第二章 圖像信號(hào)的分析及變換

第二章

圖像分析與正交變換中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信電學(xué)院主要內(nèi)容2.1圖像信號(hào)的數(shù)字化2.2離散傅立葉變換DFT2.3離散余弦變換DCT2.6圖像的統(tǒng)計(jì)特性2.1圖像信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字圖像處理的前提：連續(xù)圖像離散化數(shù)字圖像。圖像的數(shù)字化的過(guò)程：①采樣；②量化。所謂圖象的數(shù)字化指將代表圖像的連續(xù)模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散數(shù)字信號(hào)的變換過(guò)程。包括圖像像素空間坐標(biāo)(x,y)的網(wǎng)格化(即離散化采樣)和光強(qiáng)度(即灰度)I的量化。采樣：即取樣或抽樣，對(duì)連續(xù)變化的圖像在空間坐標(biāo)上作離散化的過(guò)程，選取的采樣點(diǎn)為像素；在采樣點(diǎn)上的函數(shù)值(或亮度值)為采樣值或樣值。采樣為圖像信號(hào)的定義域離散化。量化：原圖像經(jīng)采樣后離散化為像素陣形,但每個(gè)像素的亮度值仍為連續(xù)量，將這些連續(xù)的無(wú)窮多個(gè)像素值離散化為有限個(gè)整數(shù)值(常用2n表示)的近似表示的操作稱為量化。量化為圖像信號(hào)的值域離散化。

注意：由于f(i,j)代表該點(diǎn)圖像的光強(qiáng)度，而光是能量的一種形式，故f(i,j)必須大于零，且為有限值，即：0＜f(i,j)＜∞。數(shù)字化采樣一般是按正方形點(diǎn)陣取樣的，除此之外還有三角形點(diǎn)陣、正六角形點(diǎn)陣取樣。正方形網(wǎng)格正六邊形網(wǎng)格2.1.1圖像的掃描與采樣圖像在空間上的離散化稱為采樣。圖像是一種二維分布的信息，采樣是在x軸(垂直方向)和y軸（水平方向）兩個(gè)方向上進(jìn)行。采樣過(guò)程：先沿垂直方向按一定間隔從上到下順序地沿水平方向直線掃描，取出各水平線上灰度值的一維掃描。而后再對(duì)一維掃描線信號(hào)按一定間隔采樣得到離散信號(hào)，即先沿垂直方向采樣，再沿水平方向采樣這兩個(gè)步驟完成采樣操作。采樣點(diǎn)間隔的選?。阂罁?jù)原圖像中包含的細(xì)微濃淡變化來(lái)決定。一般,圖像中細(xì)節(jié)越多,采樣間隔應(yīng)越小。對(duì)一幅圖像采樣時(shí)，若每行（即橫向）像素為M個(gè)，每列（即縱向）像素為N個(gè)，則圖像大小為M×N個(gè)像素。采樣間隔2.1.2二維取樣定理圖像的空間采樣間隔為圖像頻譜截止頻率為圖像的采樣頻率為

二維采樣定理為（Nyguist

準(zhǔn)則）選擇適當(dāng),使大于或等于原圖像覆蓋頻率間隔兩倍時(shí)，則采樣不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。圖像滿足二維采樣定理則采樣不會(huì)出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。

亞取樣和混疊效應(yīng)亞采樣：混疊效應(yīng)：指取樣圖像頻譜的各次諧波發(fā)生重疊亞采樣易造成圖像信號(hào)的頻譜的混疊效應(yīng)。采樣時(shí)的注意點(diǎn)：采樣間隔的選取。采樣間隔取得不合適除了畫面出現(xiàn)馬賽克之外，還會(huì)發(fā)生頻率的混疊現(xiàn)象。采樣間隔效果示意圖取樣圖像的數(shù)學(xué)表示：設(shè)fi(x,y)為原圖像信號(hào)，fp(x,y)為采樣圖像信號(hào)，二維圖像信號(hào)用沖激函數(shù)陣列采樣則有采樣圖像信號(hào)為構(gòu)造一個(gè)理想的低通濾波器為低通濾波器的沖激響應(yīng)為問(wèn)題：如何從取樣圖像恢復(fù)原圖像？則從取樣圖像恢復(fù)原圖像恢復(fù)圖象應(yīng)該等于取樣圖象和低通濾波器h(x,y)的卷積.2.1.3圖像的量化采樣后所得各像素的連續(xù)灰度值的離散化稱為量化。量化誤差：若連續(xù)濃淡（灰度）值用z表示，則對(duì)于滿足zi≤z≤zi+1的z值都量化為整數(shù)值qi。qi稱為像素的灰度值。而z與qi的差稱為量化誤差。

以有限個(gè)離散值近似表示無(wú)窮多個(gè)連續(xù)量，一定會(huì)產(chǎn)生量化誤差。由此產(chǎn)生量化失真。1.（等間隔量化）均勻量化設(shè)原圖像灰度變化范圍從r0到rk,r0最暗,rk最亮。把這灰度動(dòng)態(tài)范圍均勻分為k等份,每一層賦予一個(gè)固定碼字:q0到qk-1。量化過(guò)程就是把圖像像素樣本灰度值與各層灰度判決值相比較,凡落在相鄰兩層之間像素賦予該層的值。等間隔量化：采樣值灰度范圍等間隔分割非等間隔量化：采樣值灰度范圍不等間隔分割一幅圖像及其直方圖等間隔量化效果示意圖2.非等間隔量化依據(jù)一幅圖像具體的灰度值分布的概率密度函數(shù)，對(duì)于像素灰度值頻繁出現(xiàn)的灰度值范圍，量化間隔小一些。而對(duì)像素灰度值極少出現(xiàn)的灰度范圍，則量化間隔大一些。討論：a．對(duì)亮度值急劇變化部分粗量化，對(duì)亮度值變化平緩部分細(xì)量化。b．估計(jì)所有可能亮度值出現(xiàn)概率大的亮度值細(xì)量化，概率小的量度值粗量化。c．采樣點(diǎn)固定，自適應(yīng)改變采樣密度。

非等間隔量化效果示意圖充分考慮到人眼的識(shí)別能力之后，目前非特殊用途的圖像均為8bit量化，即用0～255描述“黑～白”。低bit量化的偽輪廓現(xiàn)象示意圖在3bit以下的量化，會(huì)出現(xiàn)偽輪廓現(xiàn)象。

圖像信號(hào)的正交變換

主要有DFT、DCT、DWT、

DHT等。

圖像信號(hào)正交變換的優(yōu)點(diǎn)：

圖像數(shù)據(jù)量大，如果直接在空間域處理，則計(jì)算量大，且隨著圖像樣點(diǎn)數(shù)目增加而計(jì)算量急劇增加，難以實(shí)時(shí)處理。采用圖像信號(hào)正交變換，將輸入圖像信號(hào)從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以把空間域中卷積或相關(guān)運(yùn)算簡(jiǎn)化為頻率域相乘處理，大大減少計(jì)算量，提高處理速度，可改變難以實(shí)時(shí)處理局面。2.2離散傅立葉變換DFT

DFT的優(yōu)勢(shì)：①建立了離散時(shí)域（或空間域）與離散頻域間關(guān)系。②DFT大大減少計(jì)算量，提高處理速度。提供的FFT算法，徹底改變難以實(shí)時(shí)處理的局面。時(shí)域（或空間域）卷積或相關(guān)運(yùn)算頻率域相乘運(yùn)算一維Fourier變換定義設(shè)為x的函數(shù)，若滿足，那么，下列二式成立：

x為時(shí)域變量，u為頻率變量，以上公式稱為Fourier變換對(duì)。Fourier變換另一種形式令則是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為的Fourier譜，稱為相位譜。一維Fourier變換Fourier變換二維函數(shù)若滿足絕對(duì)可積條件，那么二維Fourier變換對(duì)存在。Fourier譜：相位譜：二維Fourier變換2.2.1一維離散傅立葉變換設(shè)對(duì)1個(gè)連續(xù)信號(hào)f(x)等間隔采樣得1個(gè)離散序列，設(shè)共采了N個(gè)樣，則這個(gè)離散序列可表示為{f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x為離散實(shí)變量，u為離散頻率變量，則其離散傅立葉變換對(duì)定義式中x,u=0,1,…,N-1通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u)和I(u)分別為F(u)的實(shí)部和虛部。通常傅立葉變換也可為指數(shù)形式，即其中：通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，(u)為f(x)的相位譜。2.2.2二維離散傅立葉變換定義二維離散信號(hào){f(x,y)|x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的離散傅立葉變換對(duì)為：式中x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。

x,y為時(shí)域變量，u,v為頻域變量。1.二維DFT的定義二維傅立葉變換的復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u,v)和I(u,v)分別為F(u,v)的實(shí)部和虛部。二維傅立葉變換的傅立葉頻譜，即二維傅立葉變換的相位譜，即2.二維DFT的性質(zhì)①可分離性---二維離散傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)：即二維離散傅立葉變換正反變換運(yùn)算可分別分解成兩次一維離散傅立葉變換運(yùn)算：那么對(duì)于正變換式子可分成下面兩個(gè)式子：在上式中，每個(gè)式子都為一個(gè)一維離散傅立葉變換，所以二維離散傅立葉變換F(u,v)可由f(x,y)先按行進(jìn)行一維離散傅立葉變換，再按列進(jìn)行一維離散傅立葉變換得到。用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT圖示：②平移性質(zhì)表明只要將f(x,y)乘以因子，再進(jìn)行離散傅立葉變換，則可將圖像的頻譜原點(diǎn)(0,0)移動(dòng)到圖像中心(M/2,N/2)處。③旋轉(zhuǎn)不變性表明如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣角度。下面為傅立葉頻譜旋轉(zhuǎn)不變性示意圖(a)圖表示原圖像；(b)圖表示原圖像傅立葉頻譜；(c)圖表示旋轉(zhuǎn)45度角后圖像；(d)圖表示旋轉(zhuǎn)后圖像傅立葉頻譜④線性⑤共軛對(duì)稱性是Fourier變換的共軛函數(shù)，則⑥縮放性說(shuō)明函數(shù)在空間比例尺度上的展寬相當(dāng)在頻域比例尺度上的壓縮，且幅值減少為原來(lái)的1/|ab|⑦卷積定理DFT頻譜圖分析：傅立葉變換后的圖像,中間部分為低頻部分－頻譜能量集中部分,越靠外邊頻率越高。二維DFT頻譜圖3.快速Fourier變換(FFT)DFT的計(jì)算量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，所以提出FFT，不是一種新的變換，只是DFT的一種算法。原理：W因子的周期性，DFT中的乘法運(yùn)算中有許多重復(fù)內(nèi)容。將原函數(shù)分為奇、偶項(xiàng)，通過(guò)不斷的一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的相加（減），最終得到需要的結(jié)果。二維FFT由可分性知：2維DFT可看成是兩次的1維DFT變換，即：所以，可以分別對(duì)圖像的每一列進(jìn)行FFT，然后再對(duì)每一行進(jìn)行FFT。例：已知圖像為求2維FFT變換F(u,v)列變換經(jīng)過(guò)列變換后為：行變換DFT在圖像處理中的應(yīng)用DFT在圖像濾波中的應(yīng)用DFT變換后的圖像，中間為低頻部分，越靠外頻率越高，因此，可選擇所需的高頻或低頻濾波。DFT在圖像壓縮中的應(yīng)用變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒有提出時(shí)，用來(lái)進(jìn)行壓縮編碼。考慮到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過(guò)人眼。DFT在卷積中的應(yīng)用2.3離散余弦變換DCT

問(wèn)題的提出：

Fourier變換的一個(gè)最大的問(wèn)題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。2.3.1一維離散余弦變換：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為信號(hào)序列集合，其離散余弦的正反變換定義為：其中2.3.2二維離散余弦變換：正變換反變換其中DCT的頻譜圖分析左上角對(duì)應(yīng)低頻分量注意：二維DCT的頻譜分布與DFT相差一倍。二維DCT將能量集中與頻譜的左上角。原圖像原圖像的DFT頻譜原圖像的DCT頻譜正交變換的性質(zhì)能量守恒性能量集中性。空間域亮度均勻分布，頻率大部分能量集中在低頻系數(shù)上去相關(guān)性?？臻g域相關(guān)像素，通過(guò)正交變換在頻域大大降低變換系數(shù)之間相關(guān)性。熵保持性。變換系數(shù)F(u,v)的熵值和原圖像信號(hào)f(x,y)熵值相等。2.4圖像的統(tǒng)計(jì)特性

圖像的統(tǒng)計(jì)特性是指圖像信號(hào)(亮度、色度或其抽樣值等)本身，或?qū)λ鼈冞M(jìn)行某種方式的處理以后的輸出值的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性。例如圖像的同一行相鄰像素之間，相鄰行對(duì)應(yīng)像素之間，以及活動(dòng)圖像相鄰幀的對(duì)應(yīng)像素之間往往存在很強(qiáng)相關(guān)性。對(duì)圖像信息進(jìn)行壓縮編碼就是通過(guò)去除圖像信號(hào)的這種固有的統(tǒng)計(jì)特性的。2.4.1圖像空間域統(tǒng)計(jì)特性圖像空間域統(tǒng)計(jì)特性是用來(lái)反映任意兩個(gè)像素之間的相關(guān)性，也就是在統(tǒng)計(jì)平均的意義上來(lái)計(jì)算它們之間的相似程度。圖像的自相關(guān)函數(shù)：設(shè)(i1,j1),(i2,j2)為N×N圖像中兩點(diǎn)，式子中E[.]表示數(shù)學(xué)期望，

m表示灰度平均值，

2表示圖像的方差，結(jié)論：相鄰像素之間的相關(guān)特性隨兩像素之

間距離增大而減小。2.4.2圖像頻域統(tǒng)計(jì)特性從頻譜角度看出，電視/圖像信號(hào)絕大部分能量集中于頻率域中的低頻部分。原圖像原圖像DCT頻譜2.4.3圖像差值信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性幀內(nèi)差值統(tǒng)計(jì)特性：指對(duì)一幅(幀)圖像內(nèi)部像素進(jìn)行

的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)同一行相鄰的兩個(gè)像素f