guān)節(jié)按右手法則確定第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)二、連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣

各連桿坐標(biāo)系建立后,n-1系與n系間變換關(guān)系可用坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。從n-1系到n系的變換步驟如下:該變換過程用一個總的變換矩陣An來表示連桿n的齊次變換矩陣:(1)令n-1系繞Zn-1軸旋轉(zhuǎn)θn角,使Xn-1與Xn平行,算子為Rot(z,θn)。(2)沿Zn-1軸平移dn,使Xn-1與Xn重合,算子為Trans(0,0,dn)。(3)沿Xn軸平移an,使兩個坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,算子為Trans(an,0,0)。(4)繞Xn軸旋轉(zhuǎn)αn角,使得n-1系與n系重合,算子為Rot(x,αn)。

第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

實際中,多數(shù)機(jī)器人連桿參數(shù)取特殊值,如αn=0或dn=0,可以使計算簡單且控制方便。

第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)§2.4工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程一.機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程A變換矩陣(A矩陣):描述一個連桿坐標(biāo)系與下一個連桿坐標(biāo)系間相對關(guān)系的齊次變換矩陣。T6=A1A2A3A4A5A6

(2.23)

（六連桿）機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程：第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析該矩陣:前三列表示手部的姿態(tài);第四列表示手部中心點(diǎn)的位置?？蓪懗扇缦滦问?(2.24)第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)二.正向運(yùn)動學(xué)及實例

1、平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程如圖2-12所示,SCARA裝配機(jī)器人。

圖2-12SCARA裝配機(jī)器人的坐標(biāo)系

第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)表2.2SCARA裝配機(jī)器人連桿參數(shù)

連桿轉(zhuǎn)角（變量）θ兩連桿間距離d連桿長度a連桿扭角α連桿1θ1d1=0a1=l1=100α1=0連桿2θ2d2=0a2=l2=100α2=0連桿3θ3d3=0a3=l3=20α3=0該機(jī)器人的參數(shù)如表2.2所示。第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)該平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程為

T3=A1A2A3

(2.25)

T3為手部坐標(biāo)系(即手部)的位姿。由于其可寫成(4×4)的矩陣形式,即可得向量p、n、o、a,把θ1、θ2、θ3代入可得。

(2.26)(2.27)(2.28)第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)當(dāng)轉(zhuǎn)角變量分別為θ1=30°,θ2=-60°,θ3=-30°時，則可根據(jù)平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程求解出運(yùn)動學(xué)正解,即手部的位姿矩陣表達(dá)式

(2.29)

第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)2、斯坦福機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程圖2-13斯坦福(STANFORD)機(jī)器人坐標(biāo)系第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)表2.3斯坦福機(jī)器人連桿參數(shù)

桿號關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ兩連桿間距離d連桿長度a連桿扭角α連桿1θ100-90°連桿2θ2d2090°連桿30d300°連桿4θ400-90°連桿5θ50090°連桿6θ6H00°第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)圖3.14斯坦福（STANFORD）機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系齊次變換矩陣Ai:第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)所以：斯坦福機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程：第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)三、反向運(yùn)動學(xué)及實例

反向運(yùn)動學(xué)解決的問題是:已知手部的位姿,求各個關(guān)節(jié)的變量。T6=A1A2A3A4A5A6

(2.30)

如圖2-13所示,以6自由度斯坦福(STANFORD)機(jī)器人為例,其連桿坐標(biāo)系如圖2-13所示,設(shè)坐標(biāo)系{6}與坐標(biāo)系{5}原點(diǎn)重合,其運(yùn)動學(xué)方程為:第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

第2章工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)圖2-13斯坦福(STANFORD)機(jī)器人圖3.14斯坦福（STANFORD）機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系現(xiàn)在