第四講跨期優(yōu)化new

宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文緣起哈羅德-多馬模型（刀刃上的均衡）索羅-斯旺模型只有兩種生產(chǎn)要素：資本K和勞動(dòng)L。兩者按照一個(gè)固定的比例投入生產(chǎn)，不能相互替代。兩種生產(chǎn)要素可相互替代，且規(guī)模報(bào)酬不變。2輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文拉姆賽們的興趣拉姆賽Ramsey(EJ,1928)卡斯Cass(RES,1965)庫(kù)普曼Koopmans(1965)他們發(fā)現(xiàn)了什么？哈羅德-多馬模型與索羅模型有一個(gè)共同點(diǎn)外生儲(chǔ)蓄率：S(t)=sY(t)3輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文外生儲(chǔ)蓄率意味著什么？提示：從家庭收入的分配看S(t)=sY(t)也就意味著：C(t)=（1-s）Y(t)也即是說(shuō)人們是按照收入的固定比例進(jìn)行消費(fèi)的Y(t)=C(t)+S(t)合理嗎？不合理4輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文那么該怎么辦？?jī)?chǔ)蓄率內(nèi)生化拉姆賽們?cè)撛趺醋瞿兀繌暮稳胧帜?？從消費(fèi)入手如何內(nèi)生化于是拉姆賽們開(kāi)始構(gòu)建無(wú)限期界模型5輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文FrankPlumptonRamsey

（1903-1930，英國(guó)數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家）著作《對(duì)稅收理論的一個(gè)貢獻(xiàn)》、《一個(gè)關(guān)于儲(chǔ)蓄的數(shù)學(xué)理論》等，其經(jīng)濟(jì)思想已包括在1987年獲諾獎(jiǎng)的索洛《對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論的一個(gè)貢獻(xiàn)》。他是維特根斯坦和羅素的在抽象思維方面無(wú)可匹敵的朋友，他同時(shí)還是一位獲得了凱恩斯和哈羅德極大尊重的經(jīng)濟(jì)學(xué)家一位被認(rèn)為是在哥德?tīng)栔皩?duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯有著卓而不群思考的數(shù)學(xué)家一位為求解一道難題而發(fā)明了至今仍吸引著數(shù)學(xué)家們熱情研究的“拉姆齊理論”但那道難題本身卻被后來(lái)的數(shù)學(xué)家證明是不可能求解的數(shù)學(xué)家。6輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文"MrKeynesandProbability",1922,CambridgeMagazine

"TheDouglasProposals",1922,CambridgeMagazine

"ReviewofW.E.Johnson'sLogic,PartI",1922,NewStatesman

"CriticalNoticeofL.Wittgenstein'sTractatus",1923,Mind

"ReviewofOgdenandRichards'MeaningofMeaning",1924,Mind

"TheNewPrincipia"1925,Nature

"Universals",1925,Mind

"TheFoundationsofMathematics",1925,Proc.ofLondonMathem.Soc.

"MathematicalLogic",1926,EncyclopaediaBritannica

"UniversalsandtheMethodofAnalysis",1926,AristotelianSociety

"MathematicalLogic",1926,MathematicalGazette

"TruthandProbability",1926."AContributiontotheTheoryofTaxation",1927,EJ

"FactsandPropositions",1927,ArisotelianSociety

"AMathematicalTheoryofSaving",1928,EJ."FurtherConsiderations",1928."OnaProblemofFormalLogic",1928,Proc.ofLondonMathem.Soc.

"FoundationsofMathematics",EncyclopediaBritannica

TheFoundationsofMathematics:andotherlogicalessays,1931.7輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文講在無(wú)限期界之前——從一個(gè)兩時(shí)跨期優(yōu)化模型開(kāi)始假設(shè)：最優(yōu)化包含兩個(gè)時(shí)期。第二個(gè)時(shí)期結(jié)束時(shí)的正的財(cái)富不產(chǎn)生效用，因此家庭在第二個(gè)時(shí)期用光了他們所有的儲(chǔ)蓄；在兩個(gè)時(shí)期中，家庭都提供固定數(shù)量的勞動(dòng)，從而獲得一份不變的工資；貨幣可以以某個(gè)市場(chǎng)利率進(jìn)行投資和借貸，家庭必須能在第二個(gè)時(shí)期完全償還自己的債務(wù)。8輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文第一個(gè)時(shí)期的消費(fèi)第二個(gè)時(shí)期的消費(fèi)利率第一個(gè)時(shí)期的勞動(dòng)收入第二個(gè)時(shí)期的勞動(dòng)收入最優(yōu)化問(wèn)題開(kāi)始時(shí)的財(cái)富9輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文下一步？提示：消費(fèi)兩個(gè)時(shí)期將消費(fèi)在兩個(gè)時(shí)期分配該怎么做？10輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文回憶索羅模型，提得最多的是什么？拉姆賽們要怎么做呢？消費(fèi)如何在兩期分配，并用消費(fèi)增長(zhǎng)率表示出來(lái)增長(zhǎng)率11輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文兩時(shí)期模型中，消費(fèi)的增長(zhǎng)：12輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文我們還忽略了什么？提示：只有兩期也即是說(shuō)第二期的消費(fèi)存在一個(gè)約束第二期要花完13輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文約束會(huì)有幾種情況？?jī)煞N情況第一期錢(qián)不夠第一期有結(jié)余14輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文預(yù)算約束（budgetconstraint）部分投資：部分貸款：c1c2預(yù)算約束線(xiàn)ABE15輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文剛剛分析了總消費(fèi)量的預(yù)算約束錢(qián)如何在兩期分配下一步？怎么選擇？比較大小怎么比較？定義：效用16輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文定義效用今天消費(fèi)帶來(lái)的效用將來(lái)消費(fèi)帶來(lái)的效用效用：商品滿(mǎn)足人的欲望的能力，或者消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)所感受到的滿(mǎn)足程度17輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文兩期效用的差別：什么偏好？時(shí)間偏好差別受什么影響？個(gè)人偏好人們對(duì)時(shí)間等待存在厭惡18輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文指今后收到或支付的款項(xiàng)折算為現(xiàn)值的利率。-無(wú)忍耐性：個(gè)體不愿為消費(fèi)等太長(zhǎng)時(shí)間。-時(shí)間水平線(xiàn)：個(gè)體不能進(jìn)行長(zhǎng)期計(jì)劃，距現(xiàn)在越遠(yuǎn)的東西，越少被包括在現(xiàn)在的決定中。-不確定性：將來(lái)的計(jì)劃總包含不確定性。貼現(xiàn)率用什么來(lái)反映人們對(duì)時(shí)間等待的厭惡19輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文定義效用今天消費(fèi)帶來(lái)的效用將來(lái)消費(fèi)帶來(lái)的效用效用：商品滿(mǎn)足人的欲望的能力，或者消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)所感受到的滿(mǎn)足程度進(jìn)一步，寫(xiě)成兩期效用的關(guān)系：貼現(xiàn)率將來(lái)的消費(fèi)帶來(lái)的今天的效用20輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文這時(shí)候兩期的效用可比了。怎么做？?jī)煞N商品數(shù)量的選擇于是，消費(fèi)在兩期中選擇便轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)問(wèn)題。什么問(wèn)題？1.預(yù)算約束2.無(wú)差異曲線(xiàn)3.相切21輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文消費(fèi)的效用遞減對(duì)于每個(gè)家庭，額外的消費(fèi)帶來(lái)額外的效用，并且消費(fèi)的邊際效用遞減。cU22輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文簡(jiǎn)單的效用函數(shù)如下：無(wú)差異曲線(xiàn)：連接了具有同樣效用水平的點(diǎn)。c1c2U0U1U223輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文無(wú)差異曲線(xiàn)特征：(1)斜率為負(fù)(2)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的無(wú)差異曲線(xiàn)代表的效用水平越高(3)任何兩條無(wú)差異曲線(xiàn)都不可能相交(4)無(wú)差異曲線(xiàn)凸向原點(diǎn)c1c2U0U1U2AB24輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文跨期替代的彈性跨期的替代彈性：c1c2U0U1U2AB反應(yīng)了無(wú)差異曲線(xiàn)的斜率變化對(duì)消費(fèi)比率的影響程度25輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文凱恩斯－拉姆齊規(guī)則對(duì)數(shù)效用函數(shù)無(wú)差異曲線(xiàn)的斜率：預(yù)算約束線(xiàn)斜率：26輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文c1c2E最優(yōu)點(diǎn)()無(wú)關(guān)曲線(xiàn)，斜率：27輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文消費(fèi)的增長(zhǎng)率凱恩斯－拉姆齊規(guī)則最簡(jiǎn)單的形式一個(gè)變量的對(duì)數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于其增長(zhǎng)率28輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文CES效用函數(shù)無(wú)差異曲線(xiàn)的斜率：預(yù)算約束線(xiàn)斜率：29輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文一個(gè)變量的對(duì)數(shù)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于其增長(zhǎng)率至此，大家聯(lián)系以前學(xué)過(guò)的凱恩斯、哈羅德、索羅等相關(guān)模型，發(fā)現(xiàn)了什么？這里就在談消費(fèi)，沒(méi)那些個(gè)模型什么事！就是消費(fèi)自個(gè)兒在玩~輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文30回顧：索羅動(dòng)態(tài)過(guò)程輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文31y1F[k1,1]=y2=F[k2,1]I1/L1=S1/L1=sy1(K2-K1)/L1=I1/L1K2/L1-k1=sy1（L2–L1

）/L1=nK2/(L2/(1+n))-k1=sy1(1+n)k2-k1=sy1k2-k1=sy1-nk2k2=（sy1+k1）/(1+n)產(chǎn)出投資資本變化產(chǎn)出變化演化過(guò)程輕松學(xué)宏觀(guān)之索羅模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文32Y1C1S1I1K1L1Y2C2S2I2K2L2利率的確定穩(wěn)態(tài)時(shí)若考慮資本折舊以及人口增長(zhǎng)凱恩斯－拉姆齊規(guī)則的一般形式33輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文回憶索羅模型EK*ABCsf(k)f(k)(n+δ)kkk人均消費(fèi)人均儲(chǔ)蓄34輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文資本積累的黃金法則對(duì)于給定的n和δ，對(duì)應(yīng)于每個(gè)儲(chǔ)蓄率s存在唯一的穩(wěn)定狀態(tài)k*=k*(s),k*>0,

dk*(s)/ds>0問(wèn)題：尋找一個(gè)使長(zhǎng)期人均消費(fèi)最大化的增長(zhǎng)率。穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費(fèi)

35輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文黃金法則的分析[1]消費(fèi)增長(zhǎng)率：當(dāng)消費(fèi)最大時(shí)：資本積累的黃金法則36輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文資本積累的黃金法則黃金法則的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義：如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的目標(biāo)是使人均消費(fèi)最大，那么在技術(shù)和勞動(dòng)增長(zhǎng)率不變時(shí)，人均資本的邊際產(chǎn)品應(yīng)等于人口增長(zhǎng)率與折舊率之和37輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文k人均產(chǎn)出等(n+δ)kf(k)kgsgf(k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*38輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文Ramsey-cass-koopmans模型kckGRcGRBgk<0gk>0穩(wěn)態(tài)的消費(fèi)：黃金率39輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文kc當(dāng)gc=0時(shí)kKRk<kKRgc>0gc<0k>kKRgc=040輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文模型的動(dòng)態(tài)學(xué)41輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文模型的動(dòng)態(tài)學(xué)利用相圖，可以研究c、k初始值給定，經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)路徑

k初始值已經(jīng)給定，關(guān)鍵在于c的初始值如何確定。42輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文模型的動(dòng)態(tài)學(xué)43輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文模型的動(dòng)態(tài)學(xué)唯一可能路徑：44輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文kKRgc=0OAA’A’’BB’B’’kc45輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文回顧：拉姆賽--發(fā)現(xiàn)：儲(chǔ)蓄率外生不合理思考：如何內(nèi)生化？收入：消費(fèi)與儲(chǔ)蓄從消費(fèi)入手兩期模型（從簡(jiǎn)單開(kāi)始）消費(fèi)在兩期的分配預(yù)算約束無(wú)差異曲線(xiàn)（效用）最大化兩個(gè)斜率46輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文無(wú)限期界模型家庭效用的描述兩期模型無(wú)限期界每一時(shí)期效用的加總47輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文采用常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)：瞬時(shí)效用函數(shù)48輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文無(wú)限期界模型瞬時(shí)效用函數(shù)無(wú)限期界49輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文回顧：下一步？預(yù)算約束收入資本收益與勞動(dòng)所得50輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文家庭決策行為家庭目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：一生消費(fèi)的現(xiàn)值不能超過(guò)其初始財(cái)富加上一生勞動(dòng)收入的現(xiàn)值。51輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文約束52輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文二、家庭與廠(chǎng)商的行為預(yù)算約束構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：對(duì)c(t)求導(dǎo)數(shù)，得到一階條件為：常規(guī)方法二、家庭與廠(chǎng)商的行為兩邊取對(duì)數(shù)，再對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，有：

上式即歐拉方程已知，C(t)=c(t)A(t)則：模型的動(dòng)態(tài)學(xué)c的動(dòng)態(tài)學(xué)55輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文模型的動(dòng)態(tài)學(xué)56輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文模型的動(dòng)態(tài)學(xué)k的動(dòng)態(tài)學(xué)57輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院熊文k人均產(chǎn)出等(n+δ)kf(k)kgsgf(k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*58輕松學(xué)宏觀(guān)之跨期優(yōu)