小學奧數 數論 余數問題 余數性質(一).題庫版

5-5-3.性（教學目學習余數的三大定理及綜合運用理解棄9法并運用其解題知識點一、三大余數定理：1.余數的加法定理b的除以c的數，等于ab分除以c的數之和，或這個和除以c的數例如：，16以的數分別是3和，所以＝39除以5余數等于，即兩個余數的和3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以的數。例如：，19除余數分別是3和4，所以＝42除的余數等于3+4=7除5余數為22.余數的加法定理b的除以c的數，等于ab分除以c的數之差。例如：，16除余數分別是3和1，所以23＝7除5余數等于，個余數差3－1＝2.當余數的差不夠減時時，補上除數再減。例如：，14除余數分別是3和4，23＝以的余數等于4，兩個余數差為35－4＝3.余數的乘法定理b的積除以c的數，等于b別除以c的余數的積，或者這個積除以所的余數例如：，16除余數分別是3和1，所以23×16除以5的數等于＝。當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之積再除以的余。例如：，19除余數分別是3和4，所以23×19除以5的數等于除5的數，即2.乘方：如果a與以余數相同，那a與b除m的數也相同．二、棄九法原理在公元前9世，有個印度數學家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術計時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結果丟失而經常檢驗加法運算是否正確，他們檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算11898178902除以余數為1除以余數為8除以余數為5-5-3.余數性質（一）題庫

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pageof除以9的數為除以9的數為這些余數的和除以的余數為2而等式右邊和除以的余數為，那么上面這個算式定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數的加法定理，即如果這個等式是正確的，那左邊幾個加數除以9的數的和再除以余數一定與等式右邊和除以的余數相同。而我們在求一個自然數除以所的余數時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數的各個位數字之和除以9的數可以了，在算的時候往往就是一個一的并且劃去，所以這種方法被稱作棄九”所以我們總結出棄九法原理：任何一個整數模余于它的各數位上數字之和。以后我們求一個整數被9除余數，只要先計這個整數各數位上數字之和，再求這個和被9除余數即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時等式兩邊的除以的數都是，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式兩端一定滿棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式謎問題。例題精模塊一、余數的加減法定理【1】幼園老給里小友來40只子，200塊干塊奶。均發(fā)畢還4只子20塊干粒糖這里有位朋?！究键c】余數的加減法定理【度】1星【型】填空【關鍵詞】，第3屆走美杯，4年，決賽，第3題8分【解析40-4=36，200-20=180，120-12=108小朋友的人數應是36，180，的大于20的公約數，只有36【答案【2】在，，，2003中，其幾數和除余7，將幾數為組這樣數共組．【考點】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】2004年，少年數學智力冬令營【解析1995，，，2001除9的數依次是6，，2，3．因為2，2，所以這樣的數組共有下面4個：,

，2000,2003,2001,19951998,2000,2003,2001,1995【答案】4【3】號分為101,126,173,193的個動進乒球賽規(guī)定兩比的數他號的和被3除得余.那么球盤最的動打多盤5-5-3.余數性質（一）題庫

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pageof【考點】余數的加減法定理【度星【型】解答【解析本題可以體現出加法余數定理的巧用。計算，126，193除余數分別為，，2。那么任意兩名運動員的比賽盤數只需要用，1兩相加除以可。顯然運動員打5盤是最多的?！敬鸢浮?】有個數用去，，160所得的3個數和，么個數是_．【考點】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】2005年，小學數學奧林匹克【解析】50290，50162，數應當是290的于小70的數，只可能是和58152，50，以除數不是587011029，29515，以除數是29【答案】29【固用自數n去除，91，129得到的個數和25，那n．【考點】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】2002年，小學數學奧林匹克【解析】整除63258因為25，以是258大8約數．顯然不能大于63符合條件的只有【答案】43【5】如＝！，＝2＝！…＝100那1！+2！+……+100！的位字多？【考點】余數的加減法定理【度星【型】解答【解析從！開始個位數字都是了因此只需要計算前個數1+2！+4=1+2+6+24=33所末位數字一定是3【答案【6】六小生別著元17元、18元、元、元37元，起新書購《成大詞．看價發(fā)有個帶錢夠但是中、、3人錢在一恰可本丁戊2人錢在一恰可1本．種成大典的價元．【考點】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】2002年，小數報【解析六名小學生共帶錢133元除以1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰能3本，所以他們五人帶的錢數是倍數，另一人帶的錢除以3余．知，這個錢數只能是元，所以每本《成語大詞典》的定價(1426)32元．【答案【固商里六貨，別15，1819，31千，個客走其的箱已一顧買貨重是一顧的倍那商剩的箱物量_______千．【考點】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】2000年，小學數學奧林匹克【解析兩個顧客買的貨物重量的數．(139...2，下的一5-5-3.余數性質（一）題庫

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pageof貨物重量除以3應當余，只能是20千克．【答案】【固六卡上別上1193、1258、、、六個，取3張，取張丙1張結發(fā)甲乙自中片的之一人另—個的倍，丙中片的是．第五屆小報學賽賽)【考點】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】1997年，小學數學奧林匹克【解析根據甲乙二人各自手中卡片上的數之和一個人是另一個人的2倍可知，甲、乙手中五張卡片上的數之和應是3的倍數．計算這六個數的總和11931842186610565，除以；因為甲、乙二人手中五張卡片上的數之和是倍數，那么丙手中的卡片上的數除以3余．六個數中只有除以余2，故丙手中卡片上的數為1193．【答案【7】從1，，3，4，，中N個不同數取的中意個和被整．N最為多？【考點】余數的加減法定理【度星【型】解答【關鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽，六年，第8題【解析取出的N個同的數中，任意三個和能被15整，則其中任意兩個數除以的數相同，且這個余數的3倍被15整除，所以這個余數只能是0或．1中除以15的余數為的1，15，共33；除以15的余數為的1，15，，15，有134個除的數為的5，…15，有個．所以N最大為134【答案【8】一家，父母兄妹人他任三的數和是3的數，人歲都一質，人數和100，父歲最，：親多少?【考點】余數的加減法定理【度星【型】解答【關鍵詞】2005年，香港圣公會，小學數學奧林匹【析從任意三人歲數之和是3的數，100除以余1，就知四個歲數都k型數，又是質數．只有，13，，31，37，，就容易看：父43歲母37歲兄13歲，妹．【答案【9】有所校高校B校多10人，校C校多人三共高生人有所校中數高人的2倍有所校中數高人的1.5倍還一學高、中數等三學總數人那?？倲等恕究键c】余數的加減法定理【度星【型】填空【關鍵詞】2002年，香港圣公會，小學數學奧林匹【解析三所學校的高中生分別是：校742人732，校人．如果校或校初中人數是高中人數的1.5倍該?？側藬凳瞧鏀担凑战o出條件得出其他兩?？側藬刀际桥紨担c三校人數5480是數矛盾，因此只能是校初中人數是高中人數的1.5倍三校初中的總人數是54802196余2被整除被除被除余1數看，斷定初中人數是高中人數的能是校以校人數是7425-5-3.余數性質（一）題庫

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pageof(人)．【答案模塊二、余數的乘法定理【10求2461的余．【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析因為，6047549...8，據同余定理三)，的余數等8的數，而8，17...5，所以的余數為5．【答案【固求296351除17的數【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【關鍵詞】華杯賽【解析】先出積再求余數，計算量較大．可先分別計算出各因數除的余數，再求余數之積除以17的數．478,296,351除以17的余數分別為，，(291．【答案【固求3091993被除余．【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析方法一：先將437算出以后，即3091993269120769．求得此數被除的余數為．方法二：因473除的數為，309除7的數為，由同的可乘”知以7余數為除7的數為所437309以的余數等除以余數，算4371993被除的余數為．方法三：利用余數判別⑹，算出，數節(jié)的數之和與偶數節(jié)的之和的差即26除以7的數為，437被7除余數為．【答案【11求478除以的數【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【析，2，4782569除9的余等于1．【答案】【12一數除，余是3，該的3倍除余是?！究键c】余數的乘法定理【度】

星【型】填空【關鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，五年級，初，第3題，5分【解析余數是3×3÷7的數，為【答案】5-5-3.余數性質（一）題庫

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pageof222222221266128989892222222212661289898989896【13在表第行，好上89這十數使得一列下個數乘除所的余都3．【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】填空【解析】因兩數的乘積除以的余數，于兩個數分別除以11的數之積．因此原題中89可以改換110這樣上下兩數的乘積除以余就易計算了．我們得到下面的結果：進而得到本題的答案是：【答案】【14

2

2001

2002除的數多？【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【關鍵詞】2007年，實驗中學【解析由1

2002

200220034005

10012003，而1001是7的數，所以這個乘積也是的數，20012002除余數是0【答案】【15求6443的數【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析本題為余數乘法定理的拓展模式，即數字的乘方與一個數相除的余數情況。由6443÷19余2，求原式的余數只要求的余數即可。但是如果用2÷19發(fā)會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數比除數小了，所以可以進行適當的調整，2264余為7，那么求

的余數就轉化為的數，即49÷19的余數。余為11，所以原式【答案

的余數為11.【固求43

除7的余．【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析法一43

(143被余3)143

7

(

被7所得余數與3

被所得余數相等而6，729除以的數為所314個5-5-3.余數性質（一）題庫

643除7的數為教師版

pageof13567406406406404410121016310006135674064064064044101210163100063法二：計算

被7所得的余數可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表：

2

4

mod7

64

1

于是余數以為周期變化．所37【答案5【固求3

寫十制時個數【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析要想把

具體數字算出來顯然是不可能的，由于題目可以轉化為求

除以10的數．看到題目里面有個很大的乘方，我們想到利“同余的乘方”可先確定n使3除10的數為．通過嘗試可知，最小的n．因）除以的余數等除以的數即13除的數為，所以3除以的余數，即寫十進制數時的個位數為．【答案9【固2009個009

的位字．【考點】余數的乘法定理【難度星【型】填空【關鍵詞】2010年，迎春杯，五年,初賽，第4題【解析易知２００９的個位數字是９2009的個位數字是１，的位數字是９2009的位數字是１，兩個為一周期，2009的個位數字是【答案【固2007×2007×…×2007（2008個2007）個位字。【考點】余數的乘法定理【難度3【型】填空【關鍵詞】，第五屆，走美杯，初賽，六年級，第1題【解析】可看2007乘方其尾數是79、3、四數字循環(huán)的2008個2007相乘，其尾數為1.【答案【16今是期，

天后是期？【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析先求較小的，10

除以7余數為1．除以7余

除以余2

除以余310

除以除以7的數等于36除7的余數等于1所以除的數等于10除7余數等于4，10天后，應是星期一．【答案】星期一【17求的最兩數【考點】余數的乘法定理【難度】【題型】解答【解析即考慮除的數．由100，于27除以25余，所除以25余8

除以25余24么

除以25余1又