2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)4.1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4.2標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4．1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4．2標(biāo)準(zhǔn)差［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.掌握各種基本數(shù)字特征的概念、意義以及它們各自的特點(diǎn).2。要重視數(shù)據(jù)的計(jì)算，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想．知識(shí)點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在中間位置(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3）平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2,…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)（x1＋x2＋…＋xn)稱為這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．2．三種數(shù)字特征與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高長方形的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)（1）在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值,但是有偏差;（2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)（1）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；（2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二標(biāo)準(zhǔn)差、方差1．標(biāo)準(zhǔn)差（1）平均距離與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示．假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn,eq\x\to（x）表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到eq\x\to（x）的距離是｜xi－eq\x\to(x)｜（i＝1,2,…，n)，則用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差:s＝eq\r（\f(1,n）[x1－\x\to（x)2＋x2－\x\to（x）2＋…＋xn－\x\to（x）2]。)（2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的步驟①求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x）；②求每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\x\to(x)(i＝1，2,…，n）；③求（xi－eq\x\to(x))2（i＝1,2，…，n）；④求s2＝eq\f（1，n)[（x1－eq\x\to（x)）2＋(x2－eq\x\to(x）)2＋…＋(xn－eq\x\to（x）)2]；⑤求s＝eq\r（s2)，即為標(biāo)準(zhǔn)差．2．方差標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差．s2＝eq\f（1,n）[（x1－eq\x\to（x)）2＋（x2－eq\x\to（x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x)）2]，其中，xi(i＝1,2，…,n)是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量,eq\x\to（x)是樣本平均數(shù)．題型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單運(yùn)用例1某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2）假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少?（精確到元)（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法．解(1）平均數(shù)是：eq\x\to（x）＝1500＋eq\f（4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33）≈1500＋591＝2091（元），中位數(shù)是1500元,眾數(shù)是1500元．（2)新的平均數(shù)是eq\x\to(x′)＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20，33)≈1500＋1788＝3288（元），新的中位數(shù)是：1500元，新的眾數(shù)是1500元．（3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平,因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的工資水平．反思與感悟1.眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往更能反映問題。2.在求平均數(shù)時(shí)，可采用新數(shù)據(jù)法，即當(dāng)所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的左右擺動(dòng)時(shí),用簡化公式：eq\x\to(x)＝eq\x\to（x′）＋a。跟蹤訓(xùn)練1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)绫硭?成績(單位：m)1.501.601.651。701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．解在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1。75。上面表格里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的,其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70;這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to（x)＝eq\f（1,17）(1.50×2＋1。60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28。75,17）≈1。69(m)．答17名運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1。70m，1.69m。題型二平均數(shù)和方差的運(yùn)用例2甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．解（1)eq\x\to（x)甲＝eq\f(1,6)（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1，6）(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al（2,甲)＝eq\f(1,6)[（99－100）2＋(100－100）2＋(98－100)2＋(100－100）2＋(100－100）2＋（103－100）2]＝eq\f(7,3）,seq\o\al（2，乙)＝eq\f(1,6)［（99－100)2＋（100－100)2＋(102－100)2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2］＝1.（2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al（2,乙）,所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．反思與感悟1.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述．（1)極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，它反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感．(2）方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度通常用標(biāo)準(zhǔn)差，即樣本方差的算術(shù)平方根，是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離．2．在實(shí)際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度,在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大，穩(wěn)定性越差;方差越小，數(shù)據(jù)越集中，質(zhì)量越穩(wěn)定．跟蹤訓(xùn)練2某化肥廠有甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料,在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品,稱其質(zhì)量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位：kg）:甲：10210199981039899乙:110115908575115110(1）這種抽樣方法是哪一種方法?(2)試計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)與方差，并說明哪個(gè)車間產(chǎn)品比較穩(wěn)定．解(1）采用的抽樣方法是:系統(tǒng)抽樣．（2）eq\x\to(x)甲＝eq\f(1，7）（102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；eq\x\to（x）乙＝eq\f（1,7）(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110）＝100；xeq\o\al（2,甲）＝eq\f(1，7）[（102－100）2＋（101－100）2＋（99－100)2＋（98－100）2＋(103－100）2＋(98－100）2＋（99－100）2］＝eq\f（1，7）（4＋1＋1＋4＋9＋4＋1）≈3.43；seq\o\al(2,乙）＝eq\f(1,7)[(110－100）2＋（115－100)2＋(90－100)2＋(85－100）2＋(75－100）2＋（115－100)2＋（110－100)2]＝eq\f（1，7）(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100）≈228.57.所以seq\o\al(2，甲）＜seq\o\al(2,乙),故甲車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．題型三數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例3在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分．請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由．解（1)甲組成績的眾數(shù)為90,乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．（2)eq\x\to(x）甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6）（50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f（1，50）×4000＝80,eq\x\to（x）乙＝eq\f（1，4＋4＋16＋2＋12＋12)（50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80。seq\o\al(2,甲)＝eq\f（1，2＋5＋10＋13＋14＋6）［2×(50－80)2＋5×（60－80)2＋10×(70－80）2＋13×(80－80)2＋14×（90－80）2＋6×（100－80)2］＝172，seq\o\al（2，乙）＝eq\f(1，4＋4＋16＋2＋12＋12)［4×(50－80）2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×（80－80)2＋12×（90－80)2＋12×(100－80)2]＝256?！遱eq\o\al(2,甲）〈seq\o\al(2,乙)，∴甲組成績較乙組成績穩(wěn)定,故甲組好些．（3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成績?cè)?0分以上（包括80分）的有33人，乙組成績?cè)?0分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成績較好．(4）從成績統(tǒng)計(jì)表看,甲組成績大于等于90分的有20人,乙組成績大于等于90分的有24人,所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多．同時(shí),乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成績較好．反思與感悟要正確處理此類問題,首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語,全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后，組織好正確的語言作出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25。40mm的一種零件．為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm）：甲25．4625。3225.4525。3925。3625．3425.4225.4525.3825.4225．3925.4325。3925.4025.4425．4025。4225.3525.4125.39乙25．4025。4325.4425.4825.4825．4725。4925.4925。3625。3425．3325。4325。4325。3225.4725．3125。3225.3225.3225.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后3位)解用計(jì)算器計(jì)算可得eq\x\to(x）甲≈25。405，eq\x\to（x）乙≈25。406；s甲≈0。037,s乙≈0。068.從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)（25。40mm）,差異很??；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲<s乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸比乙的穩(wěn)定程度高得多．于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些．分類討論思想例4某班有四個(gè)學(xué)習(xí)小組，各小組人數(shù)分別為10,10，x,8，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．分析由于x未知,因此中位數(shù)不確定，需討論．解該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1，4)(10＋10＋x＋8)＝eq\f（1,4)(28＋x），中位數(shù)是這4個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列后處在最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．（1)當(dāng)x≤8時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)閤，8，10,10，中位數(shù)是9,由eq\f（1，4)（28＋x)＝9，得x＝8，符合題意，此時(shí)中位數(shù)是9；(2)當(dāng)8＜x≤10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，x,10，10，中位數(shù)是eq\f（1，2)(x＋10)，由eq\f（1，4）(28＋x）＝eq\f（1，2）（10＋x)，得x＝8，與8＜x≤10矛盾，舍去；（3）當(dāng)x＞10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，10,10，x，中位數(shù)是10，由eq\f（1,4)(28＋x）＝10，得x＝12,符合題意，此時(shí)中位數(shù)是10。綜上所述，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9或10.解后反思當(dāng)題目中含有參數(shù)，且參數(shù)的不同取值影響求解結(jié)果時(shí)，需對(duì)參數(shù)的取值分類討論．1．下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù)C．方差 D．眾數(shù)答案C解析由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度．2．一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14，19，x，23，27，28,31,其中位數(shù)為22，則x等于(）A．21 B．22C．20 D．23答案A解析根據(jù)題意知，中位數(shù)22＝eq\f（x＋23,2），則x＝21。3．一次選拔運(yùn)動(dòng)員的測(cè)試中，測(cè)得7名選手中的身高（單位：cm)分布的莖葉圖如圖所示．記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清楚,其末位數(shù)記為x,則x等于()A．5 B．6C．7 D．8答案D解析由題意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8。4．已知一組數(shù)據(jù)4。7，4。8，5.1，5。4，5。5,則該組數(shù)據(jù)的方差是________