量子力學(xué)復(fù)習(xí)

量子力學(xué)復(fù)習(xí)張春福教授微電子學(xué)院微電子學(xué)院SchoolofMicroelectronicsXidianUniversity2

近幾十年來，在不同領(lǐng)域相繼發(fā)現(xiàn)了宏觀量子效應(yīng)（如超導(dǎo)現(xiàn)象，超流現(xiàn)象，乃至一些天體現(xiàn)象），表明宏觀世界的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)也遵循量子力學(xué)規(guī)律，人們所熟知的經(jīng)典力學(xué)規(guī)律只是量子力學(xué)規(guī)律在特定條件下的一個(gè)近似。

量子力學(xué)是將物質(zhì)的波動(dòng)性與粒子性統(tǒng)一起來的動(dòng)力學(xué)理論，是20世紀(jì)初研究微觀世界中粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立起來的。引言引言目錄

(Content)目錄

(Content)第一章緒論Ch1.Thebasicconceptsofquantummechanism第二章波函數(shù)和薛定諤方程Ch2.ThewavefunctionandSchr?dinger’sequation第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量Ch3.TheDynamicalvariableinQuantumMechanism第四章態(tài)和力學(xué)量的表象Ch4.Therepresentationofthestatesandoperators第五章微擾理論Ch5.Perturbationtheory

第六章

散射Ch6.Thegeneraltheoryofscattering第七章自旋與全同粒子Ch7.Spinandidentityofparticles第一章

緒論Thebirthofquantummechanism5

1.1經(jīng)典物理學(xué)的困難

Thedifficultinclassicalphysics1.2光的波粒二象性

Thedualityoflightbetweenwaveandparticle1.3微粒的波粒二象性

Thedualityofsmallparticlesbetweenwaveandparticle

小結(jié)

Review基本內(nèi)容61．Planck為何？又如何提出“能量子”假設(shè)的？一個(gè)“能量子”的能量是多少？

7黑體:物體對(duì)于外來的輻射有反射和吸收作用。如果一個(gè)物體能全部吸收投射在它上面的輻射而無反射，這種物體稱為黑體。

黑體輻射問題所研究的是輻射（電磁波）與周圍物體處于平衡狀態(tài)時(shí)能量按波長(zhǎng)（頻率）的分布。1．黑體輻射

一個(gè)開有小孔的封閉空腔可看作是黑體。8黑體輻射實(shí)驗(yàn)事實(shí)：

輻射熱平衡狀態(tài):

處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時(shí)，輻射達(dá)到熱平衡狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)曲線熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長(zhǎng)的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì)溫度

T

有關(guān),而與黑體的形狀和材料無關(guān)。9

結(jié)論:

在短波（高頻）部分與實(shí)驗(yàn)符合得很好，但長(zhǎng)波（低頻）部分與實(shí)驗(yàn)則明顯不一致。

實(shí)驗(yàn)瑞利-瓊斯維恩T=1646k（1）維恩（Wein—德國(guó)物理學(xué)家）的解釋（2）瑞利—金斯（Raileigh-Jeans英國(guó)物理學(xué)家）的解釋

結(jié)論:在長(zhǎng)波（低頻）部分與實(shí)驗(yàn)符合，短波部分不符合。此外存在“紫外光的災(zāi)難”10Planckassumption:

黑體可看作一組連續(xù)振動(dòng)的帶電諧振子，這些諧振子的能量應(yīng)取分立值，這些分立值都是最小能量的整數(shù)倍，這些分立的能量稱為諧振子的能級(jí)。

Planck-德國(guó)物理學(xué)家，（3）普朗克（1900年）對(duì)黑體輻射的解釋可見：黑體與輻射場(chǎng)交換能量只能以為單位進(jìn)行，亦即黑體吸收或發(fā)射電磁輻射能量的方式是不連續(xù)的，只能量子地進(jìn)行，每個(gè)“能量子”的能量為11

基于能量子假設(shè)，Planck利用統(tǒng)計(jì)物理推導(dǎo)出與實(shí)驗(yàn)符合得很好的黑體輻射公式——Planck公式：其中（稱為Planck常數(shù)）§1.2光的波粒二象性(續(xù)1)12注：Planck的“能量子”假說與經(jīng)典物理中振子的能量是連續(xù)的相抵觸。可見，Planck理論突破了經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域的束縛，打開了認(rèn)識(shí)光的粒子性的大門。討論維恩公式瑞利-瓊斯公式§1.2光的波粒二象性(續(xù)2)132．Einstein為何？又如何提出“光量子”假設(shè)的？寫出一個(gè)光子的能量與動(dòng)量，即給出Planck-Einstein關(guān)系。

14

光照射到金屬上，使金屬中的電子逸出的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng),逸出的電子稱為“光電子”。2．光電效應(yīng)1.臨界頻率

只有當(dāng)光的頻率大于某一定值時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長(zhǎng)，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光電子的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。

此外，光電效應(yīng)具有瞬時(shí)性，其響應(yīng)速度很快10-9

秒。經(jīng)典認(rèn)為光能量分布在波面上，吸收能量需要時(shí)間。15光子的能量

光子的動(dòng)量

Planck-Einstein公式Einsteinassumption：

在Planck能量子假設(shè)的啟發(fā)下，愛因斯坦提出了“光量子”的概念，他認(rèn)為，不僅黑體與輻射場(chǎng)的能量交換是量子化的，而且輻射（光）是由一顆顆具有一定能量的粒子組成的粒子流，這些粒子稱為光子（光量子）（

——波矢量）愛因斯坦（1905年）對(duì)光電效應(yīng)的解釋16光電效應(yīng)的解釋

（光電效應(yīng)方程）

當(dāng)or無電子逸出當(dāng)or有電子逸出電子的逸出功（

——

臨界頻率）

在的條件下,當(dāng)越大，即光強(qiáng)越強(qiáng)，光子密度大，產(chǎn)生電子數(shù)越多17

1916年，密立根實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光子論的正確性，并測(cè)得

h=6.5710-34

焦耳?秒。

光的波動(dòng)性和粒子性是通過普朗克常數(shù)聯(lián)系在一起的。Einstein因發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)定律獲得了1923年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。注：利用光子的概念可解釋光電效應(yīng)，可見光電效應(yīng)體現(xiàn)了光的粒子性。183.原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論和索末菲的量子化條件？

193.原子光譜與原子結(jié)構(gòu)

氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末(Balmer)發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個(gè)線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗(yàn)公式,即著名的巴爾末公式：后來又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們可用下面公式表示：20原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論

1912年，時(shí)年27歲的丹麥物理學(xué)家玻爾（Bohr）來到盧瑟福（Rutherford）實(shí)驗(yàn)室對(duì)原子結(jié)構(gòu)的譜線進(jìn)行研究，為解釋氫原子的輻射光譜，1913年提出原子結(jié)構(gòu)的半經(jīng)典理論，其假設(shè)有兩點(diǎn)：

獲得1922年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)21（1）特定的定態(tài)軌道軌道量子化條件:（2）定態(tài)躍遷頻率

原子處于定態(tài)時(shí)不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個(gè)能級(jí)En

躍遷到另一個(gè)較低（高）的能級(jí)

Em，同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻率為：§1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)1)+vre1.玻爾假設(shè)22

氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量

能量

向心力庫侖力2.玻爾理論對(duì)氫原子光譜的解釋里德伯方程：23里德伯常數(shù)與實(shí)驗(yàn)完全一致3.量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動(dòng)量L

選為廣義動(dòng)量，則θ為廣義坐標(biāo)?？紤]積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr

量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，24這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對(duì)于只有一個(gè)電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。對(duì)玻爾理論的評(píng)價(jià)

成功地解釋了原子的穩(wěn)定性、大小及氫原子光譜的規(guī)律性。定態(tài)假設(shè)（定態(tài)具有穩(wěn)定性和確定的能量值）依然保留在近代量子論中。為人們認(rèn)識(shí)微觀世界和建立量子理論打下了基礎(chǔ)。25玻爾理論無法克服的困難

(1)只能解釋氫原子及堿金屬原子的光譜，而不能解釋含有兩個(gè)電子或兩個(gè)電子以上價(jià)電子的原子的光譜。(2)只能給出氫原子光譜線的頻率，而不能計(jì)算譜線的強(qiáng)度及這種躍遷的幾率，更不能指出哪些躍遷能觀察到以及哪些躍遷觀察不到。(3)只能討論束縛態(tài)而不能討論散射態(tài)。

玻爾理論是經(jīng)典與量子的混合物，它保留了經(jīng)典的確定性軌道，另一方面又假定量子化條件來限制電子的運(yùn)動(dòng)。它不能解釋稍微復(fù)雜的原子問題，并沒有成為一個(gè)完整的量子理論體系,是半經(jīng)典量子理論。正是這些困難，迎來了物理學(xué)的大革命。264.康普頓實(shí)驗(yàn)室怎樣的一個(gè)實(shí)驗(yàn)？其意義是什么？27

1923年，美國(guó)物理學(xué)家Compten用X射線入射到碳、石墨等原子質(zhì)量很輕的靶上，進(jìn)行光散射實(shí)驗(yàn)。準(zhǔn)直系統(tǒng)入射光0散射光探測(cè)器石墨散射體4．康普頓散射(1922—1923)Compton散射是對(duì)光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí)。28散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1散射的射線中有與入射波長(zhǎng)相同的射線,也有波長(zhǎng)的射線.

2散射線中波長(zhǎng)的改變量隨散射角的增大而增大，即散射后的光其波長(zhǎng)隨散射角的增加而增大.稱為電子的康普頓波長(zhǎng)

3同一散射角下相同,與散射物質(zhì)無關(guān)；原子量較小的物質(zhì)，康普頓散射效應(yīng)強(qiáng)。29（2）康普頓的解釋：

X射線光子與“靜止”的“自由電子”彈性碰撞:碰撞過程中能量與動(dòng)量守恒（1）經(jīng)典電磁理論的困難：碰撞前X射線光子的能量（104～105eV）電子的能量反沖電子30能量守恒：動(dòng)量守恒：

消除與

散射波的波長(zhǎng)隨散射角的增加而增大，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合?！?.2光的波粒二象性(續(xù)10)31

1923年威爾遜云室實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了反沖電子軌跡；驗(yàn)證了康普頓解釋康普頓和威爾遜合得1927年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)康普頓散射實(shí)驗(yàn)的意義:

康普頓散射進(jìn)一步證實(shí)了光子論(光的量子性），證明了光子能量、動(dòng)量表示式的正確性，光確實(shí)具有波粒二象性。另外證明在光電相互作用的過程中嚴(yán)格遵守能量、動(dòng)量守恒定律。32Planck-Einstein方程

作為粒子的能量E和動(dòng)量與波動(dòng)的頻率和波矢

由Planck-Einstein方程聯(lián)系起來。Planck常數(shù)：

另一方面我們也看到，在新的理論中，Planck常數(shù)

起著關(guān)鍵作用，當(dāng)h的作用可以略去時(shí)，經(jīng)典理論是適用的，當(dāng)h的作用不可忽略時(shí)，經(jīng)典理論不再適用。因此，凡是h起重要作用的現(xiàn)象都稱為量子現(xiàn)象。

335．德布羅意為何？又如何提出微觀粒子波動(dòng)性的？寫出德布羅意自由粒子的平面波，德布羅意關(guān)系式。

34二.德布羅意假設(shè)——微粒的波粒二象性

1924年，時(shí)為研究生的青年物理學(xué)家德布羅意在Einstein光量子理論的啟發(fā)下，注意到經(jīng)典理論在處理電子，原子等實(shí)物粒子方面所遇到的困難，是否會(huì)是經(jīng)典理論走了另一個(gè)極端，即僅注意到粒子性一方面，而忽視了其波動(dòng)性一方面。德布羅意假設(shè)（de-Broglieassumption）35于當(dāng)年向巴黎大學(xué)理學(xué)院提交的博士論文中提出：在光學(xué)上，比起波動(dòng)的研究來，過于忽略了粒子的一面；在物質(zhì)理論上，是否發(fā)生了相反的錯(cuò)誤，是不是我們把粒子的圖象想得太多，而過于忽略了波的圖象。指出一切物質(zhì)粒子（原子、電子、質(zhì)子等）都具有粒子性和波動(dòng)性，在一定條件下，表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下體現(xiàn)出波動(dòng)性。

德布羅意關(guān)系自由粒子具有

質(zhì)量

m

速度

V能量E

動(dòng)量波長(zhǎng)

頻率

36稱為德布羅意波討論：能量為E的自由粒子的德布羅意波的波長(zhǎng)

例如:自由粒子的能量和動(dòng)量為常量，與它相聯(lián)系的波是和都不變的平面單色波：

微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述37

Ex.1

求經(jīng)電勢(shì)差為V伏特的電場(chǎng)加速后的電子的波長(zhǎng)。庫侖千克若V=150伏，

納米

若V=100000伏，納米

（1納米=10-9m）

能量

電子波長(zhǎng)比可見光的波長(zhǎng)（λ?10-7m）小5個(gè)數(shù)量級(jí)，比原子的半徑（0.1-0.2納米）還小得多。386．粒子的波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證就你所知道的有哪些？39

1931德國(guó)柏林大學(xué)魯斯卡（E·Ruska）博士發(fā)明了世界上第一臺(tái)透射式電子顯微鏡，一開始只能放大幾百倍。到1933年很快提高到一萬倍以上，分辨率達(dá)10-5mm（人眼的分辨率0.2mm，光學(xué)分辨率為10-4mm）。目前，電子顯微鏡放大倍數(shù)已達(dá)到百萬倍以上，分辨率小于0.1納米，通過電子顯微鏡，人們可看到病毒和細(xì)菌內(nèi)部以及原子結(jié)構(gòu)內(nèi)部，使化學(xué)、生物工程，遺傳工程和材料工程等得以深入發(fā)展。三.理論在現(xiàn)代科技上的應(yīng)用舉例40四.德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

deBroglie波1924年提出后，1927-1928年由戴維遜(Davisson)和革末(Germer)以及湯姆遜(G.P.Thomson)的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。θ法拉第園筒入射電子注鎳單晶戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)d湯姆遜實(shí)驗(yàn)41

散射電子束的強(qiáng)度隨散射角而改變，當(dāng)取某些確定值時(shí)，強(qiáng)度有最大值。與X射線的衍射現(xiàn)象相同，充分說明電子有波動(dòng)性。根據(jù)衍射理論，衍射最大值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由此算出的電子的德布羅意波長(zhǎng)與德布羅意關(guān)系結(jié)果一致§1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)13)42電子不僅在反射時(shí)有衍射現(xiàn)象，湯姆遜實(shí)驗(yàn)證明了電子在穿過金屬片后也象X射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。戴維遜和湯姆遜因驗(yàn)證電子的波動(dòng)性分享1937年的物理學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)金.（湯姆遜1927）§1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)14)43歷史回顧經(jīng)典物理中的波和粒子，光的波粒二象性

經(jīng)典物理：證實(shí)了光的波動(dòng)性早期量子論：證實(shí)光的波粒二象性波動(dòng)性

微粒性

早期量子論：普朗克的能量子假設(shè)愛因斯坦的光子說、康普頓效應(yīng)玻爾的氫原子模型、量子態(tài)小結(jié)44第一章小結(jié)(續(xù))德布羅意關(guān)系德布羅意波451.了解光的波粒二象性的主要實(shí)驗(yàn)事實(shí)；掌握德布羅意關(guān)于微觀粒子的波粒二象性的假設(shè)和索末菲的量子化條件。

2.掌握德布羅意公式和德布羅意波德布羅意關(guān)系：

德布羅意波：

46

2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2態(tài)疊加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定諤方程

TheSchr?dingerequation

2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定態(tài)薛定諤方程

TimeindependentSchr?dingerequation

2.6一維無限深勢(shì)阱

Theinfinitepotentialwell

2.7線性諧振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8勢(shì)壘貫穿

Thetransmissionofpotentialbarrier學(xué)習(xí)內(nèi)容471.量子力學(xué)中波函數(shù)描述的是什么？何為波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋。48德布羅意指出：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)函數(shù)來描述，函數(shù)—

稱為波函數(shù)。1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：

波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率成比例。48

（1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)（基本原理）。知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。必須注意49

2.波函數(shù)為什么可以歸一化？歸一化條件是什么？50非相對(duì)論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實(shí)物粒子不會(huì)產(chǎn)生與湮滅。這樣，對(duì)一個(gè)粒子而言，它在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即和描述同一狀態(tài)這與經(jīng)典波截然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來的2倍）時(shí)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件：51又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性。滿足此條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。52

3.會(huì)用歸一化做簡(jiǎn)單計(jì)算53Ex.1

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。

歸一化常數(shù)Solve:

歸一化的波函數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)13）54（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)幾率最大?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（續(xù)14）55

4.什么是態(tài)疊加原理？56

態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性也依賴于實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)態(tài)迭加原理

2.當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，并且57

5.Schr?dinger方程及其建立過程？58微觀粒子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)具有的特點(diǎn)（1）含有波函數(shù)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)（2）方程必為線性的（3）系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量質(zhì)量為的非相對(duì)性粒子(即低速運(yùn)動(dòng)的粒子),其總能為59又（2）

（3）（1）

由自由粒子出發(fā)建立運(yùn)動(dòng)方程將（1）和（2）式代入（3）式，得（4）

60推廣到勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的Schr?dinger方程設(shè)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)波函數(shù)為（6）

§2.3薛定諤方程（續(xù)3）用能量關(guān)系式乘以波函數(shù)將能量和動(dòng)量分別用能量算符和動(dòng)量算符替代，即得Schr?dinger方程粒子的哈密頓函數(shù)61作動(dòng)量算符替代則利用哈密頓算符，可將Schr?dinger方程寫成另一形式稱為哈密頓算符61

（1）Schr?dinger作為一個(gè)基本假設(shè)提出來，它的正確性已為非相對(duì)論量子力學(xué)在各方面的應(yīng)用而得到證實(shí)。注意

（2）Schr?dinger方程在非相對(duì)論量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿,只要給出粒子在初始時(shí)刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時(shí)刻的波函數(shù)。62

6.兩個(gè)公式稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程63

6.什么是定態(tài)？其性質(zhì)是什么？粒子的能量E有確定的值的這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。性質(zhì)：定態(tài)之下不顯含時(shí)間的力學(xué)量的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變。64與無關(guān)定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時(shí)間無關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無關(guān)與無關(guān)判別定態(tài)的方法：§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)8）（1）能量是否為確定值（2）幾率與時(shí)間無關(guān)（3）幾率流密度與時(shí)間無關(guān)65

7.掌握一維無限深勢(shì)阱的計(jì)算。661．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符無限深勢(shì)阱-aa0U(x)(1)(2)考慮一維粒子的運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為:672．定態(tài)Schr?dinger方程的解因及有限，由（2）

（3）令（4）（1）

從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢(shì)壁?！?.6一維無限深勢(shì)阱（續(xù)2）其通解為：（5）

利用的連續(xù)性，由（3）和（5）得68當(dāng)，有（n為偶數(shù)）

(6)當(dāng)，有（n為奇數(shù)）

(7)§2.6一維無限深勢(shì)阱（續(xù)3）(6)和(7)兩式統(tǒng)一寫成（8）

本征能量：（9）

69本征函數(shù)§2.6一維無限深勢(shì)阱（續(xù)4）（10）

為偶數(shù)（11）

為奇數(shù)(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成由歸一化條件求得歸一化常數(shù)70推導(dǎo):（取實(shí)數(shù)）§2.6一維無限深勢(shì)阱（續(xù)5）（12）

歸一化的本征函數(shù)71

8.了解線性諧振子。72

在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子稱為（線性）諧振子。經(jīng)典允許的振動(dòng)范圍諧振子在運(yùn)動(dòng)中能量守恒。其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。諧振子哈密頓量：諧振子能量：73Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinger方程：

Schr?dinger方程歸一化的本征函數(shù)本征能量:

741．波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋

（2）坐標(biāo)表象中的波函數(shù):

第二章小結(jié)（1）波函數(shù)又稱為幾率幅，它的模方給出粒子的幾率。幾率幅無直接可測(cè)的意義，其模方才有直接可測(cè)的意義。給出t時(shí)刻粒子處在位置處的幾率

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量為的幾率

動(dòng)量表象中的波函數(shù)：互為Fourer變換與逆變換(3)波函數(shù)的歸一化問題2．態(tài)迭加原理及其實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)753．Schr?dinger方程及其建立的基本思路動(dòng)量算符的引入4．定態(tài)Schr?dinger方程及定態(tài)的特征。★能量算符的引入?！颒amilton（能量）算符及本征值方程?！锬芰克惴谋菊髦蹬c本征波函數(shù)?！锒☉B(tài)的判斷。5．幾率流密度與守恒律。6．三個(gè)典型實(shí)例（一維無限深勢(shì)阱，一維線性諧振子，一維勢(shì)壘）的研究。第二章小結(jié)763.1

表示力學(xué)量的算符

operatorfordynamicalvariable

3.2

動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符

momentumoperatorandangularmomentumoperator3.3電子在庫侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

ThemotionofelectronsinCoulombfield3.4氫原子

Hydrogenatom3.5

厄米算符本征函數(shù)的正交性O(shè)rthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators3.6

力學(xué)量算符與力學(xué)量的關(guān)系RelationshipbetweenOperatoranddynamicalvariable3.7

算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciple3.8

力學(xué)量隨時(shí)間的變化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws第三章內(nèi)容77Ex.動(dòng)能算符角動(dòng)量算符

若量子力學(xué)中的力學(xué)量

在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示該力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示中將動(dòng)量換成動(dòng)量算符而得出。

1.力學(xué)量算符規(guī)則——即構(gòu)造力學(xué)量算符的規(guī)則：78

（1）以上所述力學(xué)量算符規(guī)則是對(duì)力學(xué)量為坐標(biāo)函數(shù)而言；（2）對(duì)于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒有的力學(xué)量，其算符如何構(gòu)造的問題另外討論。3.1表示力學(xué)量的算符（續(xù)5）注力學(xué)量算符坐標(biāo)表象坐標(biāo)算符動(dòng)量算符力學(xué)量算符792.厄米算符及其性質(zhì)①厄米算符的定義若對(duì)于任意兩函數(shù)和，算符滿足等式則稱為厄米算符②厄米算符的性質(zhì)：

厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)設(shè)為厄米算符，其本征方程Prove:（實(shí)數(shù)）803.動(dòng)量算符及其本征函數(shù)811動(dòng)量算符本征方程：

按分離變量法,令歸一化常數(shù)則有82本征值取連續(xù)值。歸一化系數(shù)的確定若粒子處在無限空間中，則按函數(shù)的歸一化方法確定歸一化常數(shù)

，即這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數(shù)。833.角動(dòng)量算符及其本征函數(shù)84Lz的本征值問題本征值:歸一化本征函數(shù)稱為磁量子數(shù)85L2的本征值問題的本征值本征函數(shù)為球諧86討論

（1）球諧函數(shù)系是與有共同的本征函數(shù)系（2）簡(jiǎn)并情況

在求解本征方程的過程中，出現(xiàn)角量子數(shù)和磁量子數(shù)

。

87Ex:

簡(jiǎn)并度為1

簡(jiǎn)并度為3

即屬于本征值的線性獨(dú)立本征函數(shù)共有個(gè)。因此,的本征值是度簡(jiǎn)并的。

的本征值僅由角量子數(shù)

確定，而本征函數(shù)卻由

和

確定。對(duì)于一個(gè)值，可取，這樣就有個(gè)值相同而值不同的本征函數(shù)與同一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)。3.2動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符（續(xù)15）884.電子在庫倫場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及氫原子89Hamiltonianoperator

的本征值方程（定態(tài)Schr?dinger方程）中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的勢(shì)能1.有心力場(chǎng)下的Schrodinger方程（1）

在球坐標(biāo)系中90設(shè)（2）

式（2）代入方程（1），分離變量得（3）

徑向方程（4）

球面方程91庫侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子處在束縛態(tài)時(shí)波函數(shù)

磁量子數(shù)

角量子數(shù)

主量子數(shù)電子的能量本征值與波函數(shù)能量本征值下面列出了前幾個(gè)波函數(shù)表達(dá)式9293討論:

（1）是的共同本征函數(shù)系

可見，是電子三個(gè)算符的共同本征函數(shù)系，當(dāng)量子數(shù)給定時(shí)，就確定了一個(gè)狀態(tài)，力學(xué)量可同時(shí)測(cè)定。當(dāng)粒子處在任一狀態(tài)時(shí)，它可用構(gòu)成的函數(shù)系展開，因此，構(gòu)成一組力學(xué)量完全集。

94（2）電子的第n個(gè)能級(jí)En是n2度簡(jiǎn)并的

粒子處在束縛態(tài)，對(duì)于第

個(gè)能級(jí)，角量子數(shù)取，共個(gè)值；對(duì)于一個(gè)

值，磁量子數(shù)可取，共個(gè)值。因此，對(duì)于第個(gè)能級(jí)，共有個(gè)波函數(shù)，即

的簡(jiǎn)并度為n2Ex.n=2時(shí)，E2是4度簡(jiǎn)并的，對(duì)應(yīng)的波函數(shù)有

庫侖場(chǎng)中電子的能級(jí)

只與

有關(guān)，與無關(guān)，對(duì)簡(jiǎn)并，這是庫侖場(chǎng)所特有的。955.非簡(jiǎn)并情況下厄密算符本征函數(shù)的正交性96本征函數(shù)的正交性屬于厄米算符的不同本征值的本征函數(shù)相互正交。Prove:解得本征值方程

力學(xué)量算符的本征值方程：本征值：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3……組成本征值譜本征函數(shù)：……組成本函數(shù)系厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)97由厄米算符的定義：時(shí)當(dāng)有當(dāng)時(shí)有正交性歸一可見函數(shù)系構(gòu)成一正交歸一函數(shù)系。

3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性（續(xù)１）986.簡(jiǎn)并情況下厄密算符本征函數(shù)的正交性99前面的討論假定本征值所屬的本征函數(shù)均不相等，若的本征值是度簡(jiǎn)并的，則屬于的本征函數(shù)有

個(gè)：且

此意謂著:一般情況下這f個(gè)函數(shù)不正交，但可由它們重新進(jìn)行線性組合

仍是屬于本征值的本征函數(shù)100正交歸一化條件

此共有個(gè)確定的關(guān)系式，但的個(gè)數(shù)，故可以有許多種方法選擇，使函數(shù)滿足上述正交歸一化條件式。

綜合上述討論可作如下結(jié)論：厄密算符的本征函數(shù)總可取為正交歸一化的，并可構(gòu)成正交歸一完備函數(shù)系。3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性（續(xù)５）1017.力學(xué)量測(cè)量值與力學(xué)量算符本征值的關(guān)系102力學(xué)量測(cè)量值與力學(xué)量算符本征值的關(guān)系設(shè)為力學(xué)量算符本征值：

（本征值譜)本征函數(shù)：（正交歸一完全函數(shù)系）

當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，表示的力學(xué)量有確定值，該值就是在態(tài)中的本征值，即（1）將寫成

當(dāng)體系不是處于的本征態(tài)，而是處于任一個(gè)態(tài)

，這時(shí)與它所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系如何？103基本假設(shè)

量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符，它們的本征函數(shù)組成完全系。當(dāng)體系處于波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量所得的數(shù)值，必定是算符的本征值之一，測(cè)得值為其本征值的幾率是3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系（續(xù)２）1048.力學(xué)量平均值105的本征值：本征函數(shù)：正交歸一條件設(shè)

為任一波函數(shù)，且證明二式相等106

求在能量本征態(tài)下，動(dòng)量和動(dòng)能的平均值EX１Solve3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系（續(xù)５）107在能量本征態(tài)下測(cè)量到的動(dòng)能平均值等于該態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量本征值3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系（續(xù)６）1088.

若算符和具有共同的本征函數(shù)完全系，則和必對(duì)易。109定理prove:設(shè)是和的共同本征函數(shù)完全系，則設(shè)是任一狀態(tài)波函數(shù)，

若算符和具有共同的本征函數(shù)完全系，則和必對(duì)易。1108.寫出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，并寫出推導(dǎo)過程111

設(shè)和的對(duì)易關(guān)系為考慮積分：（再利用力學(xué)量算符的厄米性）●

測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)112由代數(shù)中二次定理知，這個(gè)不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：

（稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系）

如果不等于零，則和的均方偏差不會(huì)同時(shí)為零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著和

不能同時(shí)測(cè)定。3.7算符對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)１3）113故有●

坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系或?qū)懗?14Prove:則測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：平均值的平方為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：同理由于在本征態(tài)中，測(cè)量力學(xué)量有確定值，所以

均方偏差必為零，即Ex

利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系證明，在本征態(tài)下， 115一、力學(xué)量與算符1．厄米算符的定義2．力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系力學(xué)量用厄米算符表示，表示力學(xué)量的厄米算符有組成完全系的本征函數(shù)系（假設(shè)）3．厄米算符的性質(zhì)厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)，屬于不同本征值的本征函數(shù)正交4．力學(xué)量算符的構(gòu)成（對(duì)應(yīng)原則）（假設(shè)）5．力學(xué)量的平均值

[注]2和4合起來作為一個(gè)假設(shè)

第三章總結(jié)116二、力學(xué)量的測(cè)量值與力學(xué)量算符關(guān)系：假設(shè)力學(xué)量算符的本征值是力學(xué)量的可測(cè)量值。將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)系展開則在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是三、力學(xué)量算符之間的關(guān)系1．不同力學(xué)量同時(shí)可測(cè)定的條件——力學(xué)量算符彼此對(duì)易。一體系的所有可彼此對(duì)易的力學(xué)量算符構(gòu)成一個(gè)完全集。117四、力學(xué)量算符的本征值問題1．動(dòng)量算符的本征值問題2．，的本征值問題3．中心力場(chǎng)問題氫原子問題第三章復(fù)習(xí)

2．測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系3．算符的對(duì)易關(guān)系（1）基本對(duì)易關(guān)系（2）角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系118例1：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2

的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz

的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值； （4）在Ψ

態(tài)中分別測(cè)量L2

和Lz

時(shí)得到的可能值及 其相應(yīng)的幾率。解：

Ψ

沒有確定的

L2

的本征值，故

Ψ

不是

L2

的本征態(tài)。119Ψ是Lz

的本征態(tài)，本征值為。（3）求L2的平均值方法I驗(yàn)證歸一化：120歸一化波函數(shù)方法II（4）4.1態(tài)的表象

Therepresentationofthestate

4.2

算符的矩陣表示

Matrixrepresentationofoperators4.3

量子力學(xué)公式的矩陣表示

Matrixrepresentationofformulaforquantummechanism4.4

幺正變換

Unitarytransformation4.5

狄喇克符號(hào)

Diracsymbols4.6

線形諧振子與占有數(shù)表象

Linearoscillatorandoccupationnumberrepresentation

研究?jī)?nèi)容1211221.態(tài)的矩陣表示形式

力學(xué)量算符的正交歸一完備函數(shù)系構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。任一態(tài)矢§4.1態(tài)的表象（續(xù)１２）123表象與幾何空間坐標(biāo)系的比較§4.1態(tài)的表象（續(xù)１３）124１．選定一個(gè)特定表象，就相當(dāng)于在Hilbert空間中選定一個(gè)特定的坐標(biāo)系,力學(xué)量算符的正交歸一完備函數(shù)系構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。２.任意態(tài)矢量在表象中的表示是一列矩陣，矩陣元是態(tài)矢量在

算符的本征矢上的投影。

3．選取不同力學(xué)量表象，就是選取不同完備正交基底，態(tài)矢的表述具有不同矩陣形式，這就是態(tài)的不同表象波函數(shù)。結(jié)論§4.1態(tài)的表象（續(xù)１４）1251262.算符的矩陣表示形式

選定力學(xué)量表象，算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系記為討論1．是厄米矩陣Prove：顯而易見，對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)可見，算符

在Q表象中是一個(gè)矩陣，其矩陣元為即是厄米矩陣。1272．力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。4.2算符的矩陣表示（續(xù)4）1281293.量子力學(xué)公式的矩陣表示形式1．歸一化條件4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示2、平均值公式4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)1）其中為算符的矩陣元在表象中：（續(xù)7）4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)3）3、本征值方程在Q表象中，其矩陣形式為：（1）移項(xiàng)得：

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)4）（m=1，2，3……）（2）此式即為線性齊次方程組：非零解的條件是系數(shù)行列式等于0，即久期方程：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)5）求出本征值將每個(gè)值分別代入矩陣方程（1）或（2），求出,即得本征函數(shù)

這樣變解微分方程為解代數(shù)方程。4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)6）4、薛定格方程在Q表象中，其矩陣形式為：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)16）簡(jiǎn)寫為：其中簡(jiǎn)寫為：其中4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)17）1394.會(huì)用矩陣表示形式做簡(jiǎn)單計(jì)算

Ex.已知在和的共同表象中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將矩陣和對(duì)角化。

本征方程為Solve:設(shè)的本征值為,本征波函數(shù)為4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)7）

要使本征波函數(shù)不為零，亦即要求a,b,c不全為零，其條件是（1）中的系數(shù)矩陣的行列式為零。

（1）久期方程本征值

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)8）當(dāng)時(shí)，

由（2）有4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)9）由歸一化條件:4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)10）歸一化常數(shù)歸一化的波函數(shù)當(dāng)時(shí),由（2）有4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)11）歸一化條件歸一化的波函數(shù)：當(dāng),由（2）有：

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)12）歸一化條件歸一化的波函數(shù)：構(gòu)成一個(gè)正交歸一本征函數(shù)完備系的對(duì)角矩陣正交歸一化條件：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)13）

類似地,可求出的本征值、歸一化的本征函數(shù)系和對(duì)角陣。

本征值

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（14）本征波函數(shù)：正交歸一化條件：的對(duì)角矩陣：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)15）1495.兩個(gè)表象之間的轉(zhuǎn)換從B表象變換到A表象從A表象變換到B表象

反之，4.4幺正變換（續(xù)9）4.幺正變換的兩個(gè)重要性質(zhì)（1）幺正變換不改變算符的本征值此為力學(xué)量從表象A變換到表象B的變換公式

在表象中的矩陣為

,本征矢為算符在表象中的矩陣為

,本征矢為4.4幺正變換（續(xù)10）本征方程本征方程（1）（2）本征值不變比較(1)、(2)式,可知1525.6與時(shí)間有關(guān)的微擾理論P(yáng)erturbationtheorywithtime5.7

躍遷幾率TransitionProbability5.6與時(shí)間有關(guān)的微擾理論P(yáng)erturbationtheorywithtime5.7

躍遷幾率TransitionProbability5.8光的發(fā)射和吸收Lightemissionandabsorption5.9選擇定則

SelectionruleChapter5.PerturbationTheory1531.非簡(jiǎn)并情況下的微擾理論154能量的二級(jí)近似波函數(shù)的一級(jí)近似1552.簡(jiǎn)并情況下的微擾理論156有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。5.2Degenerateperturbationtheory（５）（４）1575.2Degenerateperturbationtheory由(3)式分別求出，代入久期方程（5）式，可求得的根，此即為能量的一級(jí)修正。討論(1).若的個(gè)根都不相等，則一級(jí)微擾將簡(jiǎn)并度完全消除；如果要求二級(jí)修正，再應(yīng)用非簡(jiǎn)并微擾方法進(jìn)行。能量的一級(jí)近似：(6)158(2).若的個(gè)根部分相等，則簡(jiǎn)并度部分解除，這時(shí)須再次利用簡(jiǎn)并微擾法考慮能量二級(jí)修正才有可能進(jìn)一步解除簡(jiǎn)并，依次進(jìn)行下去，直到簡(jiǎn)并度完全消除。

(３).若的個(gè)根完全相等，則一級(jí)微擾不能消除簡(jiǎn)并，必須繼續(xù)利用簡(jiǎn)并微擾法考慮高階修正。5.2Degenerateperturbationtheory求零級(jí)近似波函數(shù)

將能量一級(jí)修正的個(gè)根分別代回方程（4），可得組的值，即可求得零級(jí)近似波函數(shù)(7)1593.氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)160（5.3-4）將零級(jí)近似波函數(shù)作展開5.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom1615.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom由算得的不為零的矩陣元1625.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom其余矩陣元均為零。將以上矩陣元代入代數(shù)方程組并寫成矩陣形式：1635.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom164有久期方程:得到四個(gè)根：5.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom165能級(jí)分裂導(dǎo)致譜線分裂5.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom166再將的四個(gè)根分別代入上式：（1）當(dāng)時(shí)，有：則與能級(jí)對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為5.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom（2）當(dāng)時(shí)，有167則與能級(jí)對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為：則與能級(jí)對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似波函數(shù)為：5.3

FirstorderStarkeffectofhydrogenatom（3）當(dāng)時(shí)，有而和不同時(shí)為零1684.變分法1695.4VariationalMethod可以選取含有參量的嘗試函數(shù)算出的平均值求的極小值所得結(jié)果即是的近似值1704.有k態(tài)到m態(tài)的躍遷公式171故由躍遷