第2章一般回歸估計方法

1第二章一般回歸方法

在所有經(jīng)典假設(shè)成立的前提下，利用普通最小二乘法估計結(jié)果具有優(yōu)良的線性無偏最小方差的性質(zhì)。然而，當經(jīng)典的假設(shè)不成立時，普通最小二乘法估計將得不到良好的估計結(jié)果，本章將介紹常見的在不符合經(jīng)典假設(shè)情況時的計量經(jīng)濟模型估計方法。

2本章知識框架

§2.1加權(quán)最小二乘估計§2.2兩階段最小二乘法§2.3逐步篩選最小二乘估計§2.4廣義最小二乘法§2.5對數(shù)極大似然估計法§2.6廣義矩方法（GMM）§2.7貝葉斯估計3本章主要內(nèi)容

4

線性回歸模型的基本假設(shè)

i=1,2,…,N

在普通最小二乘法中，為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設(shè)：

1．解釋變量之間互不相關(guān)；

2．隨機誤差項具有0均值和同方差。即i=1,2,…,N

即隨機誤差項的方差是與觀測時點i無關(guān)的常數(shù)；

3．不同時點的隨機誤差項互不相關(guān)（序列不相關(guān)），即s≠0,i=1,2,…,N

5

當隨機誤差項滿足假定1~4時，將回歸模型”稱為“標準回歸模型”，當隨機誤差項滿足假定1~5時，將回歸模型稱為“標準正態(tài)回歸模型”。如果實際模型滿足不了這些假定，普通最小二乘法就不再適用，而要發(fā)展其他方法來估計模型。5．隨機誤差項服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即~i=1,2,…,N

4．隨機誤差項與解釋變量之間互不相關(guān)。即

j=1,2,…,k,i=1,2,…,N

§2.1

異方差性：加權(quán)最小二乘估計

671．定義

古典線性回歸模型的一個重要假設(shè)是總體回歸方程的隨機擾動項ui同方差，即他們具有相同的方差

2。如果隨機擾動項的方差隨觀測值不同而異，即ui的方差為i2，就是異方差。用符號表示異方差為E(ui2)

=

i2

。

§2.1.1異方差概述

8

異方差性在許多應(yīng)用中都存在，但主要出現(xiàn)在截面數(shù)據(jù)分析中。例如我們例如我們調(diào)查城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂支出（Cum）和城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）之間的關(guān)系，建立如下模型：我們將發(fā)現(xiàn)高收入家庭人均文教娛樂支出往往會有更大的方差。這是因為低收入家庭，其收入扣除必要生活支出外，用于其他支出的數(shù)額較少，因而其波動性也就小。而高收入家庭在扣除了必要的生活支出外，還可以有很大一部分用于其他方面的消費，因而其有比較大的波動性。2．成因（1）模型中遺漏了某些解釋變量模型中被省略的解釋變量會隨著樣本的變化而變化，具有差異性，當其被歸并到隨機項中時，隨機項將會有異方差的性質(zhì)（2）變量樣本數(shù)據(jù)的觀測誤差一方面，當解釋變量取值越大時，測量誤差就會變大；另一方面測量誤差也跟測量技術(shù)，時間等有關(guān)9

（3）截面數(shù)據(jù)中個樣本的差異一般而言，異方差在截面數(shù)據(jù)中比在時間序列中更容易出現(xiàn)，因為在同一時刻，不同樣本之間的差異往往會比同一樣本在不同時刻的差異要大（4）模型形式設(shè)定有誤函數(shù)設(shè)定有誤時，解釋變量不能很好地解釋被解釋變量，隨機誤差項也不具有同方差的性質(zhì)103.異方差后果（1）最小二乘估計量仍然是線性無偏的，但是卻不再具有最小方差，即不是最為有效的估計量，即使對大樣本也是如此（2）參數(shù)的顯著性檢驗和置信區(qū)間的建立會存在問題（3）雖然最小二乘法參數(shù)的估計量是無偏的，但是這些參數(shù)方差的估計量有偏（4）預(yù)測（預(yù)測值和區(qū)間估計）的精確度降低

11§2.1.2異方差檢驗圖示檢驗法White異方差檢驗—輔助回歸檢驗法1213

1.圖示檢驗法

(1)用X-Y的散點圖進行判斷

觀察是否存在明顯的散點擴大、縮小或復(fù)雜型趨勢（即不在一個固定的帶型域中）14

（2）X-?i2的散點圖進行判斷

首先采用OLS方法估計模型，以求得隨機誤差項u的方差i2的估計量(注意，該估計量是不嚴格的)，我們稱之為“近似估計量”，用ei2表示。于是有(4.1.5)即用ei2來表示隨機誤差項的方差。用解釋變量x

和ei2的散點圖進行觀察是否隨著x增加，出現(xiàn)方差的逐漸增加、下降或者不規(guī)則變化。

15162.White異方差性檢驗

輔助回歸法有多種檢驗方法，包括BPG異方差檢驗、Harvey異方差檢驗、Glejser異方差檢驗、White檢驗等方法，其中最為常用的是White檢驗，幾種方法在EViews中的操作方法類似。受篇幅限制，這里只介紹White異方差檢驗方法。

White(1980)提出了對最小二乘回歸中殘差的異方差性的檢驗。包括有交叉項和無交叉項兩種檢驗。普通最小二乘估計雖然在存在異方差性時是一致的，但是通常計算的標準差不再有效。如果發(fā)現(xiàn)存在異方差性，利用加權(quán)最小二乘法可以獲得更有效的估計。

17

檢驗統(tǒng)計量是通過利用解釋變量所有可能的交叉乘積對殘差進行回歸來計算的。例如：假設(shè)估計如下方程(2.1.4)式中b是估計系數(shù)，?i是殘差。檢驗統(tǒng)計量基于輔助回歸：(2.1.5)EViews顯示兩個檢驗統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和Obs*R2

統(tǒng)計量。White檢驗的原假設(shè)：不存在異方差性（也就是，式（2.1.5）中除0以外的所有系數(shù)都為0成立）。18White證明出：（2.1.6）其中：N是樣本容量，k為自由度，等于式（2.1.5）中解釋變量個數(shù)（不包含截距項）。如果計算的2值大于給定顯著性水平對應(yīng)的臨界值，則可以拒絕原假設(shè)，得出存在異方差的結(jié)論。也就是說，回歸方程（2.1.5）的R2越大，說明殘差平方受到解釋變量影響越顯著，也就越傾向于認為存在異方差。如果原模型中包含的解釋變量較多，那么輔助回歸中將包含太多的變量，這會迅速降低自由度。因此，在引入變量太多時，必須謹慎一些。White檢驗的另外一種形式，就是輔助回歸中不包含交叉項。因此White檢驗有兩個選項：交叉項和無交叉項。19表2.1中國2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂服務(wù)消費支出(cum)與城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）

數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計局

20

例2.1：利用表2.1的數(shù)據(jù)，建立2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂服務(wù)消費支出(cum)與城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）的回歸模型，樣本數(shù)為31，建立的回歸方程為：

cumi=0+1ini

+ui

利用普通最小二乘法，得到如下回歸模型：

用White檢驗方法對（2.1.7）的回歸殘差進行異方差檢驗，建立的輔助回歸方程為：

在Eview上選擇White，則得到的檢驗結(jié)果為:21

表2.2White檢驗結(jié)果

該結(jié)果F統(tǒng)計量和Obs*R2

統(tǒng)計量的P值均很大，表明不拒絕原假設(shè)，即殘差不存在異方差性。22

異方差的存在并不破壞普通最小二乘法的無偏性，但是估計量卻不是有效的，即使對大樣本也是如此，因為缺乏有效性，所以通常的假設(shè)檢驗值不可靠。因此懷疑存在異方差或者已經(jīng)檢測到異方差的存在，則采取補救措施就很重要。就選用估計方法來講，可以采用加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquared,WLS）估計獲得有效估計量。加權(quán)最小二乘法的原理是將權(quán)重序列分別于每個變量的觀測值相乘，從而得到一個具有同方差的新模型，然后再對該新模型進行OLS估計。23§2.1.3加權(quán)最小二乘估計WLS

1．方差已知的情形考慮一個一元回歸線性方程：（2.1.9）假設(shè)已知隨機誤差項的真實的方差，var(ui)=i2，則令

,將模型兩端同乘wi，變換為（2.1.10）令ui*=wiui，則（2.1.11）

24

因此，變換后的模型（2.1.10）不再存在異方差的問題，可以用OLS估計。加權(quán)最小化殘差平方和為：（2.1.11）由此獲得的估計量就是權(quán)重序列為{wi}的加權(quán)最小二乘估計量。25考慮多元線性回歸模型的矩陣形式：其中是（k+1）

1維向量，y和X是因變量和自變量矩陣。在矩陣概念下，令權(quán)數(shù)序列w在權(quán)數(shù)矩陣W的對角線上，其他地方是零，即W矩陣是對角矩陣，則用W左乘等式兩邊，得到一個新的模型為：（2.1.13）

估計協(xié)方差矩陣為：（2.1.14）

則加權(quán)最小二乘估計量為：26§2.1.3加權(quán)最小二乘估計WLS

2．方差未知的情形①誤差方差與成比例可以根據(jù)圖示法,把回歸殘差對解釋變量X作圖，如果與X成線性相關(guān)，即：

可將模型做如下變換：

令，則

27§2.1.3加權(quán)最小二乘估計WLS

②誤差方差與成比例令

可將模型做如下變換：

令，則類似上面的方程也可以證明可以使用OLS估計。

③用隨機項的近似估計值求權(quán)重序列該方法的原理是假定通過OLS估計出的殘差值的平方代表隨機項的方差。因此，也可以求出權(quán)重序列。具體操作方法如下：1．選擇普通最小二乘法估計原模型，得到隨機誤差項的近似估計量?t

；

2．建立wi=1/|?t

|的權(quán)數(shù)序列；

3．選擇加權(quán)最小二乘法，以wi=1/|?t

|序列作為權(quán)，進行估計得到參數(shù)估計量。實際上是以1/|?t

|乘原模型的兩邊，得到一個新模型，采用普通最小二乘法估計新模型。

2829

例2.2利用表2.1的數(shù)據(jù)，建立2012年城鎮(zhèn)居民家庭人均文教娛樂服務(wù)消費支出(cum)與城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入（In）的回歸模型為：普通最小二乘估計得出如下回歸結(jié)果：

在例2.1中我們通過White異方差檢驗出該模型存在異方差。因此我們需要采用最小加權(quán)二乘法對其進行重新估計。30以wi=1/|?i|為權(quán)重序列，將原回歸方程的每一項乘以wi，將會消除異方差的存在，變換后的模型為：然后再進行OLS估計，結(jié)果如下：

與OLS結(jié)果比較，擬合優(yōu)度與由0.86提高到0.99，說明解釋變量對被解釋變量的解釋程度提高。F值由184.62提高到3023.01，模型的顯著性明顯改善，說明估計的效果更好，并且對用White異方差檢驗方法分析該回歸方程時，可以看出來用WLS估計得到的結(jié)果消除了異方差。

31

1.White異方差檢驗在將方程進行OLS估計之后，如果需要進行異方差檢驗，則在界面中選擇“View/ResidualTest/HerteroskedasticityTest”,將出現(xiàn)如下的界面：§2.1.4異方差檢驗與加權(quán)最小二乘法的EViews軟件實現(xiàn)

32在該界面中，可以選擇不同的估計方法。在這里，我們選擇White檢驗法，將會得到結(jié)果為：33

加權(quán)最小二乘法首先需要用OLS估計模型，得到殘差序列，然后構(gòu)造相應(yīng)的權(quán)重序列按步驟進行WLS估計。然而，EViews給我們提供了相當方便的操作，在完成OLS估計后，再選擇新的OLS模型，然后選擇Options出現(xiàn)圖2.1.1所示的對話框。在Weightseries中輸入權(quán)重序列w，w為殘差序列的絕對值的倒數(shù)。（本題中令w=1/abs（resid）），即可：34

單擊“確定”估計方程，將同時顯示加權(quán)最小二乘估計結(jié)果和沒有采用加權(quán)的方法的結(jié)果：35§2.2

兩階段最小二乘法TSLS

解決隨機解釋變量問題3638§2.2

二階段最小二乘法

回歸分析的一個基本假設(shè)是方程的解釋變量與擾動項不相關(guān)。但是，由于解釋變量測量誤差的存在，用于估計模型參數(shù)的數(shù)據(jù)經(jīng)常與它們的理論值不一致；或者由于遺漏了變量，使得隨機誤差項中含有可能與解釋變量相關(guān)的變量，即隨機解釋變量問題。這些都可能導(dǎo)致解釋變量與擾動項的相關(guān)。出現(xiàn)這種問題時，OLS和WLS估計量都有偏差且不一致，因而要采用其他方法估計。最常用的估計方法是二階段最小二乘法。39

考慮多元線性回歸模型的矩陣形式

其中：y和X是因變量和解釋變量數(shù)據(jù)矩陣，是系數(shù)向量。

為簡化起見，我們稱與殘差相關(guān)的變量為內(nèi)生變量，與殘差不相關(guān)的變量為外生變量或前定變量。解決方程右邊解釋變量與殘差相關(guān)的方法是使用工具變量回歸。就是要找到一組變量滿足下面兩個條件：（1）與方程解釋變量相關(guān)；（2）與擾動項不相關(guān)；40

選擇zi=(z1i,z2i,…,zki)作為工具變量，它與解釋變量相關(guān)，但與擾動項不相關(guān)，即

這些變量就可成為工具變量。用這些工具變量來消除右邊解釋變量與擾動項之間的相關(guān)性。41

二階段最小二乘方法（twostageleastsquare，TSLS）本質(zhì)上屬于工具變量法，它包括兩個階段：第一個階段，找到一組工具變量，模型中每個解釋變量分別關(guān)于其他外生解釋變量、該組工具變量作最小二乘回歸，得到擬合值；第二個階段，所有解釋變量用第一個階段回歸得到的擬合值來代替，對原方程進行回歸，這樣求得的回歸系數(shù)就是TSLS估計值?？梢宰C明二階段最小二乘估計量是一致估計量。42

不必擔(dān)心TSLS估計中分離的階段，因為EViews會使用工具變量技術(shù)同時估計兩個階段。令Z為工具變量矩陣，y和X是因變量和解釋變量矩陣。則二階段最小二乘估計的系數(shù)由下式計算出來：

系數(shù)估計的協(xié)方差矩陣為：其中s2是回歸標準差（估計殘差協(xié)方差）。

43例2.3在表2-2中，給出了我國1990~2013年的國內(nèi)生產(chǎn)總值和全國居民消費數(shù)據(jù)。其國內(nèi)生產(chǎn)總值是通過支出法核算得到的，兩組數(shù)據(jù)的單位均為億元。以GDP代表國內(nèi)生產(chǎn)總值，CU為消費水平。建立如下的一元回歸模型：本例中可以將工具變量設(shè)定為趨勢變量t和常數(shù)項c。c是對任何模型都是非常好的工具變量，在這里需要注意的是，工具變量中的變量數(shù)量一定要大于等于方程中等式右邊的內(nèi)生變量的數(shù)量。

44采用兩階段最小二乘法（TSLS）可以得到如下的結(jié)果：系數(shù)2.88表示了消費（cu）對國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增加有乘數(shù)作用，即消費每增加一單位時，國內(nèi)生產(chǎn)總值將增加2.88單位。4546

例2.3中的模型的兩階段最小二乘法實現(xiàn)步驟為：第一步，本例中將工具變量設(shè)定為趨勢變量t和常數(shù)項c。c是對任何模型都是一個非常好的工具變量，因此即使用戶沒有輸入常數(shù)項c，系統(tǒng)也會將其加入自動加入工具變量的列表中，由于需要趨勢變量t，需要在該工作文件中建立一個新序列，命名為“t”，然后輸入數(shù)字“1990-2013”。第二步，選擇“Quick/EstimateEquation”選項，在打開的圖2.7所示的方程對話框的“Method”列表中選擇“TSLS”估計方法。第三步，在圖2.7中對話框列出解釋變量和被解釋變量，然后在工具變量列表中輸入工具變量。474849

第四步，將兩階段最小二乘法的估計結(jié)果與普通最小二乘法的估計結(jié)果進行比較，圖2.9為普通最小二乘法的估計結(jié)果。通過比較發(fā)現(xiàn)，兩階段最小二乘法消除了解釋變量和隨機誤差項之間的相關(guān)性。502.3逐步最小二乘回歸

STEPLS：篩選解釋變量51522.3.1逐步最小二乘回歸

建立回歸模型的時候，可能會面臨很多解釋變量的取舍問題，這些解釋變量（包括相應(yīng)的滯后變量）在經(jīng)濟意義上可能都對因變量有影響而難以取舍，這種情形下，可以通過逐步回歸分析方法（stepwiseleastsquaresregression,STEPLS）利用各種統(tǒng)計準則篩選解釋變量。53逐步篩選最小二乘法包括兩類，前向逐步篩選法（Forward）和后向逐步篩選法（Backward）兩種。兩種方法都是利用最大t值或者相對應(yīng)的最小p值作為變量入選標準，即根據(jù)變量的顯著性進行篩選。前向法是根據(jù)最小p值進行逐步回歸。首先，設(shè)定變量的入選p值標準（比如0.05），即將入選變量的顯著性水平設(shè)為5%；其次，選擇所有變量中p值最小并且小于所設(shè)定入選p值標準的變量加入模型，接著在剩余變量中一直篩選下去；當剩余的每個變量加入模型后其p值都大于設(shè)定的p值時，或者增加回歸變量的數(shù)量達到了建模者事先設(shè)定的數(shù)值時，逐步回歸運算結(jié)束。逐步篩選最小二乘法實現(xiàn)步驟54

后向法與前向法類似，只不過這種方法一開始就將全部的備選變量加入模型，然后選擇p值最大的變量，如果此變量的p值大于事先設(shè)定的數(shù)值，則將其剔除掉，然后再在剩余的變量中依次選擇剔除變量，直到模型中剩余的解釋變量所對應(yīng)的p值都小于設(shè)定值，或者增加回歸變量的個數(shù)達到設(shè)定數(shù)值時結(jié)束篩選。55本例研究的是我國全社會固定資產(chǎn)投資額（inv）的影響因素。采用的是1990-2012年的數(shù)據(jù)，備選的解釋變量是國內(nèi)生產(chǎn)總值（gdp）居民消費（rc）、政府消費（gc）、國民收入指數(shù)（p）以及它們滯后1期的序列。通過逐步篩選最小二乘法最終確定對投資有顯著影響的解釋變量。本例中，選取的顯著性檢驗水平為0.05，使用逐步篩選最小二乘法的前向法，最終可以得到的模型為：2.3.2.逐步篩選最小二乘法的EViews軟件實現(xiàn)56由于國內(nèi)生產(chǎn)總值滯后項（gdp（-1））居民消費滯后項（rc（-1））全社會固定資產(chǎn)投資額滯后項（inv（-1））系數(shù)所對應(yīng)的p值均小于所設(shè)定的檢驗水平0.05，故選擇這3個變量作為模型的解釋變量進行建模分析。57以例2.4為實現(xiàn)對象，在方程估計方法選擇的對話框中選擇“STEPLS-StepwiseLeastSquares”，EViews會顯示圖2.10所示的窗口，使用逐步篩選最小二乘回歸法時，方程的設(shè)定只能選用列表法。在上面的對話框中輸入要分析的被解釋變量和必須要保留的解釋變量。在下面的對話框中輸入可能會在最終模型中出現(xiàn)的備擇解釋變量。58圖2.10逐步最小二乘分析變量設(shè)定對話框59然后，在選項（“option”）中進行設(shè)定，“SelectionMethod”是用來設(shè)定逐步回歸的方法，EViews默認為前向法（“Forward”），本例也是采用這種方法進行分析，還可以采用的方法是向后法（“Backward”）。其次，還需要設(shè)定檢驗的標準：EViews中允許使用p值或者t值來判斷，對于本例，我們選用p值來判斷，輸入其標準為0.05，并且還可以控制回歸變量個數(shù)，通過“Usenumberofregressors”來完成，即一旦增加或者去掉的變量個數(shù)達到這個值時，逐步篩選將會停止。通過設(shè)定最大步數(shù)（“Maximumsteps”）可以規(guī)定逐步篩選運行的最多次數(shù)，其中“Forwards”規(guī)定了最多的增加變量的次數(shù)，而“Backwards”規(guī)定了最多的減少變量的次數(shù)。60612.4廣義最小二乘估計適用于估計同時存在序列相關(guān)與異方差問題的模型622.4.1廣義最小二乘法概述2.4.2廣義最小二乘法的EViews軟件實現(xiàn)682.5對數(shù)極大似然估計法

極大似然估計法(maximumlikelihood,ML)，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從極大似然原理發(fā)展起來的其他估計方法的基礎(chǔ)。雖然其應(yīng)用沒有最小二乘法普遍，但在計量經(jīng)濟學(xué)理論上占據(jù)很重要的地位，因為極大似然原理比最小二乘原理更本質(zhì)地揭示了通過樣本估計母體參數(shù)的內(nèi)在機理，計量經(jīng)濟學(xué)理論的發(fā)展更多的是以極大似然估計原理為基礎(chǔ)的，對于一些特殊的計量經(jīng)濟學(xué)模型，只有極大似然方法才是很成功的估計方法。

69

考慮多元線性回歸模型的一般形式

t=1,2,…,T

其中k是解釋變量個數(shù)，T是觀測值個數(shù)，隨機擾動項

那么

yt服從如下的正態(tài)分布：

其中70

y

的隨機抽取的T

個樣本觀測值的聯(lián)合概率函數(shù)為

這就是變量y的似然函數(shù)，未知參數(shù)向量={1,2,…k,2}。對似然函數(shù)求極大值和對數(shù)似然函數(shù)求極大值是等價的，上式的對數(shù)似然函數(shù)形式為：

71

令為含有未知參數(shù)的向量，將lnL分別對求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即： （2.5.5）從而可以求得的值。利用對數(shù)極大似然估計法估計一個模型，主要是建立包含樣本中的各個觀測值的未知參數(shù)的極大似然函數(shù)。

72本例將以一元線性回歸模型，詳細說明對數(shù)極大似然的建立過程。例2.5一元線性回歸方程的極大似然估計在表中，給出了我國1990-2012年城鎮(zhèn)居民的人均可支配收入（inc）和城鎮(zhèn)居民人均消費水平（cs），以城鎮(zhèn)居民人均消費水平為被解釋變量，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為解釋變量建立如下的凱恩斯消費方程：2.5.2對數(shù)極大似然估計法的EViews軟件實現(xiàn)式中，α代表了自發(fā)消費，β代表邊際消費傾向。觀測值得個數(shù)T=23.利用前面的公式（2.5.4）我們可以寫出方程對數(shù)極大似然函數(shù)：73

（2.5.7）然后對其進行極大似然求解，可以得到α和β的值，寫成回歸方程的形式為： (2.5.8)對數(shù)似然函數(shù)值=-154.69AIC=13.71若用最小二乘回歸分析該模型，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果與極大似然函數(shù)法估計的結(jié)果是一樣的。7475以例2.5為實現(xiàn)對象，在利用極大似然函數(shù)法時，首先創(chuàng)建一個似然對象，選擇Object/NewObject/LogL。將會彈出一個空白窗口，在這個窗口里可以輸入描述統(tǒng)計模型的說明語句。如圖2.15所示。76第一行的是似然貢獻序列的說明，即序列中存儲了不同時刻t的對數(shù)似然貢獻，res=cs-c(1)-c(2)*inc計算了殘差，參數(shù)c(1)、c(2)代表了未知參數(shù)，var是對數(shù)似然函數(shù)式中的待估參數(shù)；logl=log(@dnorm(res/@sqrt(var)))-log(var)/2語句是說明極大似然貢獻的方程。@dnorm函數(shù)指的是標準正態(tài)分布。似然函數(shù)的說明語句輸入完畢之后，點擊Estimate，再按下“確定”按鈕，即可得到極大似然函數(shù)的估計結(jié)果，如圖2.16所示。77§2.6廣義矩估計方法（GMM）廣義矩估計GMM是基于模型滿足的一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計法，是矩估計方法的一般化。7879

廣義矩估計方法（GMM）是基于模型實際參數(shù)滿足一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計方法，是矩估計方法的一般化。如果模型的設(shè)定是正確的，則總能找到該模型實際參數(shù)滿足的若干矩條件而采用GMM方法。GMM估計的出發(fā)點是參數(shù)應(yīng)滿足的一種理論關(guān)系。其思想是選擇參數(shù)估計盡可能接近理論上的關(guān)系。把理論上的關(guān)系用樣本近似值代替，并且估計量的選擇就是要最小化理論值和實際值之間的加權(quán)距離。80

由于傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟模型估計方法，例如普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法等，都有它們的局限性，其參數(shù)估計量必須在模型滿足某些假設(shè)時才具有良好的性質(zhì)，如只有當模型的隨機誤差項服從正態(tài)分布或某一已知分布，極大似然法估計量才是可靠的估計量；而GMM估計是一個穩(wěn)健估計量，因為它不要求擾動項的準確分布信息，允許隨機誤差項存在異方差和序列相關(guān)，所得到的參數(shù)估計量比其他參數(shù)估計方法更合乎實際；而且可以證明，GMM包容了許多常用的估計方法，普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法都是它的特例。812.6.1矩法估計量

矩估計是基于實際參數(shù)滿足一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計方法，如果隨機變量Y的期望值是，即

則是滿足相應(yīng)的樣本矩條件，即

82

現(xiàn)在，考慮一元古典線性回歸模型中的假設(shè)條件：

其所對應(yīng)的樣本矩條件分別為

這就是OLS估計量的正規(guī)方程組。因此，OLS估計量是一個矩法估計量。83

再比如二階段普通最小二乘法中，假定解釋變量與隨機擾動項可能相關(guān)，找到一組與擾動項不相關(guān)的工具變量Z，因而正規(guī)方程組發(fā)生變化，由矩條件：得到了如下參數(shù)估計量形式。因此許多標準估計量，包括所有EViews提供的系統(tǒng)估計量，都可以看作GMM估計量的特例。84

參數(shù)要滿足的理論關(guān)系通常是參數(shù)函數(shù)

f()

與工具變量zt之間的正則條件：

,是被估計參數(shù)

其中m()=f()Z,

A是加權(quán)矩陣；任何對稱正定矩陣A都是的一致估計。然而，可以推出要得到

的（漸近）有效估計的一個必要條件是令A(yù)等于樣本矩m的協(xié)方差矩陣的逆。

GMM估計是選擇最小加權(quán)距離估計量。選擇參數(shù)估計量的標準是使樣本距之間加權(quán)距離最小。用函數(shù)表示為：2.6.2廣義矩估計85

權(quán)重矩陣也可以根據(jù)每個樣本矩條件估計的準確程度來設(shè)置，可用方差度量，例如，對估計較準確的矩條件給予較大的權(quán)重，對估計較不精確的矩條件給予較小的權(quán)重。在實際應(yīng)用中，可以采用已有文獻推薦的權(quán)重矩陣，例如，如果隨機誤差項存在異方差且不存在自相關(guān)，white（1980）提出了權(quán)重矩陣的估計量為：如果隨機誤差項存在自相關(guān)，Newey和West(1987)提出權(quán)重矩陣的估計量為：其中，，，86

下面考慮多元線性回歸模型的GMM參數(shù)估計，假設(shè)回歸方程為

t=1,2,…,T其中：解釋變量向量xt=(x1t，x2t，…，xkt)，參數(shù)向量

=(1，2，…，k

)，T是樣本個數(shù)。對于k維單方程參數(shù)向量

的GMM估計，由于解釋變量向量xt與隨機擾動項ut可能相關(guān)，因此可以假設(shè)存在含有L(Lk)個分量的工具變量向量zt與隨機擾動項不相關(guān)（如果假設(shè)xt與隨機擾動不相關(guān)，zt就是xt），t時刻含有L個變量的向量zt與ut滿足L個正交的矩條件：

其中：zt

=(z1t，z2t，…，zLt)是L維向量。87

相應(yīng)的L個樣本矩為

其中：Z是工具變量數(shù)據(jù)矩陣，是回歸方程的殘差序列。選擇參數(shù)估計量b，使下式所示的加權(quán)距離最小。

樣本矩的協(xié)方差矩陣為

可以使用White異方差一致協(xié)方差或Newey-WestHAC一致協(xié)方差估計矩陣，則A=-1

。88

例2.6

在表2.6中，給出了我國1978-2012年國民生產(chǎn)總值（gdp）和居民的最終消費值（cs）以國民生產(chǎn)總值（gdp）為被解釋變量，城居民的最終消費值（cs）為解釋變量建立如下方程：2.6.3廣義矩估計法的EViews軟件實現(xiàn)89

選取國民生產(chǎn)總值的一階滯后項（gdp（-1））、居民最終消費的一階滯后項（cs（-1））、以及年份（t）為工具變量，采用廣義矩估計法進行估計，最終可得到下面的結(jié)果：J統(tǒng)計量是目標函數(shù)的最小值，即通過計算得到的加權(quán)距離Q的值。9091

例2.6的實現(xiàn)步驟為，首先，在方程估計方法選擇的對話框中選擇“GMM-GeneralizedMethodof”,EViews會顯示圖2.10所示的窗口，使用廣義矩估計法時，方程的設(shè)定只能選用列表法。