第九章導體和電介質中的靜電場

普通物理解題方法研究溫州大學主講教師：季永運第九章導體和電介質中的靜電場一、靜電場中的導體二、空腔導體內外的靜電場三、

電容器的電容四、電介質及其極化五、電介質中的靜電場六、有電介質時的高斯定理電位移七、電荷間相互作用能靜電場的能量本章內容：靜電平衡條件：靜電平衡：導體內部場強處處為零電場電勢導體為一等勢體表面場強垂直于導體表面導體表面是一個等勢面導體中電荷的宏觀定向運動終止，電荷分布不隨時間改變。

導體的靜電平衡1.導體的靜電平衡一、靜電場中的導體電荷分布在導體表面，導體內部場強處處為零。2.2空腔導體

（1）腔內無帶電體：電荷分布在導體表面，導體內部及腔體的內表面處處無凈電荷。2.導體上的電荷分布

2.1

實心導體+++++++++

導體上的電荷分布

（2）腔內有帶電體：腔體內表面所帶的電量和腔內帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定。未引入q時放入q后+++++++++++++++q++

導體上的電荷分布導體的表面場強由高斯定理可證明

導體上的電荷分布

孤立導體面電荷分布表面曲率越大，面電荷密度越大。尖端放電現(xiàn)象例題9-1

兩個半徑分別為R和r

的球形導體（R>r），用一根很長的細導線連接起來（如圖），使這個導體組帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關系。Q導體上的電荷分布解:

兩個導體所組成的整體可看成是一個孤立導體系，在靜電平衡時有一定的電勢值。設這兩個球相距很遠，使每個球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略不計。細線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個球又可近似的看作為孤立導體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為Q導體上的電荷分布可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。兩球的電荷密度分別為可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅?，電荷面密度愈大。導體上的電荷分布例.證明兩無限大平行金屬板達到靜電平衡時，其相對兩面帶等量異號電荷，相背兩面帶等量同號電荷。證明：

從左至右一共有四個帶電平面，設其所帶電荷的面密度依次為1、2、3、4。以向右作為電場正向。左邊導體中任意一點的場強：

導體上的電荷分布相對兩面帶等量異號電荷.相背兩面帶等量同號電荷.證畢.在右邊導體中任取一點，則該點

導體上的電荷分布相對兩面帶等量異號電荷.相背兩面帶等量同號電荷.證畢.在右邊導體中任取一點，則該點

導體上的電荷分布1.空腔導體內外的靜電場

二、空腔導體內外的靜電場

(1)腔內無帶電體導體內部及腔體的內表面處處無凈電荷。

腔內無帶電體，空腔導體外的電場由空腔導體外表面的電荷分布和其它帶電體的電荷分布共同決定。

（2）腔內有帶電體：腔體內表面所帶的電量和腔內帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定，腔外導體和電場不影響腔內電場。2.靜電屏蔽

在靜電平衡狀態(tài)下，空腔導體外面的帶電體不會影響空腔內部的電場分布；一個接地的空腔導體，空腔內的帶電體對腔外的物體不會產(chǎn)生影響。這種使導體空腔內的電場不受外界影響或利用接地的空腔導體將腔內帶電體對外界影響隔絕的現(xiàn)象，稱為靜電屏蔽。靜電屏蔽

根據(jù)靜電平衡時導體內部電場處處為零的特點，利用空腔導體將腔內外的電場隔離，使之互不影響。

a.

腔內無帶電體：腔外電場不能穿入腔內，腔內電場恒為零。q-qb.腔內有帶電體：導體接地，可屏蔽內電場。q靜電屏蔽例

在內外半徑分別為R1和R2的導體球殼內，有一個半徑為r的導體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求：（1）小球的電勢Vr，球殼內、外表面的電勢；（2）小球與球殼的電勢差；（3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢差。空腔導體內外的靜電場解：（1）由對稱性可以肯定，小球表面上和球殼內外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q將在球殼的內外表面上感應出-q和＋q的電荷，而Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的總電荷量為q+Q。小球和球殼內外表面的電勢分別為空腔導體內外的靜電場球殼內外表面的電勢相等。（3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。兩球的電勢分別為（2）兩球的電勢差為空腔導體內外的靜電場兩球的電勢差仍為

由結果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢差恒保持不變。當q為正值時，小球的電勢高于球殼；當q為負值時，小球的電勢低于球殼,與小球在殼內的位置無關，如果兩球用導線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止?？涨粚w內外的靜電場兩球的電勢差仍為

由結果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢差恒保持不變。當q為正值時，小球的電勢高于球殼；當q為負值時，小球的電勢低于球殼,與小球在殼內的位置無關，如果兩球用導線相連或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負，也不管球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到Vr-VR=0為止。空腔導體內外的靜電場三、

電容器的電容1.孤立導體的電容真空中孤立導體球R任何孤立導體，q/U與q、U均無關，定義為電容電容單位：法拉（F）計算電容的一般方法：q—

其中一個極板電量絕對值U1-U2—兩板電勢差電容器的電容：

先假設電容器的兩極板帶等量異號電荷，再計算出電勢差，最后代入定義式。2.電容器的電容電容器：兩相互絕緣的導體組成的系統(tǒng)。電容器的兩極板常帶等量異號電荷。例:(1)平板電容器幾種常見真空電容器及其電容Sd電容與極板面積成正比，與間距成反比。電容器的電容（2）圓柱形電容器電容器的電容(3)球形電容器電容器的電容理論和實驗證明充滿介質時電容真空中電容相對介電常數(shù)(4)電介質電容器電容器的電容3.電容器的串聯(lián)和并聯(lián)電容器性能參數(shù)：電容和耐壓…(1)并聯(lián)：(2)串聯(lián)：…增大電容提高耐壓(3)混聯(lián)：AB根據(jù)連接計算滿足容量和耐壓的特殊要求電容器的串聯(lián)和并聯(lián)例三個電容器按圖連接，其電容分別為C1

、C2和C3。求當電鍵K打開時，C1將充電到U0，然后斷開電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢差。解已知在K閉合前，

C1極板上所帶電荷量為q0=C1

U0

，C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后，C1放電并對C2

、C3充電，整個電路可看作為C2、C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設穩(wěn)定時，C1極板上的電荷量為q1，C2和C3極板上的電荷量為q2，因而有KU0+q0-q0C1C2C3電容器的串聯(lián)和并聯(lián)解兩式得因此，得C1

、C2和C3上的電勢差分別為電容器的串聯(lián)和并聯(lián)電容器的串聯(lián)和并聯(lián)電容器的串聯(lián)和并聯(lián)練習五個電容聯(lián)接如圖，己知，試求A、B間電容.解：把原圖變換成右圖，就可看出，因故為對稱的橋路電容.若在A、B兩點間加上電壓，則E、D兩點間的電勢相等，因此可以去掉，即讓，而不影響的值，便得

或者，把短路，即讓，也不影響的值，這樣便得兩種方法結論相同四電介質及其極化電介質：絕緣體，無自由電荷。電介質極化特點：內部場強一般不為零。1.有極分子和無極分子電介質

有極分子：分子的正電荷中心與負電荷中心不重合。負電荷中心正電荷中心

無極分子：分子的正電荷中心與負電荷中心重合。++H+HO

加上外電場后，在電場作用下介質分子正負電荷中心不再重合，出現(xiàn)分子電矩。

在外電場中有極分子的固有電矩要受到一個力矩作用，電矩方向轉向和外電場方向趨于一致。3.電極化強度矢量（1）電極化強度矢量單位體積內分子電矩的矢量和。（2）空間任一點總電場總電場外電場束縛電荷電場（3）電極化強度與總電場的關系極化率（4）極化率與相對介電常數(shù)的關系電極化強度矢量

束縛電荷與電極化強度的關系：例

半徑R

的介質球被均勻極化，極化強度為P。求：1)介質球表面的分布；2)極化電荷在球心處的場。由此可知，右半球面上左半球面上2)在球面上取環(huán)帶解：1)球面上任一點電極化強度矢量E沿x軸負方向。在球心處的場電極化強度矢量五、電介質中的靜電場

空間任一點總電場總電場外電場束縛電荷電場++++++++++

電介質內電場

兩板間電勢差

充滿電介質時的電容為

則

電介質內部場強減弱為外場的1/r這一結論并不普遍成立，但是場強減弱卻是比較普遍的。電介質中的靜電場六、有電介質時的高斯定理電位移1.有電介質時的高斯定理電位移定義：電位移矢量有介質時的高斯定理

通過電介質中任一閉合曲面的電位移通量等于該面包圍的自由電荷的代數(shù)和。有電介質存在時的高斯定理的應用（1）分析自由電荷分布的對稱性，選擇適當?shù)母咚姑?，求出電位移矢量。?）根據(jù)電位移矢量與電場的關系，求出電場。（3）根據(jù)電極化強度與電場的關系，求出電極化強度。（4）根據(jù)束縛電荷與電極化強度關系，求出束縛電荷。2.三矢量之間關系三矢量間關系練習:平行板電容器原場強為.在平行板電容器中充滿極化率為的電介質.求:電介質中的場強.又在平行板電容器中充滿極化率e的介質，其場強為解:思考：以上結論有何意義？例.一無限長同軸金屬圓筒，內筒半徑為R1，外筒半徑為R2，內外筒間充滿相對介電常數(shù)為r的油，在內外筒間加上電壓U(外筒為正極），求電場及束縛電荷分布。解：根據(jù)自由電荷和電介質分布的對稱性，電場強度和電位移矢量均應有柱對稱性。設內圓筒單位長度帶電為，以r為底半徑、l為高作一與圓筒同軸的圓柱面為高斯面，則由電位移與電場的關系，知內外筒電勢差代入得到電場的分布為：沿半徑向里由得電極化強度矢量的分布沿半徑向里由得束縛電荷的分布束縛電荷在介質內表面為正，外表面為負。練習一平板電容器板間為真空時，兩極板上所帶電荷的面密度分別為+和-，，電壓U0=200V。撤去充電電源，在板間按圖示充以三種介質，介質1充滿一半空間，介質2和3的厚度相同。求介質表面的束縛電荷。（忽略邊緣效應）解：忽略邊緣效應，板間各處、均垂直于板面,且在同一介質中相同。

以1、2分別表示極板左半部及右半部分的面電荷密度，表示各介質中的電場和電位移。有電介質時的高斯定理電位移電介質中高斯定理分別考慮三種介質：介質1介質2介質3

在各電介質中作圓柱形高斯面，兩底面平行于極板，上底在上極板內。

側面、上底面電場電位移通量均為零。有電介質時的高斯定理電位移可解得由電場與電位移關系得：平衡時導體是等勢體電荷守恒有電介質時的高斯定理電位移由得束縛電荷的分布上負下正上負下正上負下正有電介質時的高斯定理電位移例題

一半徑為R的金屬球，帶有電荷q0,浸埋在均勻“無限大”電介質（電容率為ε），求球外任一點P的場強及極化電荷分布。解:根據(jù)金屬球是等勢體，而且介質又以球體球心為中心對稱分布，可知電場分布必仍具球對稱性，用有電介質時的高斯定理來。如圖所示，過P點作一半徑為r并與金屬球同心的閉合球面S，由高斯定理知RQ0rPS所以寫成矢量式為,所以離球心r處P點的場強為因

結果表明：帶電金屬球周圍充滿均勻無限大電介質后，其場強減弱到真空時的1/εr倍,可求出電極化強度為電極化強度與有關，是非均勻極化。在電介質內部極化電荷體密度等于零，極化面電荷分布在與金屬交界處的電介質變面上（另一電介質表面在無限遠處），其電荷面密度為

因為εr>1，上式說明σ’恒與q0反號，在交界面處自電荷和極化電荷的總電荷量為

總電荷量減小到自由電荷量的1/εr倍，這是離球心r處P點的場強減小到真空時的1/εr倍的原因。

解（1）設場強分別為E1

和E2

，電位移分別為D1和D2

，E1和E2

與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩層電介質交界面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內的自由電荷為零。由電介質時的高斯定理得例題

平行板電容器兩板極的面積為S，如圖所示，兩板極之間充有兩層電介質，電容率分別為ε1

和ε2

，厚度分別為d1

和d2

，電容器兩板極上自由電荷面密度為±σ。求（1）在各層電介質的電位移和場強，（2）電容器的電容.+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22有電介質時的高斯定理電位移所以即在兩電介質內，電位移和的量值相等。由于所以

可見在這兩層電介質中場強并不相等，而是和電容率（或相對電容率）成反比。有電介質時的高斯定理電位移

為了求出電介質中電位移和場強的大小，我們可另作一個高斯閉合面S2

，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質時的高斯定理，得再利用可求得方向都是由左指向右。有電介質時的高斯定理電位移q=σS是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為

可見電容電介質的放置次序無關。上述結果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負兩極板A、B間的電勢差為有電介質時的高斯定理電位移q=σS是每一極板上的電荷，這個電容器的電容為

可見電容電介質的放置次序無關。上述結果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質的情況（每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩表面必須都和電容器兩極板的表面相平行）。（2）正、負兩極板A、B間的電勢差為有電介質時的高斯定理電位移七、電荷間相互作用能靜電場的能量

電荷之間具有相互作用能（電勢能），當電荷間相對位置發(fā)生變化或系統(tǒng)電荷量發(fā)生變化時，靜電能轉化為其它形式的能量。1.點電荷間的相互作用能

由n個點電荷組成的系統(tǒng)，其相互作用能（電勢能）為Vi是除qi外的其它所有電荷在qi

所在處產(chǎn)生的電勢。2.電荷連續(xù)分布時的靜電能

以體電荷分布為例，設想不斷把體電荷元dV從無窮遠處遷移到物體上，系統(tǒng)的靜電能為是體電荷元處的電勢。(互能、自能）同理，面分布電荷系統(tǒng)的靜電能為：電荷連續(xù)分布時的靜電能3.靜電場的能量平板電容器的能量電能貯藏在電場中，靜電場能量的體密度為任一帶電體系的總能量

靜電場的能量當電荷連續(xù)分布時，求靜電能量有三個公式思考：分別說明這三個公式的物理意義,并以平行板電容器為例，分別用上列三個公式計算它在電容為C、蓄有電荷量為Q時的靜電能量.一個個電荷移到一起互能和自能電場能量密度能量例

如圖所示，在一邊長為d的立方體的每個頂點上放有一個點電荷-e，立方體中心放有一個點電荷+2e。求此帶電系統(tǒng)的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-e

靜電場的能量解一相鄰兩頂點間的距離為d，八個頂點上負電荷分別與相鄰負電荷的相互作用能量共有12對，即；面對角線長度為。6個面上12對對角頂點負電荷間的相互作用能量是；立方體對角線長度為，4對對角頂點負電荷間的相互作用能量是；立方體中心到每一個頂點的距離是，故中心正電荷與8個負電荷間的相互作用能量是

靜電場的能量所以，這個點電荷系統(tǒng)的總相互作用能量為

解二任一頂點處的電勢為

靜電場的能量

在體心處的電勢為按式可得這個點電荷系的總相互作用能為結果與解一相同.

靜電場的能量例

求半徑為R

帶電量為Q的均勻帶電球的靜電能。解一：計算定域在電場中的能量球內r處電場

靜電場的能量解二：計算帶電體系的靜電能再聚集這層電荷dq，需做功：而所以球體是一層層電荷逐漸聚集而成，某一層內已聚集電荷

靜電場的能量解法三:用靜電能量的公式

這里電勢U是在電荷己分布完畢，空間各點確定的電勢，都不再隨時間變化.根據(jù)對稱性和高斯定理得RrQ球內離球心r處的電勢為由此則得例題

一平行板空氣電容器的板極面積為S，間距為d，用電源充電后兩極板上帶電分別為±Q。斷開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（1）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（2）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為ε0）。板極上帶電±Q時所儲的電能為解（1