概率論之條件概率

§5條件概率一、條件概率二、乘法公式三、全概率公式與貝葉斯公式條件概率定義：對事件A、B，若，則把稱為在事件A發(fā)生的條件下事件

B發(fā)生的概率，簡稱條件概率.相對地，有時把概率P(A)、P(B)稱作無條件概率.事實上，P(A|S)=P(A)，P(B|S)=P(B).例1

一個家庭中有兩個小孩，已知其中一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）例2一袋中有10個球，其中3個黑球，7個白球， 依次從袋中不放回取兩球．已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；例3

人壽保險公司常常需要知道存活到某一個年齡段的人在下一年仍然存活的概率．根據(jù)統(tǒng)計資料可知，某城市的人由出生活到50歲的概率為0.90718，存活到51歲的概率為0.90135。問現(xiàn)在已經(jīng)50歲的人，能夠活到51歲的概率是多少？

例設(shè)已知某種動物自出生能活過20歲的概率是0.8，能活過25歲的概率是0.4．問現(xiàn)齡20歲的該種動物能活25歲的概率是多少？解：以

表示某該種動物“能活過20歲”的事件；以

表示某該種動物“能活過25歲”的事件；由已知,有：于是，所求概率二、乘法公式定理1乘法公式應(yīng)用舉例

一個罐子中包含t個白球和r個紅球.

隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進

c個與所抽出的球具有相同顏色的球.

這種手續(xù)進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球

罐中有b

個白球、r

個紅球，每次從中任取一個，取出后將球放回，再加入c

個同色球和d

個異色球.(1)當c=1,d=0時，為不返回抽樣.(2)當c=0,d=0時，為返回抽樣.(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型.(4)當c=

0,d>0時，為安全模型.波利亞罐子模型續(xù)b個白球,r個紅球例3

已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品．為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品．求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率。

一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大?！崩?設(shè)某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7／10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9／10。試求透鏡落下三次而未打破的概率。

例

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)300個乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標準件}

引例

有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.1231.4.3全概率公式1.樣本空間的劃分

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0（三）全概率公式和貝葉斯公式2）全概率公式:2.全概率公式全概率公式全概率公式的文氏圖解釋：A

將事件A分解為若干個互不相容的較簡單事件之和.

某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解例1

有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例2

某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名．又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標的概率．第一章概率論的基本概念§3條件概率

例3

人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗,人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率.

n張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎券”，則(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式計算得P(A2)=1/n.

(3)可用歸納法計算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，記Ai

為“第i次摸到獎券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結(jié)論：不論先后，中彩機會是一樣的.摸彩模型(續(xù))若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

Bayes公式的使用我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第i個原因引起的概率，則用Bayes公式第一章概率論的基本概念§3條件概率返回主目錄例某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品,已知這四條流水線的產(chǎn)量分別點到總產(chǎn)量15%,20%,30%和35%,又知這四條流水線的次品率依次為0.05,0.04,0.03及0.02.現(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件,問取到次品的概率是多少?例(續(xù))

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品,已知這四條流水線的產(chǎn)量分別點到總產(chǎn)量15%,20%,30%和35%,又知這四條流水線的產(chǎn)品不合格率依次為0.05,0.04,0.03及0.02.現(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件,問取到不合格品的概率是多少