第11講-一般索羅模型

第11講技術(shù)進(jìn)步和增長(zhǎng)：一般的索羅模型宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)一般的索羅模型回到封閉經(jīng)濟(jì).在基本的索羅模型中:在穩(wěn)態(tài)，人均GDP沒有增長(zhǎng).這和西方世界的現(xiàn)實(shí)相違背.在一般的索羅模型中:全要素生產(chǎn)率,,假定以固定的、外生速率增長(zhǎng)(唯一的變化).這意味著存在平衡增長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)，同時(shí)人均GDP以一個(gè)正的常數(shù)增長(zhǎng)率增長(zhǎng)。在這個(gè)模型中，人均GDP長(zhǎng)期增長(zhǎng)的源泉是外生技術(shù)進(jìn)步.不是很深刻，但是:在穩(wěn)態(tài)時(shí)候產(chǎn)生平衡增長(zhǎng)，并不是一個(gè)顯然的結(jié)果,因?yàn)槟Ｐ头狭藢?shí)證規(guī)律，所以保證了應(yīng)用.我們的關(guān)注點(diǎn)仍然是:什么創(chuàng)造了經(jīng)濟(jì)進(jìn)步和繁榮…索羅模型的微觀世界…和基本索羅模型的微觀世界相同,例如:同樣的對(duì)象

(一個(gè)封閉經(jīng)濟(jì)).同樣的商品和市場(chǎng).同樣,市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)的，實(shí)際價(jià)格分別為1,和.只有一種產(chǎn)出(單部門模型).同樣的參與人:消費(fèi)者和廠商(還有政府),其微觀行為也是一樣的:一個(gè)利潤(rùn)最大化的代表性企業(yè)決定

和，給定

和.一點(diǎn)差別:生產(chǎn)函數(shù).現(xiàn)在存在技術(shù)進(jìn)步的可能性:

序列是外生的，對(duì)于所有的，都有.特使情況是(基本索羅模型).具有技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)

給定技術(shù)進(jìn)步的序列,

伴隨著給定的序列,在柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中，我們將技術(shù)進(jìn)步描述為一個(gè)序列，

，代表TFP或者是對(duì)應(yīng)的序列,,代表勞動(dòng)調(diào)整的生產(chǎn)率是沒有差別的.在我們的例子中，后者更方便.外生序列,,如下所示:技術(shù)進(jìn)步來自”天上掉餡餅”(不需要生產(chǎn)投入).回憶定義:和.

兩邊同時(shí)除以得到人均生產(chǎn)函數(shù):這意味著:

的增長(zhǎng)來自于兩個(gè)源泉，是和的加權(quán)平均值，權(quán)重為和。

如果,類似于平衡增長(zhǎng),是常數(shù),那么!完整索羅模型參數(shù):.令.狀態(tài)變量:和.完整模型?是的,給定和模型決定了序列：注意:

也就是:資本份額,勞動(dòng)份額,凈利潤(rùn).我們的就應(yīng)該大約還是.

另外:定義”有效勞動(dòng)投入”為:

這個(gè)模型在數(shù)學(xué)上等價(jià)于基本索羅模型，其中

代替了,同時(shí)，代替了,此時(shí)!

我們可以在理論上完全采用基本索羅模型的分析,但是我們不會(huì)…分析一般索羅模型如果如果模型意味著收斂到平衡增長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài),那么在穩(wěn)態(tài)，變量和的增長(zhǎng)率必須相同(再次回憶在平衡增長(zhǎng)時(shí)是常數(shù)).回憶:

因此，如果,那么.如果存在向平衡增長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)的收斂,那么在穩(wěn)態(tài)和增長(zhǎng)率相同，為

，因此和將是常數(shù).進(jìn)一步:從上述提到的與基本索羅模型的等價(jià)性,和 收斂到常數(shù)穩(wěn)態(tài)值.上面的每一個(gè)觀察都提示如何分析這個(gè)模型，可以根據(jù):

和從我們得到從 和我們得到

兩邊除以得到

代入得到轉(zhuǎn)移方程:兩邊減去

，得到索羅方程:收斂向穩(wěn)態(tài):

轉(zhuǎn)移圖轉(zhuǎn)移方程是:這是遞增的，通過(0,0).在任意一個(gè)的斜率為:可以看到:.進(jìn)而, .我們假設(shè)后面這個(gè)穩(wěn)定條件可以滿足.轉(zhuǎn)移方程如圖所示:

向點(diǎn)的收斂如圖所示.相應(yīng)地: .

一些初步的結(jié)論:在長(zhǎng)期中,和收斂到常數(shù),分別是和.這些水平值定義了穩(wěn)態(tài).在穩(wěn)態(tài),和共同的增長(zhǎng)率為,也就是,速率為，同時(shí)資本產(chǎn)出比

一定是常數(shù).穩(wěn)態(tài)索羅方程

伴隨著得到:利用和我們得到穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)路徑:因?yàn)?利用得到

在穩(wěn)態(tài)存在平衡增長(zhǎng):和以常數(shù)增長(zhǎng)率增長(zhǎng),,此時(shí)，是常數(shù).在穩(wěn)態(tài)，人均GDP存在正增長(zhǎng)

(如果). 穩(wěn)態(tài)的結(jié)構(gòu)政策穩(wěn)態(tài)的人均產(chǎn)出和消費(fèi)為:黃金規(guī)則:,最大化路徑,.

再次為:.

對(duì)于

和的彈性再次分別是

和.穩(wěn)態(tài)的政策含義與基本索羅模型一樣:鼓勵(lì)儲(chǔ)蓄和控制人口增長(zhǎng).不過

我們有一個(gè)新參數(shù),(對(duì)應(yīng)著).我們想要大的,但是在我們的模型中難以推導(dǎo)政策技術(shù)進(jìn)步的政策含義(是外生的).穩(wěn)態(tài)的實(shí)證假設(shè)所有國(guó)家在2000處于穩(wěn)態(tài)!很難獲得的高質(zhì)量數(shù)據(jù),為了簡(jiǎn)單，假設(shè)

對(duì)于2000年所有國(guó)家都是相同的.設(shè)定(合理地)如果是國(guó)家i在2000年的人均GDP,上面的理論方程提示了下面的回歸方程:

其中和利用1960-2000的平均值，

此時(shí)AnOLSestimationacross86countriesgives:很高的顯著度!巨大的R2!即使我們假設(shè)在所有國(guó)家都是相同的!但是永遠(yuǎn)記住相關(guān)vs.因果.進(jìn)一步:的估計(jì)值不符合理論值.或者:結(jié)論并不清晰:回歸曲線令人印象深刻,但是比模型建議的更陡峭.接下來索羅圖的比較分析.收斂過程.增長(zhǎng)核算.索羅圖修正索羅圖索羅圖的比較分析最初經(jīng)濟(jì)位于穩(wěn)態(tài)，參數(shù)值為和.儲(chǔ)蓄率永久性增加，從到.舊穩(wěn)態(tài):和,同時(shí)和的增長(zhǎng)率都是,下面的一條線:新穩(wěn)態(tài):和,同時(shí)和的增長(zhǎng)率都是,但是沿著一條更高的增長(zhǎng)路徑,上面的那條線.轉(zhuǎn)移:

從增長(zhǎng)到.增長(zhǎng)率跳躍，然后逐漸回歸到零.根據(jù)得到.因此,在轉(zhuǎn)移中,的增長(zhǎng)率大于,同時(shí)向上跳躍，然后逐漸回歸到.增長(zhǎng)率也跳躍,因?yàn)?索羅模型中的收斂修正的索羅圖:

這符合條件收斂:兩個(gè)國(guó)家有相同的參數(shù)…收斂過程的實(shí)證模型對(duì)于收斂過程告訴了我們什么,即，一個(gè)國(guó)家的增長(zhǎng)如何依賴結(jié)構(gòu)參數(shù)和最初的位置?利用轉(zhuǎn)移方程,

我們推導(dǎo)出來增長(zhǎng)率的公式.為了做到這點(diǎn)，我們?cè)诜€(wěn)態(tài)附近線性化。將對(duì)于微分，代入穩(wěn)態(tài)點(diǎn)

很容易看到 .數(shù)學(xué)注釋:考慮一個(gè)可微函數(shù), 通過點(diǎn),因此.那么:

如果進(jìn)一步,那么:

將(1)運(yùn)用于

，在，得到這是索羅模型動(dòng)態(tài)過程的近似,同時(shí)這是一個(gè)線性方程!線性差分方程意味著的穩(wěn)定性，因?yàn)?再次利用,此時(shí)對(duì)于:

利用這個(gè)方程重寫:

利用如下形式我們有:

收斂性質(zhì):在每一期,剩余缺口的常數(shù)比例得到彌補(bǔ).收斂速度為我們現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)差分方程的解:

特征多項(xiàng)式是特征根是 .齊次方程的通解是: .非其次方程的一個(gè)特解是:,意味著完整的解形式為: 對(duì)于常數(shù)滿足初始條件:.因此解為:利用這個(gè)解，對(duì)于.得到:

將代入和的表達(dá)式，獲得收斂方程:

重寫一下:假設(shè)和在所有國(guó)家都很小,這意味著如下回歸方程:

1960-2000年90個(gè)國(guó)家的OLS估計(jì)為:

對(duì)畫圖得到好的方面:顯著的參數(shù),相對(duì)高的R2

等.這沒有和所有國(guó)家具有相同的和有本質(zhì)矛盾.但是:我們有兩個(gè)估計(jì)的收斂速度:理論:實(shí)證:

結(jié)合的估計(jì)值和，意味著

模型嚴(yán)重高估了收斂速度!與實(shí)證對(duì)比,索羅模型相當(dāng)不錯(cuò),這適用于其穩(wěn)態(tài)和收斂方面的預(yù)測(cè).不過,在所有方面都存在著實(shí)證數(shù)量方面的問題.可以做得更好,不過已經(jīng)是一個(gè)不錯(cuò)的模型了.增長(zhǎng)核算給定數(shù)據(jù)和(一般來說是可得的)，結(jié)合，我們可以將計(jì)算為殘差。我們稱之為索羅剩余.

為什么增長(zhǎng)核算不是用水平值?人均資本核算(工人)給