2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步7.3球的表面積和體積學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE7。3球的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.2。會(huì)求解組合體的體積與表面積．知識(shí)點(diǎn)一球的截面思考什么叫作球的大圓與小圓?梳理用一個(gè)平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是________,有以下性質(zhì)：（1)若平面α過(guò)球心O，則截線(xiàn)是以________為圓心的球的大圓．（2）若平面α不過(guò)球心O，如圖，設(shè)OO′⊥α，垂足為O′,記OO′＝d，對(duì)于平面α與球面的任意一個(gè)公共點(diǎn)P，都滿(mǎn)足OO′⊥O′P,則有O′P＝eq\r（R2－d2)，即此時(shí)截線(xiàn)是以____為圓心，以r＝eq\r（R2－d2)為半徑的球的小圓．知識(shí)點(diǎn)二球的切線(xiàn)（1）定義：與球只有________公共點(diǎn)的直線(xiàn)叫作球的切線(xiàn)．如圖，l為球O的切線(xiàn),M為切點(diǎn)．（2)性質(zhì)：①球的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;②過(guò)球外一點(diǎn)的所有切線(xiàn)的長(zhǎng)度都________．知識(shí)點(diǎn)三球的表面積與體積公式前提條件球的半徑為R表面積公式S＝________體積公式V＝________類(lèi)型一球的表面積與體積例1(1）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)_____．（2)已知球的表面積為64π，求它的體積．反思與感悟(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過(guò)條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解．（2）半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點(diǎn),計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了．(3)由三視圖計(jì)算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義．根據(jù)球與球的組合體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)計(jì)算其表面積或體積．此時(shí)要特別注意球的三視圖都是直徑相同的圓．跟蹤訓(xùn)練1（1）已知球的體積為eq\f（500，3)π，則其表面積為_(kāi)_______．(2）某器物的三視圖如圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該器物的體積是(）A。eq\f(4π，3) B。eq\f(\r(15)π,3)C。eq\f(4π,3）－eq\f（\r(15)π，3) D.eq\f(4π,3)＋eq\f(\r(15）π,3）類(lèi)型二球的截面例2在半徑為R的球面上有A,B，C三點(diǎn)，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．反思與感悟(1）有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題．（2)解題時(shí)要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2。跟蹤訓(xùn)練2如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A.eq\f（500π,3）cm3B。eq\f(866π,3)cm3C.eq\f（1372π，3)cm3D。eq\f（2048π，3）cm3類(lèi)型三與球有關(guān)的組合體eq\x（命題角度1球的內(nèi)接或外切柱體問(wèn)題）例3(1）一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為_(kāi)_______．（2）將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球,則該球的體積為_(kāi)_______．反思與感悟(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱(chēng)球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，若正方體的棱長(zhǎng)為a，此時(shí)球的半徑為r1＝eq\f（a,2)。(2）長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上,稱(chēng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知,長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)是球的直徑,若長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，則過(guò)球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為r2＝eq\f(1,2）eq\r（a2＋b2＋c2).跟蹤訓(xùn)練3設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C。eq\f（11，3)πa2D．5πa2eq\x(命題角度2球的內(nèi)接錐體問(wèn)題）例4若棱長(zhǎng)為a的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，求球的表面積．反思與感悟?qū)⒄拿骟w可以補(bǔ)成正方體．由此可得正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\f(\r（6)，2)a.跟蹤訓(xùn)練4球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿(mǎn)足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為_(kāi)_______．1．把3個(gè)半徑為R的鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為(）A．RB．2RC．3RD．4R2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2),則此球的體積為（)A。eq\r(6)πB．4eq\r（3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r（3)π3．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等,這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為_(kāi)_______．5．若球的半徑由R增加為2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的________倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的________倍．1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形,進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．2．解決球與其他幾何體的切接問(wèn)題時(shí)，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考平面過(guò)球心與球面形成的截線(xiàn)是大圓．平面不過(guò)球心與球面形成的截線(xiàn)是小圓．梳理圓（1)O(2)O′知識(shí)點(diǎn)二（1)唯一（2）②相等知識(shí)點(diǎn)三4πR2eq\f（4,3)πR3題型探究例1(1)3π解析由三視圖知該幾何體為半球，則其表面積為eq\f(1，2)×4π×12＋π×12＝3π。(2）解設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的體積V＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4,3)π·43＝eq\f（256,3）π.跟蹤訓(xùn)練1（1）100π（2)D例2解依題意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(3），3)×3＝eq\r(3）。由R2＝（eq\f（R,2)）2＋(eq\r(3))2，得R＝2.所以球的表面積S＝4πR2＝16π.跟蹤訓(xùn)練2A[利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解．如圖,作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2（cm），BM＝eq\f（1,2）AB＝eq\f(1，2)×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝（R－2)2＋42，∴R＝5cm，∴V球＝eq\f(4,3）π×53＝eq\f（500π，3)(cm3）．］例3（1）14π解析長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即2R＝eq\r（12＋22＋32）＝eq\r(14)，所以球的表面積S＝4πR2＝14π.(2)eq\f(4,3)π解析由題意知,此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1,其體積是eq\f（4，3)×π×12＝eq\f（4π，3）.跟蹤訓(xùn)練3B例4解把正四面體放在正方體中,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x,則a＝eq\r(2)x，由題意2R＝eq\r(3）x＝eq\r（3）×eq\f（\r（2)a，2)＝eq\f(\r（6),2)a，∴S球＝4πR2＝eq\f（3,2)πa2.跟蹤訓(xùn)練4eq\f(9，32)或eq\f（3，32）當(dāng)堂訓(xùn)練1．D2．B［如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′,M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2），O′M＝1?！郞M＝eq\r（\r(