第二節(jié) 二重積分計算

第二節(jié)二重積分的計算一、利用直角坐標系計算二重積分二、利用極坐標系計算二重積分先將二重積分化為二次積分，然后先后計算兩次定積分求得二重積分的值.如果積分區(qū)域D可表示為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分

1、x－型區(qū)域則D稱為

x－型區(qū)域

.x－型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的曲頂柱體體積的計算例1解

將

D看作x—型區(qū)域,則D={(x,y)|

0

yx，0

x1},如果積分區(qū)域D可表示為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).2、y－型區(qū)域則D稱為

y－型區(qū)域

.y－型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算例1解

將

D看作y—型區(qū)域,則D={(x,y)|y

x

1，0

y1},如果積分區(qū)域D可表示為x－型區(qū)域又可表示為y－型區(qū)域，且f(x,y)在D上連續(xù)，則有：為計算方便,可選擇積分次序,采用哪一種次序積分通常取決于被積函數(shù)的結構.

必要時還可以交換積分次序.

解

將

D看作y—型區(qū)域

,則D={(x,y)|y

x

1，0

y1},3、一般情形如果積分區(qū)域D不是x－型區(qū)域也不是y－型區(qū)域，可用平行坐標軸的直線段分割，把D分割為若干個x－型或y－型區(qū)域，在每個小區(qū)域上計算二重積分，在各個小區(qū)域上的積分之和就是D上的二重積分.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.計算二重積分的幾點說明：1)化二重積分為二次積分的關鍵是：確定二次積分的上、下限，而二次積分中的上、下限又是由區(qū)域D的幾何形狀確定的，因此計算二重積分應先畫出積分區(qū)域D的圖形.2)第一次積分的上、下限是函數(shù)或常數(shù)，而第二次積分中的上、下限一定是常數(shù)，且下限要小于上限.3)積分次序選擇的原則是兩次積分都能夠積出來，且區(qū)域的劃分要盡量地簡單.解將

D看作y—型區(qū)域,則兩曲線的交點例4解

將

D看作x—型區(qū)域,則解注意：正確選擇積分次序相當重要.

解積分區(qū)域如圖如何變換積分次序：根據(jù)所給積分寫出D的邊界曲線，再寫出另一個區(qū)域表示式，即可寫出另一個次序的二次積分.解積分區(qū)域如圖解原式解:

積分域由兩部分組成:視為y–型區(qū)域,則練習：交換下列積分順序解說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.當二重積分的被積函數(shù)中含有絕對值函數(shù)、取大或取小函數(shù)(max或min)等特殊函數(shù)時，如何計算二重積分的值？一般是將積分區(qū)域適當分塊，使被積函數(shù)在各子塊上都表示為初等函數(shù)形式，然后分別計算.例10解先去掉絕對值符號，如圖小結：用直角坐標計算二重積分[x－型][y－型]確定積分次序時要注意:1、考慮積分區(qū)域的特點，分塊越少越好

.2、考慮被積函數(shù)的特點，使第一次積分容易積出，并能為第二次積分的計算創(chuàng)造有利條件.利用積分域和被積函數(shù)的對稱性計算二重積分A二、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）1、極點O在D的外部區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖2、極點O在D的邊界上極坐標系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖3、極點O在D的內(nèi)部思考:下列各圖中域D

分別與x,y

軸相切于原點,試問

的變化范圍是什么?(1)(2)解解解解解由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)

,故本題無法用直角坐標計算.解利用例7可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式同理

解二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）三、小結［y－型］［x－型］（在積分中注意使用對稱性）二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分次序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡