高中數(shù)學人教A版2本冊總復習總復習（全國一等獎）

1．2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．分類變量的定義．如果某種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2．2×2列聯(lián)表．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d3.獨立性檢驗.,eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(自)eq\x(測)1．下列變量中不屬于分類變量的是(B)A．性別B．吸煙C．宗教信仰D．國籍解析：“吸煙”不是分類變量，“是否吸煙”才是分類變量．故選B.2．下面是一個2×2列聯(lián)表y1y2合計x1a2173x222527合計b46100則表中a、b的值分別為(C)A．94、96B．52、50C．52、54D．54、52解析：由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.3．某高?！敖y(tǒng)計初步”課程的教師隨機調(diào)查了選修該課程的一些學生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈＞，所以判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關系，那么這種判斷出錯的可能性為____________．解析：P(K2＞＝，判斷出錯的可能性為5%.答案：5%eq\a\vs4\al(（一）重點)通過案例理解分類變量、列聯(lián)表、獨立性檢驗的含義，利用列聯(lián)表的獨立性檢驗進行估計．eq\a\vs4\al(（二）難點)獨立性檢驗的基本思想，隨機變量K2的含義．eq\a\vs4\al(（三）知識結(jié)構(gòu)圖)eq\a\vs4\al(（三）思維總結(jié))(1)直觀分析的兩種方法．①頻率分析．通過對樣本的每個分類變量的不同類別和事件發(fā)生的頻率的大小比較來分析變量之間是否有關系，通常通過列聯(lián)表列出兩個分類變量進行分析．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：yxy1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d在列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關系，則應該滿足ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，說明兩個分量之間的關系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個分類變量之間的關系越強．②圖形分析．利用等高條形圖來分析兩分類變量之間是否具有相關關系，形象、直觀地反映兩個分類變量之間的總體狀態(tài)和差異大小，進而推斷它們之間是否有關系．a(chǎn)．繪制等高條形圖時，列聯(lián)表的行對應的是高度，兩行的數(shù)據(jù)不相等，但對應的條形圖的高度是相同的，兩列的數(shù)據(jù)對應不同顏色．b.等高條形圖中有兩個高度相同的矩形，每一個矩形中都有兩種顏色，觀察下方顏色區(qū)域的高度，如果兩個高度相差比較明顯eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(a,a＋b)和\f(c,c＋d)相差很大))，就判斷兩個分類變量之間有關系．(2)獨立性檢驗及其基本思想．①獨立性檢驗．利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．利用上訴公式求出K2的觀測值為k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).再得出X與Y有關系的程度，通常用到以下數(shù)據(jù)：(i)如果k＞，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為X與Y有關系；(ii)如果k＞，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為X與Y有關系；值得注意的是：觀察值k越大，越有利于結(jié)論“X和Y有關系”，越小越有利于結(jié)論“X和Y沒有關系”．因此，可以建立一定的規(guī)則：當k≥k0時就說X與Y有關系，k＜k0時就說X和Y沒有關系，故求得觀測值后只要與建立的規(guī)則進行比較即可得出結(jié)論．②獨立性檢驗的基本思想．獨立性檢驗的基本思想是要確認“兩個分類變量有關系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設該結(jié)論不成立，即假設“兩個分類變量沒有關系”成立，在該假設下我們構(gòu)造的隨機變量K2應該很小，如果由觀察數(shù)據(jù)計算得到K2的觀測值k很大，則在一定程度上說明假設不合理，根據(jù)隨機變量K2的含義，可以通過P(k≥≈來評價假設不合理的程度，由實際計算出k＞，說明假設不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關系這一結(jié)論成立的可信度為99%，不合理的程度可查下表得出：1．獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否有關系的一種案例分析方法，其分析方法有：等高條形圖法和利用假設的思想方法，計算出某一個隨機變量K2的觀測值來進行判斷．2．在等高條形圖中，可以估計滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例為eq\f(a,a＋b)，也可以估計滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)2的個體所占的比例為eq\f(c,c＋d)，兩個比例的值相差越大，兩個分類變量相關的可能性就越大．3．獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計算K2的觀測值；(3)比較K2與臨界值的大小關系作統(tǒng)計推斷．1．在等高條形圖形中，下列哪兩個比值相差越大，“兩個分類變量有關系”成立的可能性越大(C)\f(a,a＋b)與eq\f(d,c＋d)\f(c,a＋b)與eq\f(a,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,b＋c)2．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表；男女合計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，K2＝eq\f(110（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈.附表：P(F2≥k0)k0參照附表，得到的正確結(jié)論是(A)A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”3．某高?！敖y(tǒng)計初步”課程的教師隨機調(diào)查了選該課的一些學生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到，k＝eq\f(50（13×20－10×7）2,20×30×23×27)≈，因為k＞，所以確定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關系，那么這種判斷出錯的可能性為________．解析：∵k＝＞，∴有95%的把握可以確定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關，那么這種判斷出錯的可能性為5%.答案：5%1．在研究兩個分類變量之間是否有關系時，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關的是(B)A．散點圖B．等高條形圖C．2×2列聯(lián)表D．以上均不對2．對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k，說法正確的是(B)A．k越大，“X與Y有關系”可信程度越小B．k越小，“X與Y有關系”可信程度越小C．k越接近0，“X與Y無關”程度越小D．k越大，“X與Y無關”程度越大3．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1522173x22ab總計5446100則表中a、b的值分別是(C)A．94、96B．25、21C．25、27D．27、254．分類變量x和y的列聯(lián)表如下，則(C)y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d－bc越小，說明x與y的關系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明x與y的關系越弱C．(ad－bc)2越大，說明x與y的關系越強D．(ad－bc)2越小，說明x與y的關系越強解析：由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)知，(ad－bc)2越大，K2值越大，說明x與y的關系越強．5．某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認為作業(yè)多認為作業(yè)不多總數(shù)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總數(shù)262450則認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多少有關系的把握大約為(B)A．99%B．95%C．90%D．無充分依據(jù)解析：由表中數(shù)據(jù)計算K2＝eq\f(50×（18×15－8×9）2,26×24×27×23)≈，而K2＝＞，所以約有95%的把握認為兩變量之間有關．6．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠，在照射后14天內(nèi)的結(jié)果如下表所示：死亡存活合計第一種劑量141125第二種劑量61925合計203050進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設是________．解析：根據(jù)獨立性檢驗的基本思想，可知其類似反證法，即要確認“兩個分類變量有關系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設結(jié)論不成立，即假設結(jié)論“兩個分類變量沒有關系”成立，對本題，進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設應是“小白鼠的死亡與劑量無關”．答案：小白鼠的死亡與劑量無關7．(2023·韶關二模)以下四個命題中：①在一次試卷分析中，從每個試室中抽取第5號考生的成績進行統(tǒng)計，是簡單隨機抽樣；②樣本數(shù)據(jù)3，4，5，6，7的方差為2；③對于相關系數(shù)r。|r|越接近1，則線性相關程度越強；④通過隨機詢問110名性別不同的行人，對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進行抽樣調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：男女總計走天橋402060走斑馬線203050總計6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)可得，K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)＝，則有99%以上的把握認為“選擇過馬路方式與性別有關”．附表：P(K2≥k0)k0其中正確命題的序號是________．答案：②③④8．某學校為了調(diào)查喜歡語文學科與性別的關系，隨機調(diào)查了一些學生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：類別性別不喜歡語文喜歡語文男1310女720為了判斷喜歡語文學科是否與性別有關系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈，因為k≥，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)k0P(K2≥k0)k0判定喜歡語文學科與性別有關系，那么這種判斷出錯的可能性為________．答案：5%9．調(diào)查某班學生，按性別和籍貫分類得調(diào)查表如下：天津非天津合計男122840女61925合計184765性別對籍貫的影響中，可信度小于________．解析：k＝eq\f(65（12×19－28×6）2,40×25×18×47)≈∵＜，∴查表可知小于.答案：50%10．在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動，你能否判斷性別與休閑方式是否有關系？解析：首先建立列聯(lián)表如下休閑方式為看電視休閑方式為運動合計女性432770男性213354合計6460124∵a＝43，b＝27，a＋b＝70，c＝21，d＝33，c＋d＝54，a＋b＋c＋d＝124，a＋c＝64，b＋d＝60，∴k＝eq\f(n（ad＋bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(124×8522,14515200)≈＞，即有%的把握認為休閑方式與性別有關．11．(2023·深圳二模)2023年3月14日，CCTV財經(jīng)頻道報道了某地建筑市場存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象．為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關，某大學實驗室隨機抽取了60個樣本，得到了相關數(shù)據(jù)如下表：混凝土耐久性達標混凝土耐久性不達標總計使用淡化海砂25530使用未經(jīng)淡化海砂151530總計402060(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關？(2)若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，現(xiàn)從這6個樣本中任取2個，則取出的2個樣本混凝土耐久性都達標的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k)k解析：(1)提出假設H0：使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標無關．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得K2的觀測值k＝eq\f(60×（25×15－15×5）2,302×40×20)＝＞.查表得P(K2≥＝.∴能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關．(2)用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取6個，其中應抽取“混凝土耐久性達標”的為eq\f(25,30)×6＝5，“混凝土耐久性不達標”的為6－5＝1，“混凝土耐久性達標記”為A1，A2，A3，A4，A5”；“混凝土耐久性不達標”的記為B.在這6個樣本中任取2個，有以下幾種可能：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，B)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，B)，(A4，A5)，(A4，B)(A5，B)，共15種．設“取出的2個樣本混凝土耐久性都達標”為事件A，它的對立事件eq\o(A,\s\up6(－))為“取出的2個樣本至少有1個混凝土耐久性不達標”，包含(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(A4，B)，(A5，B)，共5種可能．∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(5,15)＝eq\f(2,3).即取出的2個樣本混凝土耐久性都達標的概率是eq\f(2,3).12．某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在(495，510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．左下表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，右下圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．甲流水線樣本頻數(shù)分布表(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；(2)若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率；(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關？甲流水線乙流水線合計合格品a＝b＝不合格品c＝d＝合計n＝附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)k0解析：(1)甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：(2)由題表知甲樣本中合格品數(shù)為8＋14＋8＝30，由題圖知乙樣本中合格品數(shù)為＋＋×5×40＝36，故甲樣本合格品的頻率為eq\f(30,40)＝，乙樣本合格品的頻率為eq\f(36,40)＝.據(jù)此可估計從甲流水線任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為.從乙流水線任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為.(3)2×2列聯(lián)表如下：甲流水線乙流水線合計合格品a＝30b＝3666不合格品c＝10d＝414合計4040n＝80∵K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(80×（120－360）2,66×14×40×40)≈>.∴在犯錯誤的概率不超過的前提下認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．?品味高考1．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例．(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查辦法來估計該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)k0解析：(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)＝14%.(2)K2的觀測值k＝eq\f(500×（40×270－30×160）2,200×300×70×430)≈，由于>，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關．(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要志愿者提供幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法抽樣調(diào)查，比采用簡單隨機