第2章一般回歸估計(jì)方法

1第二章一般回歸方法

在所有經(jīng)典假設(shè)成立的前提下，利用普通最小二乘法估計(jì)結(jié)果具有優(yōu)良的線性無偏最小方差的性質(zhì)。然而，當(dāng)經(jīng)典的假設(shè)不成立時(shí)，普通最小二乘法估計(jì)將得不到良好的估計(jì)結(jié)果，本章將介紹常見的在不符合經(jīng)典假設(shè)情況時(shí)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型估計(jì)方法。

2本章知識(shí)框架

§2.1加權(quán)最小二乘估計(jì)§2.2兩階段最小二乘法§2.3逐步篩選最小二乘估計(jì)§2.4廣義最小二乘法§2.5對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)法§2.6廣義矩方法（GMM）§2.7貝葉斯估計(jì)3本章主要內(nèi)容

4

線性回歸模型的基本假設(shè)

i=1,2,…,N

在普通最小二乘法中，為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)：

1．解釋變量之間互不相關(guān)；

2．隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差。即i=1,2,…,N

即隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差是與觀測(cè)時(shí)點(diǎn)i無關(guān)的常數(shù)；

3．不同時(shí)點(diǎn)的隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)（序列不相關(guān)），即s≠0,i=1,2,…,N

5

當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~4時(shí)，將回歸模型”稱為“標(biāo)準(zhǔn)回歸模型”，當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~5時(shí)，將回歸模型稱為“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)回歸模型”。如果實(shí)際模型滿足不了這些假定，普通最小二乘法就不再適用，而要發(fā)展其他方法來估計(jì)模型。5．隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即~i=1,2,…,N

4．隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間互不相關(guān)。即

j=1,2,…,k,i=1,2,…,N

§2.1

異方差性：加權(quán)最小二乘估計(jì)

671．定義

古典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)是總體回歸方程的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui同方差，即他們具有相同的方差

2。如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差隨觀測(cè)值不同而異，即ui的方差為i2，就是異方差。用符號(hào)表示異方差為E(ui2)

=

i2

。

§2.1.1異方差概述

8

異方差性在許多應(yīng)用中都存在，但主要出現(xiàn)在截面數(shù)據(jù)分析中。例如我們例如我們調(diào)查城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂支出（Cum）和城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）之間的關(guān)系，建立如下模型：我們將發(fā)現(xiàn)高收入家庭人均文教娛樂支出往往會(huì)有更大的方差。這是因?yàn)榈褪杖爰彝?，其收入扣除必要生活支出外，用于其他支出的?shù)額較少，因而其波動(dòng)性也就小。而高收入家庭在扣除了必要的生活支出外，還可以有很大一部分用于其他方面的消費(fèi)，因而其有比較大的波動(dòng)性。2．成因（1）模型中遺漏了某些解釋變量模型中被省略的解釋變量會(huì)隨著樣本的變化而變化，具有差異性，當(dāng)其被歸并到隨機(jī)項(xiàng)中時(shí)，隨機(jī)項(xiàng)將會(huì)有異方差的性質(zhì)（2）變量樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差一方面，當(dāng)解釋變量取值越大時(shí)，測(cè)量誤差就會(huì)變大；另一方面測(cè)量誤差也跟測(cè)量技術(shù)，時(shí)間等有關(guān)9

（3）截面數(shù)據(jù)中個(gè)樣本的差異一般而言，異方差在截面數(shù)據(jù)中比在時(shí)間序列中更容易出現(xiàn)，因?yàn)樵谕粫r(shí)刻，不同樣本之間的差異往往會(huì)比同一樣本在不同時(shí)刻的差異要大（4）模型形式設(shè)定有誤函數(shù)設(shè)定有誤時(shí)，解釋變量不能很好地解釋被解釋變量，隨機(jī)誤差項(xiàng)也不具有同方差的性質(zhì)103.異方差后果（1）最小二乘估計(jì)量仍然是線性無偏的，但是卻不再具有最小方差，即不是最為有效的估計(jì)量，即使對(duì)大樣本也是如此（2）參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和置信區(qū)間的建立會(huì)存在問題（3）雖然最小二乘法參數(shù)的估計(jì)量是無偏的，但是這些參數(shù)方差的估計(jì)量有偏（4）預(yù)測(cè)（預(yù)測(cè)值和區(qū)間估計(jì)）的精確度降低

11§2.1.2異方差檢驗(yàn)圖示檢驗(yàn)法White異方差檢驗(yàn)—輔助回歸檢驗(yàn)法1213

1.圖示檢驗(yàn)法

(1)用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

觀察是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）14

（2）X-?i2的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

首先采用OLS方法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)u的方差i2的估計(jì)量(注意，該估計(jì)量是不嚴(yán)格的)，我們稱之為“近似估計(jì)量”，用ei2表示。于是有(4.1.5)即用ei2來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。用解釋變量x

和ei2的散點(diǎn)圖進(jìn)行觀察是否隨著x增加，出現(xiàn)方差的逐漸增加、下降或者不規(guī)則變化。

15162.White異方差性檢驗(yàn)

輔助回歸法有多種檢驗(yàn)方法，包括BPG異方差檢驗(yàn)、Harvey異方差檢驗(yàn)、Glejser異方差檢驗(yàn)、White檢驗(yàn)等方法，其中最為常用的是White檢驗(yàn)，幾種方法在EViews中的操作方法類似。受篇幅限制，這里只介紹White異方差檢驗(yàn)方法。

White(1980)提出了對(duì)最小二乘回歸中殘差的異方差性的檢驗(yàn)。包括有交叉項(xiàng)和無交叉項(xiàng)兩種檢驗(yàn)。普通最小二乘估計(jì)雖然在存在異方差性時(shí)是一致的，但是通常計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差不再有效。如果發(fā)現(xiàn)存在異方差性，利用加權(quán)最小二乘法可以獲得更有效的估計(jì)。

17

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是通過利用解釋變量所有可能的交叉乘積對(duì)殘差進(jìn)行回歸來計(jì)算的。例如：假設(shè)估計(jì)如下方程(2.1.4)式中b是估計(jì)系數(shù)，?i是殘差。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量基于輔助回歸：(2.1.5)EViews顯示兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2

統(tǒng)計(jì)量。White檢驗(yàn)的原假設(shè)：不存在異方差性（也就是，式（2.1.5）中除0以外的所有系數(shù)都為0成立）。18White證明出：（2.1.6）其中：N是樣本容量，k為自由度，等于式（2.1.5）中解釋變量個(gè)數(shù)（不包含截距項(xiàng)）。如果計(jì)算的2值大于給定顯著性水平對(duì)應(yīng)的臨界值，則可以拒絕原假設(shè)，得出存在異方差的結(jié)論。也就是說，回歸方程（2.1.5）的R2越大，說明殘差平方受到解釋變量影響越顯著，也就越傾向于認(rèn)為存在異方差。如果原模型中包含的解釋變量較多，那么輔助回歸中將包含太多的變量，這會(huì)迅速降低自由度。因此，在引入變量太多時(shí)，必須謹(jǐn)慎一些。White檢驗(yàn)的另外一種形式，就是輔助回歸中不包含交叉項(xiàng)。因此White檢驗(yàn)有兩個(gè)選項(xiàng)：交叉項(xiàng)和無交叉項(xiàng)。19表2.1中國2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂服務(wù)消費(fèi)支出(cum)與城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）

數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計(jì)局

20

例2.1：利用表2.1的數(shù)據(jù)，建立2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂服務(wù)消費(fèi)支出(cum)與城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）的回歸模型，樣本數(shù)為31，建立的回歸方程為：

cumi=0+1ini

+ui

利用普通最小二乘法，得到如下回歸模型：

用White檢驗(yàn)方法對(duì)（2.1.7）的回歸殘差進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，建立的輔助回歸方程為：

在Eview上選擇White，則得到的檢驗(yàn)結(jié)果為:21

表2.2White檢驗(yàn)結(jié)果

該結(jié)果F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2

統(tǒng)計(jì)量的P值均很大，表明不拒絕原假設(shè)，即殘差不存在異方差性。22

異方差的存在并不破壞普通最小二乘法的無偏性，但是估計(jì)量卻不是有效的，即使對(duì)大樣本也是如此，因?yàn)槿狈τ行?，所以通常的假設(shè)檢驗(yàn)值不可靠。因此懷疑存在異方差或者已經(jīng)檢測(cè)到異方差的存在，則采取補(bǔ)救措施就很重要。就選用估計(jì)方法來講，可以采用加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquared,WLS）估計(jì)獲得有效估計(jì)量。加權(quán)最小二乘法的原理是將權(quán)重序列分別于每個(gè)變量的觀測(cè)值相乘，從而得到一個(gè)具有同方差的新模型，然后再對(duì)該新模型進(jìn)行OLS估計(jì)。23§2.1.3加權(quán)最小二乘估計(jì)WLS

1．方差已知的情形考慮一個(gè)一元回歸線性方程：（2.1.9）假設(shè)已知隨機(jī)誤差項(xiàng)的真實(shí)的方差，var(ui)=i2，則令

,將模型兩端同乘wi，變換為（2.1.10）令ui*=wiui，則（2.1.11）

24

因此，變換后的模型（2.1.10）不再存在異方差的問題，可以用OLS估計(jì)。加權(quán)最小化殘差平方和為：（2.1.11）由此獲得的估計(jì)量就是權(quán)重序列為{wi}的加權(quán)最小二乘估計(jì)量。25考慮多元線性回歸模型的矩陣形式：其中是（k+1）

1維向量，y和X是因變量和自變量矩陣。在矩陣概念下，令權(quán)數(shù)序列w在權(quán)數(shù)矩陣W的對(duì)角線上，其他地方是零，即W矩陣是對(duì)角矩陣，則用W左乘等式兩邊，得到一個(gè)新的模型為：（2.1.13）

估計(jì)協(xié)方差矩陣為：（2.1.14）

則加權(quán)最小二乘估計(jì)量為：26§2.1.3加權(quán)最小二乘估計(jì)WLS

2．方差未知的情形①誤差方差與成比例可以根據(jù)圖示法,把回歸殘差對(duì)解釋變量X作圖，如果與X成線性相關(guān)，即：

可將模型做如下變換：

令，則

27§2.1.3加權(quán)最小二乘估計(jì)WLS

②誤差方差與成比例令

可將模型做如下變換：

令，則類似上面的方程也可以證明可以使用OLS估計(jì)。

③用隨機(jī)項(xiàng)的近似估計(jì)值求權(quán)重序列該方法的原理是假定通過OLS估計(jì)出的殘差值的平方代表隨機(jī)項(xiàng)的方差。因此，也可以求出權(quán)重序列。具體操作方法如下：1．選擇普通最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量?t

；

2．建立wi=1/|?t

|的權(quán)數(shù)序列；

3．選擇加權(quán)最小二乘法，以wi=1/|?t

|序列作為權(quán)，進(jìn)行估計(jì)得到參數(shù)估計(jì)量。實(shí)際上是以1/|?t

|乘原模型的兩邊，得到一個(gè)新模型，采用普通最小二乘法估計(jì)新模型。

2829

例2.2利用表2.1的數(shù)據(jù)，建立2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂服務(wù)消費(fèi)支出(cum)與城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）的回歸模型為：普通最小二乘估計(jì)得出如下回歸結(jié)果：

在例2.1中我們通過White異方差檢驗(yàn)出該模型存在異方差。因此我們需要采用最小加權(quán)二乘法對(duì)其進(jìn)行重新估計(jì)。30以wi=1/|?i|為權(quán)重序列，將原回歸方程的每一項(xiàng)乘以wi，將會(huì)消除異方差的存在，變換后的模型為：然后再進(jìn)行OLS估計(jì)，結(jié)果如下：

與OLS結(jié)果比較，擬合優(yōu)度與由0.86提高到0.99，說明解釋變量對(duì)被解釋變量的解釋程度提高。F值由184.62提高到3023.01，模型的顯著性明顯改善，說明估計(jì)的效果更好，并且對(duì)用White異方差檢驗(yàn)方法分析該回歸方程時(shí)，可以看出來用WLS估計(jì)得到的結(jié)果消除了異方差。

31

1.White異方差檢驗(yàn)在將方程進(jìn)行OLS估計(jì)之后，如果需要進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，則在界面中選擇“View/ResidualTest/HerteroskedasticityTest”,將出現(xiàn)如下的界面：§2.1.4異方差檢驗(yàn)與加權(quán)最小二乘法的EViews軟件實(shí)現(xiàn)

32在該界面中，可以選擇不同的估計(jì)方法。在這里，我們選擇White檢驗(yàn)法，將會(huì)得到結(jié)果為：33

加權(quán)最小二乘法首先需要用OLS估計(jì)模型，得到殘差序列，然后構(gòu)造相應(yīng)的權(quán)重序列按步驟進(jìn)行WLS估計(jì)。然而，EViews給我們提供了相當(dāng)方便的操作，在完成OLS估計(jì)后，再選擇新的OLS模型，然后選擇Options出現(xiàn)圖2.1.1所示的對(duì)話框。在Weightseries中輸入權(quán)重序列w，w為殘差序列的絕對(duì)值的倒數(shù)。（本題中令w=1/abs（resid）），即可：34

單擊“確定”估計(jì)方程，將同時(shí)顯示加權(quán)最小二乘估計(jì)結(jié)果和沒有采用加權(quán)的方法的結(jié)果：35§2.2

兩階段最小二乘法TSLS

解決隨機(jī)解釋變量問題3638§2.2

二階段最小二乘法

回歸分析的一個(gè)基本假設(shè)是方程的解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。但是，由于解釋變量測(cè)量誤差的存在，用于估計(jì)模型參數(shù)的數(shù)據(jù)經(jīng)常與它們的理論值不一致；或者由于遺漏了變量，使得隨機(jī)誤差項(xiàng)中含有可能與解釋變量相關(guān)的變量，即隨機(jī)解釋變量問題。這些都可能導(dǎo)致解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)的相關(guān)。出現(xiàn)這種問題時(shí)，OLS和WLS估計(jì)量都有偏差且不一致，因而要采用其他方法估計(jì)。最常用的估計(jì)方法是二階段最小二乘法。39

考慮多元線性回歸模型的矩陣形式

其中：y和X是因變量和解釋變量數(shù)據(jù)矩陣，是系數(shù)向量。

為簡化起見，我們稱與殘差相關(guān)的變量為內(nèi)生變量，與殘差不相關(guān)的變量為外生變量或前定變量。解決方程右邊解釋變量與殘差相關(guān)的方法是使用工具變量回歸。就是要找到一組變量滿足下面兩個(gè)條件：（1）與方程解釋變量相關(guān)；（2）與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)；40

選擇zi=(z1i,z2i,…,zki)作為工具變量，它與解釋變量相關(guān)，但與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)，即

這些變量就可成為工具變量。用這些工具變量來消除右邊解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān)性。41

二階段最小二乘方法（twostageleastsquare，TSLS）本質(zhì)上屬于工具變量法，它包括兩個(gè)階段：第一個(gè)階段，找到一組工具變量，模型中每個(gè)解釋變量分別關(guān)于其他外生解釋變量、該組工具變量作最小二乘回歸，得到擬合值；第二個(gè)階段，所有解釋變量用第一個(gè)階段回歸得到的擬合值來代替，對(duì)原方程進(jìn)行回歸，這樣求得的回歸系數(shù)就是TSLS估計(jì)值?？梢宰C明二階段最小二乘估計(jì)量是一致估計(jì)量。42

不必?fù)?dān)心TSLS估計(jì)中分離的階段，因?yàn)镋Views會(huì)使用工具變量技術(shù)同時(shí)估計(jì)兩個(gè)階段。令Z為工具變量矩陣，y和X是因變量和解釋變量矩陣。則二階段最小二乘估計(jì)的系數(shù)由下式計(jì)算出來：

系數(shù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣為：其中s2是回歸標(biāo)準(zhǔn)差（估計(jì)殘差協(xié)方差）。

43例2.3在表2-2中，給出了我國1990~2013年的國內(nèi)生產(chǎn)總值和全國居民消費(fèi)數(shù)據(jù)。其國內(nèi)生產(chǎn)總值是通過支出法核算得到的，兩組數(shù)據(jù)的單位均為億元。以GDP代表國內(nèi)生產(chǎn)總值，CU為消費(fèi)水平。建立如下的一元回歸模型：本例中可以將工具變量設(shè)定為趨勢(shì)變量t和常數(shù)項(xiàng)c。c是對(duì)任何模型都是非常好的工具變量，在這里需要注意的是，工具變量中的變量數(shù)量一定要大于等于方程中等式右邊的內(nèi)生變量的數(shù)量。

44采用兩階段最小二乘法（TSLS）可以得到如下的結(jié)果：系數(shù)2.88表示了消費(fèi)（cu）對(duì)國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增加有乘數(shù)作用，即消費(fèi)每增加一單位時(shí)，國內(nèi)生產(chǎn)總值將增加2.88單位。4546

例2.3中的模型的兩階段最小二乘法實(shí)現(xiàn)步驟為：第一步，本例中將工具變量設(shè)定為趨勢(shì)變量t和常數(shù)項(xiàng)c。c是對(duì)任何模型都是一個(gè)非常好的工具變量，因此即使用戶沒有輸入常數(shù)項(xiàng)c，系統(tǒng)也會(huì)將其加入自動(dòng)加入工具變量的列表中，由于需要趨勢(shì)變量t，需要在該工作文件中建立一個(gè)新序列，命名為“t”，然后輸入數(shù)字“1990-2013”。第二步，選擇“Quick/EstimateEquation”選項(xiàng)，在打開的圖2.7所示的方程對(duì)話框的“Method”列表中選擇“TSLS”估計(jì)方法。第三步，在圖2.7中對(duì)話框列出解釋變量和被解釋變量，然后在工具變量列表中輸入工具變量。474849

第四步，將兩階段最小二乘法的估計(jì)結(jié)果與普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較，圖2.9為普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果。通過比較發(fā)現(xiàn)，兩階段最小二乘法消除了解釋變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)性。502.3逐步最小二乘回歸

STEPLS：篩選解釋變量51522.3.1逐步最小二乘回歸

建立回歸模型的時(shí)候，可能會(huì)面臨很多解釋變量的取舍問題，這些解釋變量（包括相應(yīng)的滯后變量）在經(jīng)濟(jì)意義上可能都對(duì)因變量有影響而難以取舍，這種情形下，可以通過逐步回歸分析方法（stepwiseleastsquaresregression,STEPLS）利用各種統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則篩選解釋變量。53逐步篩選最小二乘法包括兩類，前向逐步篩選法（Forward）和后向逐步篩選法（Backward）兩種。兩種方法都是利用最大t值或者相對(duì)應(yīng)的最小p值作為變量入選標(biāo)準(zhǔn)，即根據(jù)變量的顯著性進(jìn)行篩選。前向法是根據(jù)最小p值進(jìn)行逐步回歸。首先，設(shè)定變量的入選p值標(biāo)準(zhǔn)（比如0.05），即將入選變量的顯著性水平設(shè)為5%；其次，選擇所有變量中p值最小并且小于所設(shè)定入選p值標(biāo)準(zhǔn)的變量加入模型，接著在剩余變量中一直篩選下去；當(dāng)剩余的每個(gè)變量加入模型后其p值都大于設(shè)定的p值時(shí)，或者增加回歸變量的數(shù)量達(dá)到了建模者事先設(shè)定的數(shù)值時(shí)，逐步回歸運(yùn)算結(jié)束。逐步篩選最小二乘法實(shí)現(xiàn)步驟54

后向法與前向法類似，只不過這種方法一開始就將全部的備選變量加入模型，然后選擇p值最大的變量，如果此變量的p值大于事先設(shè)定的數(shù)值，則將其剔除掉，然后再在剩余的變量中依次選擇剔除變量，直到模型中剩余的解釋變量所對(duì)應(yīng)的p值都小于設(shè)定值，或者增加回歸變量的個(gè)數(shù)達(dá)到設(shè)定數(shù)值時(shí)結(jié)束篩選。55本例研究的是我國全社會(huì)固定資產(chǎn)投資額（inv）的影響因素。采用的是1990-2012年的數(shù)據(jù)，備選的解釋變量是國內(nèi)生產(chǎn)總值（gdp）居民消費(fèi)（rc）、政府消費(fèi)（gc）、國民收入指數(shù)（p）以及它們滯后1期的序列。通過逐步篩選最小二乘法最終確定對(duì)投資有顯著影響的解釋變量。本例中，選取的顯著性檢驗(yàn)水平為0.05，使用逐步篩選最小二乘法的前向法，最終可以得到的模型為：2.3.2.逐步篩選最小二乘法的EViews軟件實(shí)現(xiàn)56由于國內(nèi)生產(chǎn)總值滯后項(xiàng)（gdp（-1））居民消費(fèi)滯后項(xiàng)（rc（-1））全社會(huì)固定資產(chǎn)投資額滯后項(xiàng)（inv（-1））系數(shù)所對(duì)應(yīng)的p值均小于所設(shè)定的檢驗(yàn)水平0.05，故選擇這3個(gè)變量作為模型的解釋變量進(jìn)行建模分析。57以例2.4為實(shí)現(xiàn)對(duì)象，在方程估計(jì)方法選擇的對(duì)話框中選擇“STEPLS-StepwiseLeastSquares”，EViews會(huì)顯示圖2.10所示的窗口，使用逐步篩選最小二乘回歸法時(shí)，方程的設(shè)定只能選用列表法。在上面的對(duì)話框中輸入要分析的被解釋變量和必須要保留的解釋變量。在下面的對(duì)話框中輸入可能會(huì)在最終模型中出現(xiàn)的備擇解釋變量。58圖2.10逐步最小二乘分析變量設(shè)定對(duì)話框59然后，在選項(xiàng)（“option”）中進(jìn)行設(shè)定，“SelectionMethod”是用來設(shè)定逐步回歸的方法，EViews默認(rèn)為前向法（“Forward”），本例也是采用這種方法進(jìn)行分析，還可以采用的方法是向后法（“Backward”）。其次，還需要設(shè)定檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)：EViews中允許使用p值或者t值來判斷，對(duì)于本例，我們選用p值來判斷，輸入其標(biāo)準(zhǔn)為0.05，并且還可以控制回歸變量個(gè)數(shù)，通過“Usenumberofregressors”來完成，即一旦增加或者去掉的變量個(gè)數(shù)達(dá)到這個(gè)值時(shí)，逐步篩選將會(huì)停止。通過設(shè)定最大步數(shù)（“Maximumsteps”）可以規(guī)定逐步篩選運(yùn)行的最多次數(shù)，其中“Forwards”規(guī)定了最多的增加變量的次數(shù)，而“Backwards”規(guī)定了最多的減少變量的次數(shù)。60612.4廣義最小二乘估計(jì)適用于估計(jì)同時(shí)存在序列相關(guān)與異方差問題的模型622.4.1廣義最小二乘法概述2.4.2廣義最小二乘法的EViews軟件實(shí)現(xiàn)682.5對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)法

極大似然估計(jì)法(maximumlikelihood,ML)，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計(jì)方法，是從極大似然原理發(fā)展起來的其他估計(jì)方法的基礎(chǔ)。雖然其應(yīng)用沒有最小二乘法普遍，但在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論上占據(jù)很重要的地位，因?yàn)闃O大似然原理比最小二乘原理更本質(zhì)地揭示了通過樣本估計(jì)母體參數(shù)的內(nèi)在機(jī)理，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的發(fā)展更多的是以極大似然估計(jì)原理為基礎(chǔ)的，對(duì)于一些特殊的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，只有極大似然方法才是很成功的估計(jì)方法。

69

考慮多元線性回歸模型的一般形式

t=1,2,…,T

其中k是解釋變量個(gè)數(shù)，T是觀測(cè)值個(gè)數(shù)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)

那么

yt服從如下的正態(tài)分布：

其中70

y

的隨機(jī)抽取的T

個(gè)樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率函數(shù)為

這就是變量y的似然函數(shù)，未知參數(shù)向量={1,2,…k,2}。對(duì)似然函數(shù)求極大值和對(duì)數(shù)似然函數(shù)求極大值是等價(jià)的，上式的對(duì)數(shù)似然函數(shù)形式為：

71

令為含有未知參數(shù)的向量，將lnL分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即： （2.5.5）從而可以求得的值。利用對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)法估計(jì)一個(gè)模型，主要是建立包含樣本中的各個(gè)觀測(cè)值的未知參數(shù)的極大似然函數(shù)。

72本例將以一元線性回歸模型，詳細(xì)說明對(duì)數(shù)極大似然的建立過程。例2.5一元線性回歸方程的極大似然估計(jì)在表中，給出了我國1990-2012年城鎮(zhèn)居民的人均可支配收入（inc）和城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)水平（cs），以城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)水平為被解釋變量，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為解釋變量建立如下的凱恩斯消費(fèi)方程：2.5.2對(duì)數(shù)極大似然估計(jì)法的EViews軟件實(shí)現(xiàn)式中，α代表了自發(fā)消費(fèi)，β代表邊際消費(fèi)傾向。觀測(cè)值得個(gè)數(shù)T=23.利用前面的公式（2.5.4）我們可以寫出方程對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)：73

（2.5.7）然后對(duì)其進(jìn)行極大似然求解，可以得到α和β的值，寫成回歸方程的形式為： (2.5.8)對(duì)數(shù)似然函數(shù)值=-154.69AIC=13.71若用最小二乘回歸分析該模型，會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果與極大似然函數(shù)法估計(jì)的結(jié)果是一樣的。7475以例2.5為實(shí)現(xiàn)對(duì)象，在利用極大似然函數(shù)法時(shí)，首先創(chuàng)建一個(gè)似然對(duì)象，選擇Object/NewObject/LogL。將會(huì)彈出一個(gè)空白窗口，在這個(gè)窗口里可以輸入描述統(tǒng)計(jì)模型的說明語句。如圖2.15所示。76第一行的是似然貢獻(xiàn)序列的說明，即序列中存儲(chǔ)了不同時(shí)刻t的對(duì)數(shù)似然貢獻(xiàn)，res=cs-c(1)-c(2)*inc計(jì)算了殘差，參數(shù)c(1)、c(2)代表了未知參數(shù)，var是對(duì)數(shù)似然函數(shù)式中的待估參數(shù)；logl=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2語句是說明極大似然貢獻(xiàn)的方程。@dnorm函數(shù)指的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。似然函數(shù)的說明語句輸入完畢之后，點(diǎn)擊Estimate，再按下“確定”按鈕，即可得到極大似然函數(shù)的估計(jì)結(jié)果，如圖2.16所示。77§2.6廣義矩估計(jì)方法（GMM）廣義矩估計(jì)GMM是基于模型滿足的一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計(jì)法，是矩估計(jì)方法的一般化。7879

廣義矩估計(jì)方法（GMM）是基于模型實(shí)際參數(shù)滿足一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計(jì)方法，是矩估計(jì)方法的一般化。如果模型的設(shè)定是正確的，則總能找到該模型實(shí)際參數(shù)滿足的若干矩條件而采用GMM方法。GMM估計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是參數(shù)應(yīng)滿足的一種理論關(guān)系。其思想是選擇參數(shù)估計(jì)盡可能接近理論上的關(guān)系。把理論上的關(guān)系用樣本近似值代替，并且估計(jì)量的選擇就是要最小化理論值和實(shí)際值之間的加權(quán)距離。80

由于傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型估計(jì)方法，例如普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法等，都有它們的局限性，其參數(shù)估計(jì)量必須在模型滿足某些假設(shè)時(shí)才具有良好的性質(zhì)，如只有當(dāng)模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布或某一已知分布，極大似然法估計(jì)量才是可靠的估計(jì)量；而GMM估計(jì)是一個(gè)穩(wěn)健估計(jì)量，因?yàn)樗灰髷_動(dòng)項(xiàng)的準(zhǔn)確分布信息，允許隨機(jī)誤差項(xiàng)存在異方差和序列相關(guān)，所得到的參數(shù)估計(jì)量比其他參數(shù)估計(jì)方法更合乎實(shí)際；而且可以證明，GMM包容了許多常用的估計(jì)方法，普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法都是它的特例。812.6.1矩法估計(jì)量

矩估計(jì)是基于實(shí)際參數(shù)滿足一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計(jì)方法，如果隨機(jī)變量Y的期望值是，即

則是滿足相應(yīng)的樣本矩條件，即

82

現(xiàn)在，考慮一元古典線性回歸模型中的假設(shè)條件：

其所對(duì)應(yīng)的樣本矩條件分別為

這就是OLS估計(jì)量的正規(guī)方程組。因此，OLS估計(jì)量是一個(gè)矩法估計(jì)量。83

再比如二階段普通最小二乘法中，假定解釋變量與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)可能相關(guān)，找到一組與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)的工具變量Z，因而正規(guī)方程組發(fā)生變化，由矩條件：得到了如下參數(shù)估計(jì)量形式。因此許多標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量，包括所有EViews提供的系統(tǒng)估計(jì)量，都可以看作GMM估計(jì)量的特例。84

參數(shù)要滿足的理論關(guān)系通常是參數(shù)函數(shù)

f()

與工具變量zt之間的正則條件：

,是被估計(jì)參數(shù)

其中m()=f()Z,

A是加權(quán)矩陣；任何對(duì)稱正定矩陣A都是的一致估計(jì)。然而，可以推出要得到

的（漸近）有效估計(jì)的一個(gè)必要條件是令A(yù)等于樣本矩m的協(xié)方差矩陣的逆。

GMM估計(jì)是選擇最小加權(quán)距離估計(jì)量。選擇參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是使樣本距之間加權(quán)距離最小。用函數(shù)表示為：2.6.2廣義矩估計(jì)85

權(quán)重矩陣也可以根據(jù)每個(gè)樣本矩條件估計(jì)的準(zhǔn)確程度來設(shè)置，可用方差度量，例如，對(duì)估計(jì)較準(zhǔn)確的矩條件給予較大的權(quán)重，對(duì)估計(jì)較不精確的矩條件給予較小的權(quán)重。在實(shí)際應(yīng)用中，可以采用已有文獻(xiàn)推薦的權(quán)重矩陣，例如，如果隨機(jī)誤差項(xiàng)存在異方差且不存在自相關(guān)，white（1980）提出了權(quán)重矩陣的估計(jì)量為：如果隨機(jī)誤差項(xiàng)存在自相關(guān)，Newey和West(1987)提出權(quán)重矩陣的估計(jì)量為：其中，，，86

下面考慮多元線性回歸模型的GMM參數(shù)估計(jì)，假設(shè)回歸方程為

t=1,2,…,T其中：解釋變量向量xt=(x1t，x2t，…，xkt)，參數(shù)向量

=(1，2，…，k

)，T是樣本個(gè)數(shù)。對(duì)于k維單方程參數(shù)向量

的GMM估計(jì)，由于解釋變量向量xt與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ut可能相關(guān)，因此可以假設(shè)存在含有L(Lk)個(gè)分量的工具變量向量zt與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)（如果假設(shè)xt與隨機(jī)擾動(dòng)不相關(guān)，zt就是xt），t時(shí)刻含有L個(gè)變量的向量zt與ut滿足L個(gè)正交的矩條件：

其中：zt

=(z1t，z2t，…，zLt)是L維向量。87

相應(yīng)的L個(gè)樣本矩為

其中：Z是工具變量數(shù)據(jù)矩陣，是回歸方程的殘差序列。選擇參數(shù)估計(jì)量b，使下式所示的加權(quán)距離最小。

樣本矩的協(xié)方差矩陣為

可以使用White異方差一致協(xié)方差或Newey-WestHAC一致協(xié)方差估計(jì)矩陣，則A=-1

。88

例2.6

在表2.6中，給出了我國1978-2012年國民生產(chǎn)總值（gdp）和居民的最終消費(fèi)值（cs）以國民生產(chǎn)總值（gdp）為被解釋變量，城居民的最終消費(fèi)值（cs）為解釋變量建立如下方程：2.6.3廣義矩估計(jì)法的EViews軟件實(shí)現(xiàn)89

選取國民生產(chǎn)總值的一階滯后項(xiàng)（gdp（-1））、居民最終消費(fèi)的一階滯后項(xiàng)（cs（-1））、以及年份（t）為工具變量，采用廣義矩估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)，最終可得到下面的結(jié)果：J統(tǒng)計(jì)量是目標(biāo)函數(shù)的最小值，即通過計(jì)算得到的加權(quán)距離Q的值。9091

例2.6的實(shí)現(xiàn)步驟為，首先，在方程估計(jì)方法選擇的對(duì)話框中選擇“GMM-GeneralizedMethodof”,EViews會(huì)顯示圖2.10所示的窗口，使用廣義矩估計(jì)法時(shí)，方程的設(shè)定只能選用列表法。