高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．2橢圓 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)7

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(七)橢圓的幾何性質(zhì)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.橢圓(m＋1)x2＋my2＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是________.【解析】橢圓方程可簡(jiǎn)化為eq\f(x2,\f(1,1＋m))＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，由題意知m>0，∴eq\f(1,1＋m)<eq\f(1,m)，∴a＝eq\f(\r(m),m)，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝eq\f(2\r(m),m).【答案】eq\f(2\r(m),m)2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為________.【解析】由題意知圓F2的半徑為c，在Rt△MF1F2中，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2.所以(2a－c)2＋c2＝4c2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))－2＝0，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.【答案】eq\r(3)－13.直線y＝k(x－2)＋1與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的位置關(guān)系是________.【解析】直線y＝k(x－2)＋1過定點(diǎn)P(2,1)，將P(2,1)代入橢圓方程，得eq\f(4,16)＋eq\f(1,9)＜1，∴P(2,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.【答案】相交4.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為________.【解析】根據(jù)條件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b＝eq\r(2)，橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.【答案】eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝15.已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，離心率0<e≤eq\f(\r(3),2).則長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830032】【解析】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－1,a2)＝1－eq\f(1,a2)≤eq\f(3,4)，∴eq\f(1,a2)≥eq\f(1,4)，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)2<2a≤4.【答案】(2,4]6.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，離心率為eq\f(1,3)，則橢圓方程為________.【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)橢圓的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(1,3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝2，))由a2＝b2＋c2，得b2＝32.故橢圓的方程為：eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.【答案】eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝17.橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A、B.當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是________.【解析】如圖，當(dāng)直線x＝m，過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，△FAB的周長(zhǎng)最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得y＝±eq\f(3,2)，∴|AB|＝3.∴S＝eq\f(1,2)×3×2＝3.【答案】38.已知橢圓方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，則以A(1,1)為中點(diǎn)的弦MN所在的直線方程為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830033】【解析】方法一：易知直線MN的斜率存在，設(shè)為k，則其直線方程為y－1＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0，又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)、N(x2，y2)，則x1、x2是方程的兩個(gè)根，于是x1＋x2＝eq\f(18kk－1,4＋9k2)＝2，解得k＝－eq\f(9,4)，則所求的直線方程為y－1＝－eq\f(4,9)(x－1)，即4x＋9y－13＝0.方法二：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),9)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1①eq\f(x\o\al(2,2),9)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1②①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,9)＝－eq\f(y1＋y2y1－y2,4)∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,9y1＋y2)＝－eq\f(4×2,9×2)＝－eq\f(4,9).∴直線l的方程為y－1＝－eq\f(4,9)(x－1)，即4x＋9y－13＝0.【答案】4x＋9y－13＝0二、解答題9.(1)已知橢圓的焦距與短軸長(zhǎng)相等，求橢圓的離心率.(2)若橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率.【解】(1)由題意得：b＝c，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,b2＋c2)＝eq\f(c2,2c2)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2).(2)由題意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·eq\f(c,a)－5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝0，即5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋2·eq\f(c,a)－3＝0，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).10.過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)點(diǎn)M(2,1)引一條弦，使弦被M平分，求此弦所在直線的方程.【解】方法一：依題意，該直線l的斜率存在.設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1、x2是方程的兩個(gè)根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1).又M為AB的中點(diǎn)，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解之得k＝－eq\f(1,2).故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)為AB的中點(diǎn).∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16.兩式相減得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).故所求直線方程為x＋2y－4＝0.[能力提升]1.點(diǎn)A(a,1)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是________.【解析】∵點(diǎn)A(a,1)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)部，∴eq\f(a2,4)＋eq\f(1,2)＜1.∴eq\f(a2,4)＜eq\f(1,2).則a2＜2，∴－eq\r(2)＜a＜eq\r(2).【答案】－eq\r(2)＜a＜eq\r(2)2.如圖2-2-2，P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)，且eq\o(F2M,\s\up12(→))·eq\o(MP,\s\up12(→))＝0，則OM的取值范圍是________.圖2-2-2【解析】延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N，由已知條件可知OM＝eq\f(1,2)NF1＝eq\f(1,2)(PF1－PF2)＝a－PF2，而a－c<PF2<a，所以O(shè)M∈(0，c)，即OM∈(0,3).【答案】(0,3)3.已知橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為________.【解析】設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1，))兩式相減，得eq\f(x1＋x2x1－x2,36)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，∴eq\f(2x1－x2,9)＝－eq\f(4y1－y2,9)，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)4.已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求直線被橢圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)直線的方程.【解】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m.))消去y得，5x2＋2mx＋m2－1＝0，∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－eq\f(\r(5),2)≤m≤eq\f(\r(5),2).(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－eq\f(2,5)m，x1x2＝eq\f(m2－1,5).∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y2