D11-4二階線性微分方程

二階第四節(jié)線性方程一、二階線性方程解的結(jié)構(gòu)第二一章機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、二階常系數(shù)線性齊次方程三、二階常系數(shù)線性非齊次方程一、二階線性方程解的結(jié)構(gòu)二階線性方程的一般形式：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為了求二階線性方程的通解，首先要討論二階線性方程通解的組成方式。非齊次齊次證畢是二階線性的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束齊次方程說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則要想保證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即成為通解,中含有兩個任意常數(shù)只要滿足常數(shù)稱這樣的兩個函數(shù)為線性無關(guān)的定理2.的兩個線性無關(guān)的解,則

是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是二階線性齊次方程（即常數(shù)）其中是兩個任意常數(shù)。二階線性齊次方程通解的結(jié)構(gòu)二階線性非齊次方程:稱①機動目錄上頁下頁返回結(jié)束②為相應(yīng)于非齊次方程的齊次方程。定理3：設(shè)是非齊次方程①的一個解，而是所相應(yīng)的齊次方程②的解，則仍然是非齊次方程①的解。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束如果是所相應(yīng)的齊次方程②的通解則由上述定理得非齊次方程①通解的結(jié)構(gòu)。定理4：是非齊次方程①的一個特解，而是所相應(yīng)的齊次方程②的通解，則成為非齊次方程①的通解。設(shè)二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性齊次方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于各項的系數(shù)合并為0，所以當?shù)暮瘮?shù)形式相同時的函數(shù)，一定是方程的解。二階常系數(shù)線性齊次方程的一般形式：其中p、q是常數(shù).例和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一般情況下，只要常數(shù)r是特征方程的根時，1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為則微分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)是微分方程的解微分方程特征方程①②2.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.當時,

特征方程有一對共軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的通解.解:

特征方程特征根:原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解初值問題解:

特征方程有重根原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的通解.解:特征方程特征根:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求方程

例4.的通解.解:特征方程特征根:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求方程的通解.答案:通解為通解為通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.二階常系數(shù)線性非齊次方程的一般形式:稱①結(jié)構(gòu)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、二階常系數(shù)線性非齊次方程②為相應(yīng)于非齊次方程的齊次方程。通解構(gòu)成第一步：根據(jù)

f(x)的形式,第二步：代入原方程以確定函數(shù)表達式中的待定系數(shù)—待定系數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求特解的方法的函數(shù)形式確定通解構(gòu)成（1）（2）（1）

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為已知的m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為即即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié)對方程不是特征根可設(shè)特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中為已知的m次多項式。是特征單根是特征重根其中為待定的m次多項式。例6.的一個特解.解:

本題特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得所求特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束寫全一個二次多項式例7.的通解.

解:本題特征方程為特征根對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（2）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對非齊次方程可設(shè)特解其中不是特征根是特征單根例8.的一個特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束P1831(2，3)；2(3，4)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)作業(yè)P1833;4(2，4)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（其中為實數(shù)).例