高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體 6

第6課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積課時(shí)目標(biāo)1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式．2．會(huì)利用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．3．掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積的計(jì)算公式．4．會(huì)利用柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．識(shí)記強(qiáng)化1．棱柱的側(cè)面展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的側(cè)面展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由梯形組成的平面圖形．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．2．如果圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，那么它的表面積S＝2πr(r＋l)．如果圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，那么它的表面積S＝πr(r＋l)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r′，r，母線長(zhǎng)為l，那么它的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．3．柱體體積公式：V＝Sh(S為底面面積，h為高)．錐體體積公式：V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．臺(tái)體體積公式：V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體的高)．課時(shí)作業(yè)一、選擇題(每個(gè)5分，共30分)1．若正方體的表面積為72cm2，A．2eq\r(3)cmB．12cm\r(6)cmD．6cm答案：D解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝72，所以a＝2eq\r(3)，所以正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(3)×2eq\r(3)＝6cm.2．各棱長(zhǎng)均為2的正三棱錐的表面積是()\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．16答案：C解析：每個(gè)面的面積為eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴該正三棱錐的表面積為4eq\r(3).3．已知某圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2a，a的矩形，則該圓柱的體積為\f(a3,2π)或eq\f(a3,π)\f(2a3,π)\f(a3,π)\f(a3,π)或eq\f(2a3,π)答案：A解析：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，則當(dāng)l＝2a時(shí)，2πr＝a，∴r＝eq\f(a,2π)，這時(shí)V圓柱＝2a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2π)))2＝eq\f(a3,2π)；當(dāng)l＝a時(shí)，2πr＝2a，∴r＝eq\f(a,π)，這時(shí)V圓柱＝a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,π)))2＝eq\f(a3,π).綜上，該圓柱的體積為eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π).4．已知一個(gè)母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于240°，則該圓錐的體積為()\f(2\r(2),81)π\(zhòng)f(8,81)π\(zhòng)f(4\r(5),81)π\(zhòng)f(10,81)π答案：C解析：圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為eq\f(240°,360°)×2π×1＝eq\f(4,3)π，設(shè)底面圓的半徑為r，則有2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，于是圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3)，故圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(4\r(5),81)π.5．若圓臺(tái)的高是4，母線長(zhǎng)為5，側(cè)面積是45π，則圓臺(tái)的體積是()A．252πB．84πC．150πD．102π答案：B解析：45π＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)·5，故r＋r′＝9.(r－r′)2＋42＝52，r－r′＝3.所以r＝6，r′＝3，V＝eq\f(1,3)π·4×(62＋6×3＋32)＝84π.6．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，P，Q分別為側(cè)棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐B－APQC的體積為\f(V,6)\f(V,4)\f(V,3)\f(V,2)答案：C解析：由P，Q分別為側(cè)棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則VB－APQC＝2VB－AQC＝2VQ－ABC＝2×eq\f(1,3)S△ABC·QC＝2×eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,2)CC1＝eq\f(1,3)S△ABC·CC1＝eq\f(1,3)V，故選C.二、填空題(每個(gè)5分，共15分)7．若一個(gè)圓臺(tái)的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于________．答案：3eq\r(5)π解析：由圓臺(tái)的正視圖可知該圓臺(tái)的上底面半徑r＝1，下底面半徑R＝2，高為2，則母線長(zhǎng)為l＝eq\r(22＋2－12)＝eq\r(5)，故側(cè)面積為S＝π(rl＋Rl)＝π(1＋2)×eq\r(5)＝3eq\r(5)π.8．體積為52的圓臺(tái)，一個(gè)底面積是另一個(gè)底面積的9倍，那么截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的體積是__________．答案：54解析：由題意知r：R＝1：3，r，R分別為上，下底面的半徑，故(V－52)：V＝1：27，解出V＝54.9．如圖，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，AB＝2，沿圖中虛線將該正方形折起來，圍成一個(gè)三棱錐，則此三棱錐的體積是________．答案：eq\f(1,3)解析：折疊起來后，B，C，D三點(diǎn)重合，設(shè)為點(diǎn)S，則圍成的三棱錐為S－AEF，其中，SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，如圖，所以此三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).三、解答題10．(12分)將圓心角為120°，面積為3π的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積．解：設(shè)扇形的半徑和圓錐的母線都為l，圓錐的半徑為r，則eq\f(120,360)πl(wèi)2＝3π，l＝3，eq\f(2π,3)×3＝2πr，r＝1；S表面積＝S側(cè)面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.11．(13分)已知四棱錐P－ABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，求該四棱錐的體積．解析：由該四棱錐的三視圖，可知該四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PC＝eq\f(2,3).能力提升12．(5分)一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為()

A．48＋12eq\r(2)B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2)D．36＋24eq\r(2)答案：A解析：如圖所示三棱錐．AO⊥底面BCD，O點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，BC＝CD＝6，BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD.S△BCD＝eq\f(1,2)×6×6＝18.S△ABD＝eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝12eq\r(2).取CD中點(diǎn)E.連接AE、OE.可得AO⊥OE，AE＝eq\r(AO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5.∴S△ACD＝S△ABC＝eq\f(1,2)×6×5＝15.∴S全＝18＋12eq\r(2)＋15＋15＝48＋12eq\r(2).13．(15分)某幾何體的三視圖如圖所示．(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解：(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體ABCD－A1B