高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步【省一等獎(jiǎng)】

(A)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．觀察圖中的四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是()A．(1)是棱臺(tái) B．(2)是圓臺(tái)C．(3)是棱錐 D．(4)不是棱柱解析：圖(1)不是由棱錐截得的，圖(2)的上、下兩個(gè)面不平行，圖(4)的前、后兩個(gè)面平行，其他面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以A，B，D都不正確．答案：C2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是()A．棱柱 B．棱臺(tái)C．圓錐 D．圓臺(tái)解析：先觀察俯視圖，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖還原空間幾何體．由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，由正視圖和俯視圖都是等腰梯形可排除C，故選D.答案：D3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()\f(560,3) B．eq\f(580,3)C．200 D．240解析：先將三視圖還原為空間幾何體，再根據(jù)體積公式求解．由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為2，下底長為8，高為4，故面積為S＝eq\f(2＋8×4,2)＝20.又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.答案：C4．分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面解析：當(dāng)過其中一條直線上同一點(diǎn)時(shí)，共面相交；相交的交點(diǎn)沒有重合情況時(shí)，異面．答案：D5．如圖，PA⊥矩形ABCD，下列結(jié)論中不正確的是()A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．PA⊥BD解析：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，故D正確；∵BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，∴BC⊥PB，故C正確；又CD⊥面PAD，∴PD⊥CD，故B正確．只有A不正確．答案：A6．(2023·長沙高一檢測)已知等邊三角形的邊長為1，那么它的平面直觀圖面積為()\f(\r(3),4) B．eq\f(\r(3),8)\f(\r(6),8) D．eq\f(\r(6),16)解析：底邊長為1，高為eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×sin45°＝eq\f(\r(6),8)，∴S＝eq\f(\r(6),16).答案：D7．如圖，BC是Rt△ABC的斜邊，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于D點(diǎn)，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．8個(gè) B．7個(gè)C．6個(gè) D．5個(gè)解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因?yàn)镻D⊥BC，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD，所以AD⊥BC.圖中直角三角形有△PAC，△PAD，△PAB，△ABC，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB，共8個(gè)．答案：A8．以下說法中，正確的個(gè)數(shù)為()①已知直線a，b和平面α，若a∥b，a∥α，則b∥α；②已知直線a，b，c和平面α.a是斜線，與平面α相交，b是射影所在直線，c?α，且c⊥b，則c⊥a；③三個(gè)平面兩兩相交，且它們的交線各不相同，則這三條交線互相平行；④已知平面α，β，若α∩β＝a，b⊥a，則b⊥α或b⊥β.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①錯(cuò)誤．直線b的位置不確定，直線b可以在α內(nèi)，也可以平行于α.②正確．c同時(shí)垂直于斜線和射影．③錯(cuò)誤．例如，長方體同一頂點(diǎn)的三個(gè)面．④錯(cuò)誤．沒有說明b是否在平面α或β內(nèi)，則b可以在這兩個(gè)平面外．答案：A9．一個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等，且此圓錐底面半徑與此球的直徑相等，則此圓錐的側(cè)面積與此球的表面積之比為()\r(2)∶2 B．eq\r(5)∶2\r(3)∶2 D．3∶2解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))3＝eq\f(1,6)πr3，V錐＝eq\f(1,3)πr2h.由于體積相等，∴eq\f(1,6)πr3＝eq\f(1,3)πr2h，∴h＝eq\f(r,2).∵S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＝πr2，S錐側(cè)＝eq\f(\r(5),2)πr2，∴S錐側(cè)∶S球＝eq\r(5)∶2，所以選B.答案：B10．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)解析：畫出圖形(如圖所示)，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角．在三棱錐D－ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，則cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3).答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)11．把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起形成三棱錐C－ABD，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為________．解析：由題意可知，側(cè)視圖為等腰直角三角形，腰長為eq\f(\r(2),2)，故其面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)12．有下列三個(gè)說法：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．其中正確的有________個(gè)．解析：①中的截面若不平行于底面，則不是棱臺(tái)，故①錯(cuò)；②③中的條件都不能保證多面體的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，故不一定是棱臺(tái)，可知②③錯(cuò)．答案：013．如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．解析：取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG.因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)14．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角是60°.其中正確結(jié)論的序號是________．解析：如右圖所示，①取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正確．②設(shè)正方形的邊長為a，則AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，∴AC＝a，∴△ACD是等邊三角形，故②正確．③由題意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正確．④分別取BC，AC的中點(diǎn)為M，N，連接ME，NE，MN，則MN∥AB，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a，ME∥CD，且ME＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)a，∴∠EMN是異面直線AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，∴NE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)a，∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正確．答案：①②④三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如圖所示易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1，S圓錐底＝2πr2＝2π，S圓錐側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S圓錐底＋S圓錐側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.16．(本小題滿分12分)如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．求證：(1)AC⊥PB；(2)PB∥平面AEC.證明：(1)如圖所示，∵PA⊥平面ABCD，∴AC?平面ABCD，∴PA⊥AC.又∵AB⊥AC，而AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB，PB?面PAB，∴AC⊥PB.(2)如圖所示，連接BD，與AC相交于點(diǎn)O，連接EO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB.∵PB?平面AEC，EO?平面AEC，∴PB∥平面AEC.17．(本小題滿分13分)養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m．養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪種方案更經(jīng)濟(jì)些？解析：(1)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積：V1＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))2×4＝eq\f(256,3)π(m3)．如果按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積：V2＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2×8＝eq\f(288,3)π(m3)．(2)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，半徑為8m．圓錐的母線長為l＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)(m)，則倉庫的表面積S1＝π×8×4eq\r(5)＝32eq\r(5)π(m2)．如果按方案二，倉庫的高變成8m．圓錐的母線長為l＝eq\r(82＋62)＝10(m)，則倉庫的表面積S2＝π×6×10＝60π(m2)．(3)∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更經(jīng)濟(jì)．18．(本小題滿分13分)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，A1B1的中點(diǎn)，(1)若M在側(cè)面A1D1DA及其邊界上運(yùn)動(dòng)，問M在哪條線段上運(yùn)動(dòng)均能使A1C∥平面AME？并證明你的結(jié)論；(2)求證：平面AED1∥平面C1FB.解析：(1)當(dāng)M在AD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總能使A1C∥面AEM.證明如下：連接A1D，取A1D的中點(diǎn)為G，連接EG，∵E，G分別為CD，A1D的中點(diǎn)，∴EG∥A1C.∵EG?面AEG.∴A1C∥面AEG，∵當(dāng)M在AD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EG總在面AEM內(nèi)，∴A1C∥面AEM，故M在AD1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總能使A1C∥面AEM.(2)證明：在正方體中，連接AD1，D1E，∵AD1∥BC1，BC1?面AED1，∴BC1∥面AED1.取AB中點(diǎn)H，連接FH，CH，C1F，∵FH綊CC1，∴四邊形FHCC1為平行四邊形，∴FC1∥HC.又易知四邊形AHCE為平行四邊形，∴AE∥HC，∴C1F∥AE.又∵C1F?面D1AE，∴C1F∥面D1AE.而BC1∩C1F＝C1，且BC1，C1F?面BC1F，∴面BC1F∥面D1AE.

(B)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．在空間中，下列說法中正確的是()①平行于同一直線的兩直線平行；②垂直于同一直線的兩直線平行；③平行于同一平面的兩直線平行；④垂直于同一平面的兩直線平行．A．①③④ B．①④C．① D．②③④解析：①正確，由平行公理可證；②錯(cuò)誤，如圖所示，A1D1⊥AA1，AB⊥AA1，但A1D1與AB不平行；③錯(cuò)誤，AA1∥平面DC1，A1B1∥平面DC1，但AA1∩A1B1＝A1；④正確．答案：B2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()解析：先觀察俯視圖，再結(jié)合主視圖和側(cè)視圖還原為空間幾何體．由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，C，進(jìn)一步將已知三視圖還原為幾何體，可得選項(xiàng)D.答案：D3．設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，該球的表面積為()A．3πa2 B．6πa2C．2πa2 D．24πa2解析：由長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，則長方體的體對角線為eq\r(2a2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a，與外接球的直徑相等，故2R＝eq\r(6)a，S球＝4πR2＝6πa2.答案：B4．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A．8 B．7C．6 D．5解析：由正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體由兩層小正方體拼接成；由俯視圖可知，最下層有5個(gè)小正方體；結(jié)合三個(gè)圖可知，上層僅有一個(gè)正方體．所以共有6個(gè)小正方體．答案：C5．如圖，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：D∈l，l?β，∴D∈β，又C∈β，∴CD?β；同理，CD?平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案：C6．已知點(diǎn)O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的是()A．直線OA1⊥平面AB1C1 B．直線OA1∥平面CB1D1C．直線OA1⊥直線AD D．直線OA1∥直線BD1解析：可證平面A1BD∥平面CB1D1.答案：B7．一平面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形只有一條對角線與這個(gè)截面平行，那么這四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是()A．平行四邊形 B．菱形C．梯形 D．任意四邊形解析：如圖所示，AC∥平面EFGH，則EF∥HG，而對角線BD與平面EFGH不平行，所以EH與FG不平行．所以四邊形EFGH是梯形．答案：C8．如圖，三棱錐V－ABC中，每個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角均相等，且VO⊥平面ABC，垂足為O，則點(diǎn)O是△ABC的()A．垂心 B．重心C．內(nèi)心 D．外心解析：在△VOD，△VOE，△VOF中，因?yàn)椤蟅DO＝∠VEO＝∠VFO，且VO公用，∴Rt△VOD≌Rt△VOE≌Rt△VOF，∴OD＝OE＝OF，∴O為△ABC的內(nèi)心．答案：C9．已知二面角α－AB－β的平面角是銳角θ，面α內(nèi)有一點(diǎn)C到β的距離為3，點(diǎn)C到棱AB的距離為4，那么tanθ＝()\f(3\r(7),7) B．eq\f(\r(3),7)\f(3,4) D．eq\f(3,5)解析：如圖，作CE⊥β，CD⊥AB，則CE＝3，CD＝4，DE⊥AB，∴∠CDE為二面角α－AB－β的平面角，即∠CDE＝θ.在Rt△CDE中，DE＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，∴tanθ＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(3,\r(7))＝eq\f(3\r(7),7).答案：A10．把表面積相等的球與正方體的體積依次記為V球與V正方體，球的直徑為d，正方體的棱長為a，則有()A．d>a，V球>V正方體 B．d>a，V球<V正方體C．d<a，V球>V正方體 D．d<a，V球<V正方體解析：πd2＝6a2，∴d2＝eq\f(6,π)a2>a2，∴d>a.又d＝eq\r(\f(6,π))a，∴eq\f(V球,V正方體)＝eq\f(\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))3,a3)＝eq\r(\f(6,π))>1.∴V球>V正方體．答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)11．設(shè)α，β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；④若l與α內(nèi)的兩條直線垂直，則直線l與α垂直．上面命題中，正確的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)解析：①即面面平行的判定定理；②即線面平行的判定定理；③由α內(nèi)有一條直線垂直于l不能得到該直線垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正確；④不符合線面垂直的判定定理，因此不正確．答案：①②12．若圓錐的側(cè)面積為2π，底面積為π，則該圓錐的體積為________．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h.∵πr2＝π，∴r＝1.又πrl＝2π，∴l(xiāng)＝2.則h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).故該圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),3)π.答案：eq\f(\r(3),3)π13．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是______________．解析：由三視圖知該幾何體是躺著的三棱柱，底面是等腰三角形，底邊上的高為1，側(cè)棱長為3，S底＝eq\f(1,2)×2eq\r(22－1)×1＝eq\r(3).S側(cè)＝(2＋2＋2eq\r(3))×3＝12＋6eq\r(3)S表＝2S底＋S側(cè)＝2eq\r(3)＋12＋6eq\r(3)＝12＋8eq\r(3)答案：12＋8eq\r(3)14．(2023·長沙高一檢測)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA1＝eq\r(2)，則異面直線A1B1與BD1所成的角的大小等于________．解析：因?yàn)锳1B1∥AB，所以∠ABD1是異面直線A1B1與BD1所成的角．在Rt△ABD1中，∠BAD1＝90°，AB＝1，AD1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1D\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3)，所以tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，所以∠ABD1＝60°.答案：60°三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)畫出如圖所示幾何體的三視圖．解析：該幾何體的上面是一個(gè)圓柱，下面是一個(gè)四棱柱，其三視圖如圖所示．16．(本小題滿分12分)已知一直棱柱底面是菱形，該棱柱的對角線長分別為15cm,9cm，高為5cm，求這個(gè)棱柱的側(cè)面積．解析：如圖所示，設(shè)BD1＝9cm，A1C＝15cm.∵A1A＝D1D＝5cm，∴BD2＝D1B2－D1D2＝92－52＝56，AC2＝A1C2－A1A2＝152－52＝200.∵四邊形ABCD為菱形，∴AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝BD2＋AC2，即4AB2＝56＋200＝256，∴2AB＝16，∴AB＝8cm，∴S棱柱側(cè)＝4AB·A1A＝4×8×5＝160(cm2)，故此棱柱的側(cè)面積為160cm2.17．(本小題滿分13分)如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．(1)證明：AD⊥C1E；(2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1－A1B1E的體積．解析：(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②，得AD⊥平面BB1C1C.由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E?平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題意知∠A1C1E＝6