第七章 IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

第7章

無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法主要內(nèi)容掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法7.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟

數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的4個(gè)步驟:

(1)按任務(wù)的需要，確定濾波器性能指標(biāo)；

(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求，有IIR和FIR兩種；

(3)用有限精度算法實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)（包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（第5章）、選擇合適的字長等）；（4）實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)；可以采用通用計(jì)算機(jī)軟件，也可以采用DSP。7.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的頻率響應(yīng)：

為幅頻特性：表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況

：通帶截止頻率

：阻帶截止頻率

：通帶容限（波紋）

：阻帶容限（波紋）阻帶：過渡帶：通帶：1.低通濾波器幅度響應(yīng)的容限圖通帶最大衰減：（dB）阻帶最小衰減：(dB)其中：當(dāng)時(shí)，稱為3dB通帶截止頻率3.表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特性的三個(gè)參量幅度平方響應(yīng)

的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱的H(z)的極點(diǎn)：單位圓內(nèi)的極點(diǎn)相位響應(yīng)相位響應(yīng)：群延遲響應(yīng)相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器7.5模擬原型低通濾波器設(shè)計(jì)將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃思Butterworth濾波器切貝雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器模擬濾波器設(shè)計(jì)步驟：2）選定濾波器類型（巴特沃思、切貝雪夫、橢圓）；3）計(jì)算濾波器所需階次N；4）查表或計(jì)算確定歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Han(s)；

1）給定濾波器技術(shù)指標(biāo)：5）將Han(s)轉(zhuǎn)換為所需類型的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

。由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸Ha(s)將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點(diǎn)分布由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的s平面函數(shù)對(duì)比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)分布，得系統(tǒng)函數(shù)例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K07.5.2模擬巴特沃思低通濾波器1.幅度平方函數(shù)：當(dāng)稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N

為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率2.幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性

通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小

過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當(dāng)W＝Wst（阻帶截止頻率）時(shí)，衰減的d2為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：（1）3.濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)

極點(diǎn)間的角度間隔為

極點(diǎn)不落在虛軸上N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無極點(diǎn)Ha(s)Ha(-s)的零極點(diǎn)分布(a)N=3(三階）(b)N=4（四階）

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)（見前頁圖），它們分別為：（下頁）(2)Ha(s)的極點(diǎn)其中分子系數(shù)由Ha(0)=1解得。取s平面左半平面的極點(diǎn)s1,s2,s3組成Ha(s)：系統(tǒng)函數(shù)為：極點(diǎn)為：當(dāng)N為偶數(shù)，Ha(s)的極點(diǎn)（左半平面）皆成共軛對(duì)，記為：這一對(duì)共軛點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二階子系統(tǒng)：（7.5.9）當(dāng)N為奇數(shù)，則系統(tǒng)由一個(gè)一階系統(tǒng)（極點(diǎn)s=-1）和(N-1)/2個(gè)二階系統(tǒng)組成：整個(gè)系統(tǒng)由N/2（N為偶數(shù)）個(gè)此二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成：N為偶數(shù)（7.5.10）N為奇數(shù)（7.5.11）這時(shí)得到的是歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得為了便于對(duì)各種類型及各種截止頻率濾波器的設(shè)計(jì)，濾波器設(shè)計(jì)手冊(cè)中，都是將低通濾波器的截止頻率歸一化為1，即4.濾波器的設(shè)計(jì)步驟：(P355-356)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：

或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標(biāo)Wc給出或由下式求出：

其中極點(diǎn)：去歸一化阻帶指標(biāo)有富?；蛲◣е笜?biāo)有富裕例：試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通巴特沃思濾波器，要求通帶截止頻率Ωc=2π×4000rad/s，通帶最大衰減Rp=3dB，阻帶下限截止頻率Ωst=2π×8000rad/s，阻帶最小衰減As=20dB.解：（1）求階數(shù)N：聯(lián)立求解，得：因此，可取N=4；（2）求極點(diǎn)：由式：（3）求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：實(shí)際上，求出N=4時(shí)，可以直接查表（表7-2，P370），得到歸一化的（Ωc=1）4階巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，然后再用s/Ωc代替其中的s即可得到同樣的結(jié)果。7.5.3模擬切貝雪夫低通濾波器N：濾波器的階數(shù)Wc

：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項(xiàng)式TypeIChebyshev1.幅度平方響應(yīng)：N為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

通帶外：迅速單調(diào)下降趨向02.幅度函數(shù)特點(diǎn)：3.系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：P359-其中：4.Chebyshev1濾波器的設(shè)計(jì)步驟Wc

：通帶截止頻率，給定

e

：表征通帶內(nèi)波紋大小由通帶衰減決定(1)求

：N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)，N的數(shù)值可由阻帶衰減確定。若Wst為阻帶截止頻率，則：（2）求N：誤差的分貝數(shù)為As：進(jìn)而可求得A值為：從而：由此得：阻帶衰減越大（即A越大），所需階數(shù)越高注意到：因此：結(jié)合前式：注意：比較濾波器計(jì)算階數(shù)N的公式：

Butterworth：

Chebyshev

I：（3）求濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：已知N，Ωc，ε，故可求出Ha(s)。一種方法是直接查表（表7-5），得到歸一化的的系統(tǒng)函數(shù)，然后再求出Ha(s)；另一方法為直接求解，先求出Ha(s)的極點(diǎn)分布，再求出Ha(s)，（參見：前面PPT或P359-）TypeIIChebyshevfilter通帶內(nèi)：單調(diào)特性阻帶內(nèi)：等波紋起伏7.5.4橢圓濾波器(Ellipticfilter)P365

帶內(nèi)均勻波動(dòng)最快的滾降7.5.5貝塞爾低通濾波器

P367

不作要求7.5.6四類模擬濾波器的比較P3681）幅度特性：巴特沃思濾波器在全頻段具有單調(diào)下降的幅度特性；切貝雪夫I型在通帶中呈等波紋形，在阻帶中是單調(diào)下降的；切貝雪夫II型在通帶中是單調(diào)下降的，在阻帶中呈等波紋形；橢圓濾波器在通帶、阻帶都呈等波紋形。2）過渡帶寬：當(dāng)N、通帶最大衰減Rp(dB)、阻帶最小衰減As(dB)、通帶和阻帶截止頻率（、）相同時(shí)，巴特沃思濾波器過渡帶寬最寬；切貝雪夫I型、II型次之；橢圓濾波器最窄。3）階次N比較：若濾波器具有相同的幅度特性指標(biāo)，則所需階次N：巴特沃思濾波器最大；切貝雪夫其次；橢圓濾波器最小。7.5.6四類模擬濾波器的比較5）相位特性：巴特沃思濾波器較好，在部分通帶中有線性相位；切貝雪夫次之；橢圓濾波器最差。例：7.1,7.2P368-4）對(duì)參數(shù)量化的靈敏度比較：量化靈敏度巴特沃思濾波器最低（最好）；切貝雪夫較高；橢圓濾波器最高（最差）。7.5.7模擬域頻帶變換法設(shè)計(jì)各種頻率響應(yīng)的模擬濾波器歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻帶變換變換要求：1）變換函數(shù)G(s)是有理函數(shù)；2）變換前后，濾波器必須是穩(wěn)定的；3）必須是純虛數(shù)。1.模擬低通—>模擬低通 將截止頻率的低通濾波器變換成為截止頻率為的低通濾波器；當(dāng)通帶截止頻率時(shí)，相當(dāng)于去歸一化。Or參見圖7.132.模擬低通—>模擬高通變換關(guān)系：Or參見圖7.143.模擬低通—>模擬帶通變換關(guān)系：or參見圖7.15B為通帶帶寬4.模擬低通—>模擬帶阻變換關(guān)系：or參見圖7.16B為阻帶帶寬例：7.37.4P382設(shè)計(jì)舉例將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法7.6間接法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方案按模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法7.7模擬濾波器數(shù)字化為數(shù)字濾波器的映射方法設(shè)計(jì)思想： s平面z平面

模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)， 即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1映射方法：-沖激響應(yīng)不變法-雙線性變換法7.7沖激響應(yīng)不變法1.變換思路數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)

模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)T—抽樣周期2.變換過程當(dāng)T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：3.s平面與z平面的映射關(guān)系系數(shù)相同：極點(diǎn)：s平面z平面穩(wěn)定性不變：S域穩(wěn)定，即極點(diǎn)位于s平面左半平面，故在s平面：

z平面4.Ha(s)與H(z)之間的關(guān)系從頻率響應(yīng)來看：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為2p/T只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真6.混疊失真現(xiàn)象試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：保持線性關(guān)系：w=WT

線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混疊 只適用于限帶的低通、帶通濾波器只適用于并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即系統(tǒng)函數(shù)必須先展開成部分分式h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t)時(shí)域逼近良好9.沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)7.8階躍響應(yīng)不變法自學(xué)P3887.9雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近，缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真為了克服這一缺點(diǎn)，采用雙線性變換法。使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似1.基本思路沖激響應(yīng)不變法的映射是多值映射,導(dǎo)致頻率響應(yīng)交疊。改進(jìn)思路：先將s域平面壓縮到一個(gè)中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。2.變換過程、變換關(guān)系式為使模擬濾波器與數(shù)字濾波器的某一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入常數(shù)c例如，零頻率附近有確切對(duì)應(yīng)關(guān)系：3.逼近情況：映射需滿足兩個(gè)基本條件（1） s平面虛軸z平面單位圓（2）左半平面單位圓內(nèi) s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上4.非線性頻率變換關(guān)系5.避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象，可設(shè)計(jì)各型濾波器s平面與z平面為單值變換除了零頻率附近，W與w之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變6.局限性9.預(yù)畸變

給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)11.Ha(s)H(z)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻帶變換雙線性變換7.10先做模擬頻帶變換再數(shù)字化將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器將相應(yīng)頻帶的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法利用模擬頻帶變換關(guān)系，將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成相應(yīng)頻帶的模擬濾波器利用表7.8模擬頻帶變換關(guān)系，將模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)例7.5：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。(一)沖激響應(yīng)不變法（1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：（2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T=1sa）確定參數(shù)

用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真（3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化（4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的Butterworth濾波器（二）雙線性變換法（1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：（2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù)

用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無混迭問題（3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化（4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：例7.6：用雙線性變換法設(shè)計(jì)Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。(1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：(2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù)(3）設(shè)計(jì)Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點(diǎn)c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：(4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：設(shè)計(jì)的四階Chebyshev濾波器例7.7：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3π

rad到0.4π

rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用Butterworth模擬低通濾