第10章平面圖形的幾何性質(zhì)

AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas截面的幾何性質(zhì)

——反映平面圖形的形狀與尺寸的幾何量如：本章介紹：

平面圖形幾何性質(zhì)的定義、計算方法和性質(zhì)在軸向拉（壓）中：§10.1靜矩與形心一、靜矩整個圖形A對x軸的靜矩：整個圖形A對y軸的靜矩：ydA——微面積dA對x軸的靜矩xdA——微面積dA對y軸的靜矩定義：（面積矩）其值：+、-、0

單位：m3二.形心坐標由理論力學(xué)中,均質(zhì)薄板求質(zhì)心的公式即由此得出性質(zhì)1若某軸過形心，則圖形對該軸靜矩為零.反之,圖形對某軸靜矩為零，則該軸必過形心.[例]求三角形ABC對底邊BC的靜矩解:bhABCOyxy積分得：三、組合圖形的靜矩和形心

組合圖形——由幾個簡單圖形（如矩形、圓形等）組成的平面圖形如：1.靜矩2.形心例

確定形心坐標解：

取參考坐標系xy§10.2

慣性矩慣性積慣性半徑一、慣性矩與慣性積整個圖形A對x軸的慣性矩整個圖形A對y軸的慣性矩y2dA——微面積dA對x軸的慣性矩x2dA——微面積dA對y軸的慣性矩定義：其值：+

單位：m41.慣性矩2.極慣性矩即：

平面圖形對任意一點的極慣性矩等于該圖形對通過該點的任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和

性質(zhì)2若x、y軸為一對正交坐標軸整個圖形A對x軸和y軸的慣性積定義：xydA——微面積dA對x軸和y軸的慣性積

的坐標軸其值：+、-、0

單位：m4假設(shè)：

x軸和y軸為一對相互垂直3.慣性積二.慣性積的性質(zhì)當x、y軸中有一軸為對稱軸

在一對正交軸中，只要有一個對稱軸，則該圖形對這對軸的慣性積為零。

性質(zhì)3：(1).矩形截面三.常用圖形的慣性矩：(2).圓形截面Odrrd由對稱性(3).環(huán)形截面

慣性矩——對某一軸而言

極慣性矩——對某一點而言特別指出：

慣性積——對某一對正交軸而言——圖形對x軸的慣性半徑

單位：m四、慣性半徑

在力學(xué)計算中，有時把慣性矩寫成即：——圖形對y軸的慣性半徑§10.3

平行軸定理定理推導(dǎo)即：ab顯然：性質(zhì)4：在平面圖形對所有相互平行的坐標軸的慣性矩

中，以對形心軸的慣性矩為最小。同理慣性矩和慣性積的平行軸定理解：例求和xcCcyc157.5a1a2xC1xC2§10.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)規(guī)定：角逆時針轉(zhuǎn)向為+兩組坐標系之間的關(guān)系：代入x1y1x11y顯然顯然性質(zhì)5：平面圖形對通過一點的任意一對正交軸的兩個

慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對該點的極慣

性矩。二、主慣性矩

1.定義主慣性軸——慣性積為零的一對坐標軸，簡稱主軸主慣性矩——圖形對主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸——通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩——圖形對形心主慣性軸的慣性矩性質(zhì)6：圖形的對稱軸是形心主慣性軸2.確定主慣性軸的位置設(shè)0是舊軸x逆時針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負號置于分子上有利于確定20角的象限）由上面tan20的表達式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，化簡后可得主慣性矩的計算公式：極大值Imax極小值Imin例計算所示圖形的形心主慣性矩.解：該圖形形心C的位置已確定，如圖所示.過形心C選一對座標軸y

z軸，計算其慣性矩(積).101012025C4020yz20158035在第三象限分別由y軸和z軸繞C點逆時針轉(zhuǎn)113.8o

得出.

形心主慣性軸y0,z0101012025C4020yz20158035101012070形心主慣形矩為C4020yzy00=113.8°z0例題在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主矩.(b