2017-2018版高中數(shù)學第一章立體幾何初步7.1簡單幾何體的側面積學案2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7．1簡單幾何體的側面積學習目標1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法。2。了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式;能運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進行計算和解決有關實際問題。3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力．知識點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積思考1圓柱OO′及其側面展開圖如下，則其側面積為多少？表面積為多少？思考2圓錐SO及其側面展開圖如下，則其側面積為多少？表面積為多少？思考3圓臺OO′及其側面展開圖如下，則其側面積為多少?表面積為多少？梳理圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式圖形表面積公式旋轉體圓柱底面積：S底＝________側面積：S側＝________表面積：S＝__________圓錐底面積：S底＝________側面積:S側＝________表面積：S＝________圓臺上底面面積:S上底＝________下底面面積:S下底＝________側面積：S側＝________________表面積：S＝________________________知識點二直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積思考1類比圓柱側面積的求法,你認為怎樣求直棱柱的側面積？如果直棱柱底面周長為c，高為h，那么直棱柱的側面積是什么?思考2正棱錐的側面展開圖如圖，設正棱錐底面周長為c，斜高為h′，如何求正棱錐的側面積?思考3下圖是正四棱臺的展開圖，設下底面周長為c，上底面周長為c′，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱臺的側面面積公式嗎？梳理棱柱、棱錐、棱臺側面積公式幾何體側面展開圖側面積公式直棱柱S直棱柱側＝c·hc—底面周長h—高正棱錐S正棱錐側＝eq\f(1,2)c·h′c—底面周長h′—斜高正棱臺S正棱臺側＝eq\f（1,2)(c＋c′）·h′c、c′-上、下底面周長h′—斜高類型一旋轉體的側面積(表面積）例1(1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4(2）圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm。它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°,那么圓臺的表面積是________cm2.（結果中保留π）反思與感悟圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．跟蹤訓練1（1）圓柱的側面展開圖是兩邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為()A．6π(4π＋3)B．8π（3π＋1）C．6π（4π＋3)或8π(3π＋1）D．6π(4π＋1）或8π(3π＋2)（2)圓錐的中截面把圓錐側面分成兩部分，則這兩部分側面積的比為（)A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4類型二多面體的側面積(表面積)及應用例2某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A．8＋2eq\r（2) B．11＋2eq\r(2)C．14＋2eq\r(2） D．15反思與感悟多面體中的有關計算通常轉化為平面圖形（三角形或特殊的四邊形)來計算，對于棱錐中的計算問題往往要構造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構成的直角三角形，或者由棱錐的高、側棱以及側棱在底面上的投影構成的直角三角形．跟蹤訓練2已知正四棱臺上底面邊長為4cm,側棱和下底面邊長都是8cm，求它的側面積．類型三組合體的側面積(表面積)eq\x(命題角度1由三視圖求組合體的表面積)例3某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是________cm2。反思與感悟對于此類題目：（1)將三視圖還原為幾何體;(2）組合體的表面積應注意重合部分的處理．跟蹤訓練3一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為________m2.eq\x（命題角度2由旋轉形成的組合體的表面積）例4已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°,在平面ABCD內，過C作l⊥CB,以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求此旋轉體的表面積．反思與感悟（1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響．(2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構成的組合體,要注意新產生的截面和原幾何體表面的變化．跟蹤訓練4已知△ABC的三邊長分別是AC＝3,BC＝4,AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積．1．一個圓錐的表面積為πam2，且它的側面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為（)A.eq\f（\r(2a),2)mB。eq\f（\r(3a)，3）mC.eq\f（\r(a）,2）mD。eq\f（\r(5a),5)m2．一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3cm和6cm，高是eq\f(3,2)cm.則三棱臺的側面積為（）A．27eq\r(3)cm2 B。eq\f(27\r(3），2)cm2C。eq\f(\r(3）,2)cm2 D。eq\r(3）cm23．一個幾何體的三視圖（單位長度：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是（)A．（80＋16eq\r(2）)cm2 B．84cm2C．(96＋16eq\r(2)）cm2 D．96cm24．若圓臺的上下底面半徑分別是1和3，它的側面積是兩底面面積和的2倍，則圓臺的母線長是________．5．正三棱錐S－ABC的側面積是底面積的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱錐的側面積．1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和．2．有關旋轉體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐,再借助相似的相關知識求解．3．S圓柱表＝2πr（r＋l);S圓錐表＝πr(r＋l);S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2）．答案精析問題導學知識點一思考1S側＝2πrl，S表＝2πr（r＋l）．思考2底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl,S表＝πr2＋πrl＝πr（r＋l）．思考3圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，內弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，eq\f(x，x＋l）＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f（r，R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1，2)（x＋l）×2πR－eq\f（1,2）x·2πr＝π［(R－r)x＋Rl]＝π（r＋R）l，所以，S圓臺側＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．梳理2πr22πrl2πr（r＋l）πr2πrlπr（r＋l)πr′2πr2π（r′l＋rl）π（r′2＋r2＋r′l＋rl）知識點二思考1利用直棱柱的側面展開圖求棱柱的側面積．展開圖如圖，不難求得S直棱柱側＝ch。思考2正棱錐的側面積就是展開圖中各個等腰三角形面積之和,不難得到S正棱錐側＝eq\f(1,2）ch′。思考3S正棱臺側＝eq\f(1，2）n(a＋a′）h′＝eq\f（1,2）（c＋c′）h′。題型探究例1(1）D（2)1100π解析（1）由三視圖可知，該幾何體為：故表面積為πr2＋eq\f（2πr，2）l＋l2＝π＋2π＋4＝3π＋4。(2)如圖所示，設圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10,所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20,所以S表面積＝S側＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al（2,1）＋πreq\o\al（2,2)＝π(10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2）．故圓臺的表面積為1100πcm2.跟蹤訓練1（1)C［由題意,圓柱的側面積S側＝6π×4π＝24π2.①當以邊長為6π的邊為母線時,4π為圓柱底面周長，則2πr＝4π，即r＝2，所以S底＝4π，所以S表＝S側＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1）．②當以邊長為4π的邊為母線時，6π為圓柱底面周長,則2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝S側＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．］(2）C[如圖所示，PB為圓錐的母線,O1，O2分別為截面與底面的圓心．因為O1為PO2的中點,所以eq\f（PO1，PO2)＝eq\f(PA，PB）＝eq\f（O1A,O2B)＝eq\f(1，2)，所以PA＝AB，O2B＝2O1A。又因為S圓錐側＝π·O1A·PA，S圓臺側＝π·(O1A＋O2B）·AB，則eq\f（S圓錐側，S圓臺側)＝eq\f（O1A·PA,O1A＋O2B·AB)＝eq\f（1，3).］例2B［該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱．S表＝2×eq\f（1,2）×（1＋2）×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×eq\r(2）＝11＋2eq\r(2），故選B.］跟蹤訓練2解方法一在Rt△B1FB中,B1F＝h′，BF＝eq\f(1,2）（8－4)＝2（cm),B1B＝8cm，∴B1F＝eq\r(82－22）＝2eq\r（15）(cm),∴h′＝B1F＝2eq\r(15）cm。∴S正棱臺側＝eq\f(1,2)×4×（4＋8）×2eq\r（15)＝48eq\r(15）（cm2)．方法二延長正四棱臺的側棱交于點P，如圖，設PB1＝xcm,則eq\f（x,x＋8）＝eq\f（4,8)，得x＝8cm?！郟B1＝B1B＝8cm，∴E1為PE的中點．∴PE1＝eq\r（82－22)＝2eq\r（15）(cm）．PE＝2PE1＝4eq\r(15）cm。∴S正棱臺側＝S大正棱錐側－S小正棱錐側＝4×eq\f(1，2)×8×PE－4×eq\f（1，2)×4×PE1＝4×eq\f（1,2)×8×4eq\r（15)－4×eq\f（1，2）×4×2eq\r（15)＝48eq\r（15)（cm2）．例3138解析將三視圖還原為長方體與直三棱柱的組合體，再利用表面積公式求解．該幾何體如圖所示,長方體的長，寬，高分別為6cm，4cm,3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3cm,4cm，5cm，所以表面積S＝［2×（4×6＋4×3)＋3×6＋3×3］＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3））＝99＋39＝138（cm2）．跟蹤訓練312π＋4eq\r(2）π例4解如圖所示，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a,BC＝2a，AB＝（2a－a）tan60°＝eq\r（3）a，DC＝eq\f（2a－a,cos60°)＝2a，又DD′＝DC＝2a，則S表＝S圓柱表＋S圓錐側－S圓錐底＝2π·2a·eq\r(3）a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2＝(9＋4eq\r（3)）πa2.跟蹤訓練4解如圖,在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為點D。由AC＝3，BC＝4，AB＝5,知AC2＋BC2＝AB3，則AC⊥BC。所以BC·AC＝AB·CD，所以CD＝eq\f（12，5），記為r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB為軸旋轉所得旋轉體是兩個同底的圓錐，且底面半徑r＝eq\f（12,5)，母線長分別是AC＝3,BC＝4，所以S表面積＝πr·(AC＋BC）＝π×eq\f（12，5)×（3＋4)＝eq\f(84，5)π。當堂訓練1．B2．B［如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O＝eq\f（3,2）cm,連接A1O1并延長交B1C1于點D1，連接AO并延長交BC于點D，過D1作D1E⊥AD于點E.在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝eq\f（3,2)cm，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝eq\f(1,3)×eq\f（\r(3)，2)×(6－3)＝eq\f(\r（3）,2）(cm），DD1＝eq\r（D1E2＋DE2）＝eq\r(，\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)）)2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3),2））)2)＝eq\r（3)(cm），所以S正三棱臺側＝eq\f(1,2）(c＋c′)·DD1＝eq\f（27\r（3),2)（cm2)．］3．A4.55．解設正三棱錐底面邊長為a,斜高為h′，如圖所示，過O作OE⊥AB，連接SE，則SE⊥AB，且SE＝h′。因為S側＝2S底，所以eq\f(1，2）×3a×h′