應(yīng)用光學(xué)第六章

第六章

像差理論第六章像差理論慧差

2細(xì)光束場(chǎng)曲

4軸上點(diǎn)球差

31細(xì)光束像散

33第六章像差理論色差

6畸變

35第一節(jié)軸上點(diǎn)球差一、球差的概念和形成

在共軸球面系統(tǒng)中，軸上點(diǎn)和軸外點(diǎn)有不同的像差，軸上點(diǎn)因處于軸對(duì)稱位置，具有最簡(jiǎn)單的像差形式。當(dāng)軸上物點(diǎn)的物距L確定，并以寬光束孔徑成像時(shí)，其像方截距隨孔徑角U（或孔徑高度h）的變化而變化，因此軸上物點(diǎn)發(fā)出的具有一定孔徑的同心光束，經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后不復(fù)為同心光束，如圖6-1所示。nn’圖6-1物點(diǎn)的像方截距隨孔徑角變化

第一節(jié)軸上點(diǎn)球差在孔徑角很小的近軸區(qū)域可以得到物點(diǎn)成像的理想位置l′，任意孔徑角U的成像光線偏離理想像點(diǎn)與光軸相交的位置為L(zhǎng)′。我們把軸上物點(diǎn)以某一孔徑角U成像時(shí)，其像方截距L′與理想像點(diǎn)的位置l′之差稱為軸上點(diǎn)球差，又稱為軸向球差，用′表示（圖6-2），即圖6-2光學(xué)系統(tǒng)的球差

（6-1）-lA-U-dL'l'L'U'-dT'不同孔徑角U（或孔徑高度h）入射的光線有不同的球差值，如果軸上物點(diǎn)以最大孔徑角Um成像，其球差稱之為邊光球差，用表示，如果以孔徑角第一節(jié)軸上點(diǎn)球差成像，則相應(yīng)的球差稱之為0.707帶球差，用表示，以此類推。軸上物點(diǎn)以充滿入瞳的整個(gè)孔徑光束成像時(shí)，根據(jù)不同孔徑角（或孔徑高度）得到的球差值可以作出系統(tǒng)的球差曲線，圖6-3所示為某一系統(tǒng)的球差曲線圖。

，這樣的系統(tǒng)稱之為消球差系統(tǒng)，如圖6-3所示。若大部分光學(xué)系統(tǒng)只能對(duì)某一孔徑高度校正球差，一般是對(duì)邊光校正球差，即第一節(jié)軸上點(diǎn)球差，稱之為球差校正不足，若，稱之為球差過校正，如圖6-4所示。

h0.707dL'mh1圖6-3球差曲線0.707hhm1dL'h0.707dL'mh1圖6-4球差校正不足和球差過校正由于共軸球面系統(tǒng)具有對(duì)稱性，孔徑角為U的整個(gè)圓形光錐面上的光線都具有相同的球差而交于同一點(diǎn)，延伸至理想像面上，將形成一個(gè)圓，其半徑稱為垂軸球差，如圖6-2所示，垂軸球差與軸向球差之間關(guān)系為第一節(jié)軸上點(diǎn)球差

(6-2)

由于球面成像計(jì)算公式是嚴(yán)格按照幾何光學(xué)的基本定律推導(dǎo)得出的，因此可以得出這樣的結(jié)論，即球差的形成是折射球面系統(tǒng)成像的一種必然現(xiàn)象（個(gè)別特殊點(diǎn)除外），它是軸上物點(diǎn)以單色光成像時(shí)的唯一像差。

，故級(jí)數(shù)中不含常數(shù)項(xiàng)，如此，球差的級(jí)數(shù)可表示為第一節(jié)軸上點(diǎn)球差二、球差的級(jí)數(shù)展開式

（6-3）

球差隨孔徑角或孔徑高度而變，為了研究球差的性質(zhì)，分析如何使系統(tǒng)獲得最小的剩余球差，我們可以將球差展開成U或h的冪級(jí)數(shù)。由于軸上物點(diǎn)的軸對(duì)稱性，當(dāng)U或h改變符號(hào)時(shí)，不變，故在級(jí)數(shù)中只含有U或h的偶次方項(xiàng)；而當(dāng)U=0或h=0時(shí)，為近軸光線，有或

（6-4）

式中的U或h都采用相對(duì)值，最大孔徑時(shí)取為1，A1、A2、…、B1、B2、…為各次項(xiàng)系數(shù)。式中第一項(xiàng)稱為初級(jí)球差，第二項(xiàng)稱為二級(jí)球差，二級(jí)及以上球差又統(tǒng)稱為高級(jí)球差。大部分光學(xué)系統(tǒng)的孔徑角都不太大，所以，二級(jí)以上的高級(jí)球差已屬很小，可以忽略。對(duì)這類系統(tǒng)，其球差可用初級(jí)和二級(jí)兩項(xiàng)來表示，即式（6-3）可寫成第一節(jié)軸上點(diǎn)球差

（6-5）

第一節(jié)軸上點(diǎn)球差對(duì)于只含初級(jí)和二級(jí)球差（高級(jí)球差被忽略）的光學(xué)系統(tǒng)，只可能對(duì)一個(gè)孔徑帶消球差，光學(xué)設(shè)計(jì)通常對(duì)最大孔徑角Um或最大孔徑高度hm（即h=1）消球差，使，此時(shí)，由公式（6-5）得代入（6-5）得

（6-6）

第一節(jié)軸上點(diǎn)球差式（6-6）就是光學(xué)系統(tǒng)在邊光消球差時(shí)的球差表達(dá)式，若要分析此時(shí)具有最大球差的孔徑帶，只要將式（6-6）對(duì)h求導(dǎo)，并令其為0，不難得到，在

孔徑帶處的光線具有最大的球差（稱剩余球差），其值為即最大剩余球差為邊光二級(jí)球差的四分之一。校正球差的目標(biāo)就是要使最大的剩余球差校正到系統(tǒng)允許的公差之內(nèi)。

。此時(shí)物點(diǎn)發(fā)出的所有光線將沿球面的法線方向入射，即入射角對(duì)單個(gè)折射球面，可以證明，有三個(gè)物體位置可以不產(chǎn)生軸上點(diǎn)球差。這三個(gè)位置是：1.物點(diǎn)位于球面的球心處，即第一節(jié)軸上點(diǎn)球差三、單個(gè)折射球面的齊明點(diǎn)根據(jù)折射定律，折射角也為0，光線無偏折地通過球面，像點(diǎn)也將位于球心處，即如圖（6-5）所示。

，，C-UA,A'圖6-5物點(diǎn)位于球心處

第一節(jié)軸上點(diǎn)球差2.物點(diǎn)位于球面頂點(diǎn)，即。此時(shí)不論U角如何，所有入射光線射向此點(diǎn)，經(jīng)折射后也都將經(jīng)此點(diǎn)離開，即像點(diǎn)也位于頂點(diǎn)，，如圖（6-6）所示

A'AOUnn'(>n)3.物點(diǎn)位于處。此時(shí)對(duì)于任意孔徑角，有或，根據(jù)式（2-1）-

（2-4）計(jì)算得出，像點(diǎn)將位于處，與孔徑角無關(guān)。如圖（6-7）所示。

nA'-UCAn'(<n)I-I'圖6-6物點(diǎn)位于頂點(diǎn)處

圖6-7物點(diǎn)位于齊明點(diǎn)處

第一節(jié)軸上點(diǎn)球差上述不產(chǎn)生球差的物點(diǎn)位置，稱為齊明點(diǎn)，結(jié)合1和3的兩個(gè)齊明點(diǎn)位置可以構(gòu)成無球差的齊明透鏡。如圖6-8所示為正、負(fù)齊明透鏡。A'C2A,C1C1,AC2A'圖6-8正、負(fù)齊明透鏡第一節(jié)軸上點(diǎn)球差四、單透鏡的球差對(duì)于單片薄透鏡，其光焦度為透鏡的光焦度是由成像要求決定的，當(dāng)確定了透鏡的光焦度后，根據(jù)上式，透鏡的材料和曲率半徑都是可以選擇的。對(duì)于單透鏡而言，減小球差的方法有兩種，一是選擇材料，二是改變透鏡形狀（或稱透鏡彎曲。）第一節(jié)軸上點(diǎn)球差由球差的形成可以得知，球面越彎曲，光線的入射角就越大，球差也就越大。例如，一個(gè)對(duì)無限遠(yuǎn)物體成像的凸平透鏡，焦距為100mm，孔徑高度取10mm，下表列出了三種不同折射率時(shí)的凸面半徑及球差值單透鏡焦距(mm)折射率凸面半徑(mm)球差值(mm)1001.550-1.1751001.660-0.851001.770-0.68表6－1在保證光焦度不變的情況下，可以通過增加透鏡的折射率來增大球面的曲率半徑，因?yàn)檫x擇高折射率的材料有利于減小球差。

第一節(jié)軸上點(diǎn)球差在材料選定后，要保證透鏡的光焦度，必須為定值。保持該定值，如果改變，也隨之變化，使得透鏡的形狀發(fā)生改變。或者說，同一光焦度的透鏡可以有不同的形狀。這種保持焦距不變而改變透鏡形狀的做法，稱為透鏡彎曲。

以物體在無窮遠(yuǎn)為例，圖6-9給出了透鏡不同形狀下的球差變化曲線?？梢钥闯?，無論是正透鏡還是負(fù)透鏡，都存在一個(gè)最小球差的形狀，稱為透鏡最優(yōu)形式。第一節(jié)軸上點(diǎn)球差-5dL'001r32101r5dL'圖6-9球差隨透鏡形狀而變的曲線第一節(jié)軸上點(diǎn)球差同時(shí)從圖6－9中還可以看到，正透鏡總是產(chǎn)生負(fù)球差，負(fù)透鏡產(chǎn)生正球差，單透鏡是無法自身校正球差的，為獲得消球差系統(tǒng)，必須采用正負(fù)透鏡的組合，最簡(jiǎn)單的形式有雙膠合透鏡和雙分離透鏡，如圖（6-10）所示。

圖6-10雙膠合透鏡合雙分離透鏡

第二節(jié)慧差

一、慧差的概念和形成位于光軸以外的物點(diǎn)，由于偏離了共軸球面系統(tǒng)的對(duì)稱軸位置，成像后的光束聚焦情況比軸上點(diǎn)要復(fù)雜得多。本節(jié)我們討論由光束失對(duì)稱所引起的像差—慧差。

為了清楚地了解慧差的概念和形成，我們從光束中選取兩個(gè)互相垂直的平面光束來討論，以此來近似說明整個(gè)光束的情況。其中之一是由光軸和主光線決定的面，稱為子午面，另一個(gè)是過主光線并且與子午面垂直的面，稱為弧矢面。如圖6-11所示。

第二節(jié)慧差B弧矢面子午面z入瞳子午面是系統(tǒng)的對(duì)稱面，也是光束的對(duì)稱面，該平面內(nèi)的光束經(jīng)系統(tǒng)成像后仍位于該平面內(nèi)。因此，可以用平面圖形表示出子午光束的結(jié)構(gòu)。圖6-11軸外點(diǎn)的寬光束成像

第二節(jié)慧差圖6-12中，軸外物點(diǎn)B發(fā)出充滿入瞳的一束光，這束光以通過入瞳中心的主光線為對(duì)稱中心?？疾熘鞴饩€z和一對(duì)上下光線a、b。折射前，上下光線相對(duì)于主光線對(duì)稱，而折射后，上下光線不再對(duì)稱于主光線，它們的相交點(diǎn)偏離了主光線。Bbz'a'az入瞳Y'bB'tb'cY'a-K't高斯像面Y'z圖6-12子午慧差

第二節(jié)慧差為了分析這一原因，我們作一條連接軸外物點(diǎn)B和球心C的輔助光軸。顯然，物點(diǎn)B可看作是輔助光軸上的一點(diǎn)，它發(fā)出的a、b光線對(duì)和主光線z對(duì)于輔助光軸相當(dāng)于三條不同孔徑角的入射光線，由于系統(tǒng)存在球差，三條光線不能交于一點(diǎn)，這就使得原本對(duì)稱主光線的一對(duì)上下光線，出射后不再關(guān)于主光線對(duì)稱。我們把這種上下光線對(duì)的交點(diǎn)到主光線的垂直距離稱為子午慧差，記為KT′。它的大小反映了子午光束失對(duì)稱的程度。第二節(jié)慧差由于a、b上下光線對(duì)的交點(diǎn)并不在理想像面上，為了計(jì)算上的方便，我們把上下光線對(duì)的交點(diǎn)高度用它們?cè)谙衩嫔系母髯越稽c(diǎn)的高度Ya′和Yb′的平均值代替，相應(yīng)主光線的高度用主光線在像面上的高度YZ′表示，即子午慧差數(shù)學(xué)定義為

（6-7）

第二節(jié)慧差再看弧矢面的情況，圖6-13所示的是物點(diǎn)B以弧矢光線成像的立體圖，弧矢面內(nèi)有一對(duì)前、后光線c、d，它們對(duì)稱于主光線，因此也對(duì)稱于子午面，因此，成像后的交點(diǎn)也必然在子午面內(nèi)。這對(duì)光線在入射前雖然對(duì)稱于主光線，但是它們的折射情況與主光線不同。B'cBzdc入瞳-K'sd'z'c'B'sB'zZ'高斯像面Y'zY'zB'dY'圖6-13弧矢慧差

第二節(jié)慧差主光線在子午面內(nèi)折射，而c、d光線在由入射光線和入射點(diǎn)法線所決定的平面內(nèi)折射，因此它們雖相交在子午面內(nèi)，但并沒有交在主光線上，這樣也使得這對(duì)光線出射后不再關(guān)于主光線對(duì)稱，它們的交點(diǎn)到主光線的垂直距離稱為弧矢慧差，記為KS′。同樣也在像面上度量，即

（6-8）

式中各符號(hào)的意義與式（6-7）類似。

第二節(jié)慧差慧差是軸外物點(diǎn)以寬光束成像的一種失對(duì)稱的垂軸像差，除了子午和弧矢兩個(gè)截面外，其它截面也都有不同形式的失對(duì)稱。如果入瞳為一圓環(huán)，軸外點(diǎn)進(jìn)入系統(tǒng)的光線就是以物點(diǎn)為頂點(diǎn)、以主光線為對(duì)稱中心的圓錐面光束，不同的孔徑對(duì)應(yīng)于不同大小的光錐。此光束經(jīng)系統(tǒng)后，由于存在慧差，不復(fù)為對(duì)稱于主光線的圓錐面光束，也不再會(huì)聚于一點(diǎn)，它與高斯像面相交成一封閉的復(fù)雜曲線，曲線的形狀對(duì)稱于子午面。光錐角度越大，失對(duì)稱的程度也越大。整個(gè)入瞳可以看成由無數(shù)個(gè)大小不等的圓環(huán)組成，由軸外物點(diǎn)發(fā)出的所有通過這些圓環(huán)的圓錐面光束，經(jīng)系統(tǒng)后在高斯像面上截得大小不等、形狀不一、并在垂軸方向上相互錯(cuò)開的封閉曲線，最終疊加成一個(gè)形狀復(fù)雜、對(duì)稱于子午面的彌散斑。第二節(jié)慧差圖6-14表示了某系統(tǒng)僅含初級(jí)慧差時(shí)的軸外物點(diǎn)所成的彌散斑圖像，從圖6-14的初級(jí)慧差圖形中看到，主光線偏到了彌散斑的一邊，在主光線與像面的交點(diǎn)處，聚集的能量最多，因此也最亮，在主光線以外，能量逐漸散開，光斑變暗，所以，整個(gè)彌散斑形成了一個(gè)以主光線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐形彌散斑，其形狀像拖著尾巴的彗星，故得名慧差。顯然，慧差影響了軸外物點(diǎn)成像的清晰度。B'z圖6-14慧差圖形慧差是軸外點(diǎn)以大孔徑成像時(shí)的像差，不僅隨孔徑增大而增大，視場(chǎng)越大，慧差也越大，初級(jí)慧差與視場(chǎng)的一次方成正比。對(duì)于小視場(chǎng)大孔徑的光學(xué)系統(tǒng)，一般采用相對(duì)慧差來表示，即小視場(chǎng)的慧差可用第二節(jié)慧差二、正弦差、等暈條件和正弦條件表示

（6-9）稱為正弦差。正弦差的計(jì)算公式為其中，、是軸上點(diǎn)實(shí)際光線的入射、出射孔徑角，、是相應(yīng)的近軸光線孔徑角，和分別是實(shí)際光線和近軸光線的像距，是入瞳的像距。

（6-10）（即系統(tǒng)軸上點(diǎn)的球差也為0）時(shí)，則有第二節(jié)慧差當(dāng)正弦差為0，我們稱此時(shí)系統(tǒng)滿足等暈條件，顯然，正弦差就是系統(tǒng)不滿足等暈條件的標(biāo)志。等暈條件可寫成若系統(tǒng)滿足等暈條件，則表明系統(tǒng)在小視場(chǎng)范圍內(nèi)的寬光束成像也同軸上點(diǎn)一樣具有對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，如果此時(shí)軸上點(diǎn)存在球差，近軸小視場(chǎng)也只存在球差而不存在慧差。當(dāng)滿足等暈條件（6-11）的同時(shí)又有利用拉赫公式，上式又可表示為或

（6-12）稱為正弦條件。

（6-11）第二節(jié)慧差三、孔徑光闌對(duì)慧差的影響慧差是由于軸外點(diǎn)寬光束的主光線與球面對(duì)稱軸不重合，而由折射球面的球差引起的。如果將入瞳設(shè)置在球面的球心處（如圖6-15所示），則通過入瞳的主光線與輔助光軸重合，此時(shí)軸外點(diǎn)同軸上點(diǎn)一樣，入射的上下光線對(duì)將對(duì)稱于該輔助光軸，出射光線也一定對(duì)稱于輔軸，球面將不產(chǎn)生慧差。入瞳偏離球心越遠(yuǎn)，失對(duì)稱的現(xiàn)象越嚴(yán)重，慧差也就越大。

a-yBAzbbazC圖6-15入瞳設(shè)在球心處不產(chǎn)生慧差

第二節(jié)慧差由于慧差是垂軸像差，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱，孔徑光闌置于系統(tǒng)的中央，且物像放大率時(shí)，整個(gè)光束結(jié)構(gòu)關(guān)于系統(tǒng)的中心點(diǎn)對(duì)稱（如圖6-16所示），系統(tǒng)前半部產(chǎn)生的慧差與后半部產(chǎn)生的慧差絕對(duì)值相同、符號(hào)相反，慧差完全自動(dòng)消除。由于一般光學(xué)系統(tǒng)的放大率不等于－1，因此，絕對(duì)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)并不適合，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物像關(guān)系，設(shè)計(jì)接近對(duì)稱結(jié)構(gòu)的光學(xué)系統(tǒng)，將有利于自動(dòng)校正慧差。圖6-16全對(duì)稱結(jié)構(gòu)慧差自動(dòng)消除

第三節(jié)細(xì)光束像散

當(dāng)軸外物點(diǎn)發(fā)出一束很細(xì)的光束通過入瞳進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)，成對(duì)的寬光束光線之間的失對(duì)稱現(xiàn)象將被忽略，球差也不會(huì)對(duì)細(xì)光束有大的影響。但是，光束各截面之間仍然存在著失對(duì)稱現(xiàn)象，且隨著視場(chǎng)的增大而愈加明顯。如圖6-17所示，軸外B點(diǎn)發(fā)出細(xì)光束在球面上所截得的曲面顯然已不是一個(gè)對(duì)稱的回轉(zhuǎn)曲面，它在不同截面方向上有不同的曲率，并在子午和弧矢這兩個(gè)相互垂直的截面方向上具有最大或最小的曲率，表現(xiàn)出最大的曲率差。子午和弧矢面上的細(xì)光束，雖然各自能會(huì)聚于主光線上的一點(diǎn)，但相互并不重合，即一個(gè)軸外物點(diǎn)以細(xì)光束成像，被聚焦為子午和弧矢兩個(gè)像，這種像差我們稱其為細(xì)光束像散。第三節(jié)細(xì)光束像散zAB入瞳光軸折射面a0d0b0c0dbca圖6-17軸外細(xì)光束成像

在包括子午和弧矢的各個(gè)截面方向上的折射半徑都相同，成像后將會(huì)聚于像方光軸上的同一點(diǎn)。軸外物點(diǎn)B發(fā)出的細(xì)光束交于折射球面的上方，考察相交的小區(qū)域第三節(jié)細(xì)光束像散為了分析像散形成的原因，我們來比較軸上物點(diǎn)和軸外物點(diǎn)的成像情況。圖6-17中，軸上物點(diǎn)A發(fā)出的細(xì)光束對(duì)稱于光軸，光束與折射球面相交所截得的曲面，在子午面上的光線以曲線段相交于球面，并按該曲線段的曲率半徑（猶如地球的徑度方向）折射，因此，具有光束中絕對(duì)值最大的曲率半徑。而在弧矢面上的光線以

曲線段相交于球面，并按該曲線段的曲率半徑（猶如地球的緯度方向）折射，具有光束中絕對(duì)值最小的曲率半徑。同一束光相對(duì)于折射面上不同的曲率半徑折射，因此它們將聚焦在不同的位置。

第三節(jié)細(xì)光束像散B-lA入瞳sl'l'tt's'tB'sB'CB'A'圖6-18弧矢像點(diǎn)和子午像點(diǎn)第三節(jié)細(xì)光束像散如果我們用和分別表示子午和弧氏光線的物距，和分別表示子午和弧氏光線的像距（圖6-18），則它們各自的物像關(guān)系由以下楊氏公式計(jì)算得到

（6-13）其中，和是主光線在球面上的入射角和折射角。

（6-14）子午像點(diǎn)到弧矢像點(diǎn)都位于主光線上，通常將子午像距和弧氏像距投影到光軸上（如圖6-18所示），

得和，并以兩者之間的距離來表示像散，用符號(hào)來表示。即

（6-15）

，而弧矢分量將光束聚焦在弧矢像面上，形成子午面內(nèi)的垂軸短焦線分別光滑地連接在一起，就構(gòu)成了子午像面和弧矢像面。像散的存在使軸外物點(diǎn)成像時(shí)分別在子午像面和弧矢像面上各有一次聚焦，光束中的光線若按子午和弧矢方位分解，其中的子午分量將光束聚焦在子午像面上，形成垂直于子午面的短焦線第三節(jié)細(xì)光束像散將各個(gè)視場(chǎng)的和，在兩次聚焦之間是連續(xù)的由線元到橢圓到圓再到橢圓再到線元的彌散斑變化(如圖6-19所示)。

第三節(jié)細(xì)光束像散T'入瞳S'T'S'Y'z圖6-19弧矢像面和子午像面第三節(jié)細(xì)光束像散如果被成像的物體由一些線條組成，經(jīng)系統(tǒng)后，在子午像面上，這些線條在水平方向的分量聚焦得很清晰，而垂直方向的分量則看上去是模糊的；在弧矢像面上，這些線條在垂直方向的分量被清晰聚焦，而水平分量則顯得模糊，如圖6-20所示。因此，在有像散的情況下，接收器在像方找不到同時(shí)能讓各個(gè)方向的線條都清晰成像的單一像面位置。

3子午像21物弧矢像圖6-20有像散時(shí)的成像

第三節(jié)細(xì)光束像散通過對(duì)像散的形成的分析，不難想象，如果我們同對(duì)待慧差一樣將入瞳置于球面的球心處（圖6-21），那么，軸外點(diǎn)也同軸上點(diǎn)一樣，整個(gè)細(xì)光束將對(duì)稱于通過軸外物點(diǎn)的輔助光軸，光束的各個(gè)截面將具有相同的曲率半徑，折射后將會(huì)聚于同一點(diǎn)，此時(shí)，像散為0。A入瞳BC圖6-21入瞳位于球心處的球面不存在像散第四節(jié)細(xì)光束場(chǎng)曲

如果連接所有子午像點(diǎn)將得到一個(gè)彎曲的子午像面，連接所有的弧矢像點(diǎn)也可得到一個(gè)彎曲的弧矢像面。在視場(chǎng)中心處（即軸上像點(diǎn)），像散為0，細(xì)光束理想成像，因此子午像面和弧矢像面在視場(chǎng)中心處重合且與理想像面相切，如圖6-22所示。這樣，一個(gè)平面的垂軸物體，將形成兩個(gè)彎曲的像面。RT圖6-22子午場(chǎng)曲和弧矢場(chǎng)曲

第四節(jié)細(xì)光束場(chǎng)曲我們把平面物體成彎曲像面的這種成像缺陷統(tǒng)稱為場(chǎng)曲，用它們與高斯像面的軸向距離來度量。對(duì)應(yīng)地，子午像面為子午場(chǎng)曲，弧矢像面為弧矢場(chǎng)曲。它們分別用和表示，即

（6-16）

第四節(jié)細(xì)光束場(chǎng)曲在圖6-23中，設(shè)球面物體Q與折射球面R同心。由分析可知，垂軸平面上的物體不可能成像在理想的垂軸像平面上，這種偏離現(xiàn)象隨視場(chǎng)的增大而逐漸加大，使得垂直于光軸的平面物體經(jīng)球面成像后變得彎曲。這種彎曲并沒有考慮像散的影響，相當(dāng)于像散為0時(shí)的情況，我們把這種沒有像散時(shí)的像面彎曲稱為匹茲伐場(chǎng)曲，用表示。

BAB1CA'B'B'1B'0圖6-23像面彎曲

第四節(jié)細(xì)光束場(chǎng)曲在有一定視場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)中，子午像面、弧矢像面和匹茲伐像面各不重合，如圖6-24所示，并且面和面總在面的同側(cè)，且面比面更遠(yuǎn)離由于面是像散為0時(shí)的場(chǎng)曲，而一般情況下像散總是存在的，因此匹茲伐面常不單獨(dú)存在，而是附加在子午場(chǎng)曲和弧矢場(chǎng)曲中，實(shí)際得到的只能是子午和弧矢兩個(gè)像面。

面。x'x',s't'pstOy/ymt's'px',tOx'sy/ym圖6-24場(chǎng)曲

第四節(jié)細(xì)光束場(chǎng)曲場(chǎng)曲的存在使得實(shí)際像面總是彎曲的，用平面接收屏無法獲得平面物體在整個(gè)視場(chǎng)范圍的清晰成像，或是視場(chǎng)中心清晰而邊緣模糊，或是邊緣清晰，中心模糊（如圖6-25所示）。圖6-25場(chǎng)曲的成像第五節(jié)畸變

理想光學(xué)系統(tǒng)中，物像共軛面上的垂軸放大率為常數(shù)，所以像與物總是相似的。但在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，只有在近軸區(qū)域才有這樣的性質(zhì)。一般情況下，一對(duì)共軛面上的放大率并不是常數(shù)，隨視場(chǎng)的增大而變化，即軸上物點(diǎn)與視場(chǎng)邊緣具有不同的放大率，物和像因此不再完全相似，這種像對(duì)物的變形像差我們稱為畸變。

第五節(jié)畸變?cè)趫D6-26中，B點(diǎn)是平面物體的任一軸外點(diǎn)，過B點(diǎn)所作的輔助光軸與像面交于B0′，B0′點(diǎn)即為B點(diǎn)的理想像點(diǎn)。B點(diǎn)以細(xì)光束成像時(shí)交于輔軸上的B′點(diǎn)，B′B0′為B點(diǎn)的匹茲伐場(chǎng)曲。當(dāng)B點(diǎn)以主光線成像時(shí)，交輔軸于B1′點(diǎn)，B1′B′為B點(diǎn)的球差，這是因?yàn)橛葿點(diǎn)發(fā)出的主光線相對(duì)于輔軸有一定孔徑角，將產(chǎn)生球差。所以，主光線最終經(jīng)B1′點(diǎn)交像面于BZ′點(diǎn)，偏離了理想像點(diǎn)B0′，產(chǎn)生畸變。再看看位于光軸上的A點(diǎn)，主光線與光軸重合，主光線的像點(diǎn)與理想像點(diǎn)在像面的中心點(diǎn)A′重合，因此軸上點(diǎn)不存在畸變。第五節(jié)畸變BA入瞳CB'y'zA'B'0y'圖6-26主光線畸變由以上分析可以看出，畸變的形成既有場(chǎng)曲的因素也有球差的因素。第五節(jié)畸變畸變的度量有兩種方式，一種是絕對(duì)畸變，又稱線畸變，它表示主光線像點(diǎn)的高度與理想像點(diǎn)的高度之差，即另一種是相對(duì)畸變，即相對(duì)于理想像高的絕對(duì)畸變，通常用百分率表示，即

（6-18）

（6-17）第五節(jié)畸變一般情況下，畸變隨視場(chǎng)增大呈單調(diào)變化，可在物面上取若干個(gè)視場(chǎng)點(diǎn)，計(jì)算出各個(gè)視場(chǎng)的畸變，并以視場(chǎng)為縱坐標(biāo)，畸變值為橫坐標(biāo)，做出像面的畸變曲線，如圖6－27所示。a)b)c)圖6-27畸變圖形

第五節(jié)畸變畸變的校正與光闌位置有關(guān)，常作為校正畸變的手段。對(duì)于單個(gè)折射面，由前面討論的畸變的形成我們看出，如果將光闌設(shè)在球心處（如圖6-28），主光線將沿輔軸通過球心（單個(gè)球面的節(jié)點(diǎn)），又沿著輔軸交于像面的B0′點(diǎn)，與理想像點(diǎn)重合，不產(chǎn)生畸變。對(duì)于單個(gè)薄透鏡或薄透鏡組，當(dāng)孔徑光闌與之重合時(shí)（如圖6-29），也不產(chǎn)生畸變，這是因?yàn)榇藭r(shí)的主光線通過透鏡的主點(diǎn)（也是節(jié)點(diǎn)），沿理想光線出射之故。

圖6-28光闌設(shè)在球心處不產(chǎn)生畸變

圖6-29光闌與透鏡重合處不產(chǎn)生畸變

第五節(jié)畸變當(dāng)孔徑光闌置于透鏡的前方（圖6-30），由主光線折射可以看出，B點(diǎn)成像得到負(fù)畸變，而當(dāng)孔徑光闌置于透鏡的后方（圖6-31），B點(diǎn)成像將得到正畸變。如果將孔徑光闌置于兩個(gè)透鏡之間，由此不難分析，對(duì)前一個(gè)透鏡成像，產(chǎn)生正畸變，而對(duì)后一個(gè)透鏡成像則產(chǎn)生負(fù)畸變，兩者可以部分抵消，故對(duì)于結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)，以成像時(shí)，畸變自動(dòng)消除。事實(shí)上，凡對(duì)稱式光學(xué)系統(tǒng)且以倍率成像時(shí)，所有的垂軸像差都能自動(dòng)消除，慧差和畸變都屬于此類像差。

zD'D'D孔徑光闌D孔徑光闌D'zD'圖6-30光闌在透鏡之前

圖6-31光闌在透鏡之后

第六節(jié)色差

大多數(shù)情況下，物體都以復(fù)色光（例如白光）成像，白光包含了各種不同波長(zhǎng)的單色光，光學(xué)材料對(duì)不同波長(zhǎng)的譜線有不同的折射率。第三章給出的透鏡計(jì)算表明，透鏡的焦距取決于兩表面的曲率半徑和材料的折射率，當(dāng)半徑確定后，焦距隨折射率而變化。當(dāng)白光經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)不同波長(zhǎng)有不同的焦距，各譜線將形成各自的像點(diǎn)，導(dǎo)致一個(gè)物點(diǎn)對(duì)應(yīng)有許許多多不同波長(zhǎng)的像點(diǎn)位置和放大率，這種成像的色差異我們統(tǒng)稱為色差。第六節(jié)色差色差是描述兩種波長(zhǎng)成像點(diǎn)的差異，對(duì)任意兩個(gè)波長(zhǎng)譜線都可以計(jì)算色差，但一般情況下，都是根據(jù)接收器光譜響應(yīng)范圍的來選擇計(jì)算色差的光譜譜線。如果接收器用于可見光（例如以人眼或普通感光材料作為接收器），通常選擇可見光譜范圍的兩端譜線中的F光（紫光）和C光（紅光）來計(jì)算色差，用它們之間的像點(diǎn)差異來表示白光光學(xué)系統(tǒng)的色差。色差的幾何描述有兩種：描述兩種波長(zhǎng)像點(diǎn)位置差異的稱位置色差或軸向色差，通常對(duì)軸上點(diǎn)計(jì)算；描述兩種波長(zhǎng)像點(diǎn)高度（或放大率）差異的稱倍率色差或垂軸色差，通常對(duì)軸外點(diǎn)計(jì)算。，二者之差稱為該孔徑的位置色差，記為ΔL′FC，即第六節(jié)色差一、位置色差

1．位置色差的概念與表現(xiàn)由圖6-32，以白光作為光源的軸上物點(diǎn)A發(fā)出一條孔徑角為U的光線，其中F譜線和C譜線在像方交光軸于和，像方截距分別為和（6-19）AA'l'DCl'A'l'FFCDA'圖6-32位置色差若A點(diǎn)以近軸光成像，應(yīng)用近軸成像公式（2-6）-（2-8），代入相應(yīng)的折射率計(jì)算，同樣會(huì)因折射率的差別得到不同的F光和C光近軸像點(diǎn)，其像距分別為和第六節(jié)色差。近軸區(qū)域的位置色差表示為

（6-20）

近軸區(qū)域的位置色差也稱初級(jí)位置色差。需要特別指出，以復(fù)色光成像的物體即使在近軸區(qū)域也不能獲得復(fù)色光的清晰像。圖6-31中，如果接收屏設(shè)在點(diǎn)，將看到像點(diǎn)是一個(gè)中心為藍(lán)色外圈為紅色的彩色彌散斑，如果接收屏設(shè)在點(diǎn)，則彩色彌散斑的中心為紅色，外圈為藍(lán)色。

第六節(jié)色差與不同的孔徑有不同的球差相對(duì)應(yīng)，不同的孔徑也有不同的位置色差。為了了解光學(xué)系統(tǒng)的位置色差狀況，與計(jì)算球差一樣，取若干個(gè)孔徑系數(shù)，對(duì)F光和C光分別進(jìn)行光路計(jì)算，求得它們各個(gè)孔徑時(shí)的像方截距，按圖6-33在同一個(gè)坐標(biāo)系中，作出各自的球差曲線，同時(shí)繪出主色光（D光）的球差曲線，這樣作出的像差曲線可以同時(shí)直觀地反映出幾種像差：①各單色光的球差隨孔徑的變化；②位置色差隨孔徑的變化；③球差隨色光的變化（色球差）；④二級(jí)光譜。

0.850.3-0.100.10.50.7071hhm0.30.2dL'CFDDL'FCD圖6-33位置色差曲線和二級(jí)光譜第六節(jié)色差三條曲線在橫軸上的交點(diǎn)代表了三種色光各自的高斯像點(diǎn)，也反映了近軸的位置色差。此外，我們還定義球差的色變化為色球差，用表示，即式（6-21）表明，色球差的大小不僅與色差有關(guān)，還與系統(tǒng)的球差有關(guān)。圖6-33還反映了這樣一種情況，F(xiàn)光和C光在0.707孔徑處重合，表明在該孔徑處校正了色差。一般來講，校正色差只能對(duì)個(gè)別孔徑帶進(jìn)行，特別應(yīng)對(duì)0.707孔徑帶校正色差，這樣可以使最大孔徑的色差與近軸區(qū)域的色差絕對(duì)值相近，符號(hào)相反，整個(gè)孔徑內(nèi)的色差將會(huì)獲得最佳的狀況。當(dāng)0.707孔徑消色差后，F(xiàn)光和C光的交點(diǎn)與接收器最敏感的D光像點(diǎn)位置一般并不重合，其間距離稱為二級(jí)光譜，用ΔL′FCD表示，即

（6-22）

（6-21）第六節(jié)色差2．薄透鏡系統(tǒng)的位置色差及校正

由于色差在近軸區(qū)域也會(huì)產(chǎn)生，因此它比球差更嚴(yán)重地影響光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，校正色差具有重要意義。下面我們介紹薄透鏡系統(tǒng)的初級(jí)位置色差及其校正的一些簡(jiǎn)單方法。對(duì)于單個(gè)薄透鏡，對(duì)高斯公式（3-7）微分，可得

對(duì)薄透鏡的焦距公式微分，可得，

（6-23b）

（6-23a）上兩式中，為像點(diǎn)的初級(jí)位置色差；為物點(diǎn)的色差，為F光與C光的折射率差，稱為介質(zhì)的平均色散。

第六節(jié)色差根據(jù)以下關(guān)系并引入表征光學(xué)玻璃材料色散的一個(gè)常數(shù)（稱為平均色散系數(shù)或阿貝常數(shù)）

（6-24）

（6-23a）式又可表示為由于物體本身不存在色差，即，上式又可寫成

（6-26）

（6-25）式（6-26）是單透鏡初級(jí)位置色差的表達(dá)式，從中可知，單透鏡本身不能消色差，且正透鏡產(chǎn)生負(fù)色差，負(fù)透鏡產(chǎn)生正色差，所以，光學(xué)系統(tǒng)校正色差必須采用正負(fù)透鏡組合。第六節(jié)色差假設(shè)光學(xué)系統(tǒng)為薄透鏡系統(tǒng)，可以利用式（6-26）對(duì)每個(gè)薄透鏡或薄透鏡組進(jìn)行計(jì)算，并注意到物和像在相鄰光組間過渡時(shí)有以及（原物點(diǎn)沒有色差）。得到整個(gè)薄透鏡系統(tǒng)的初級(jí)位置色差為

（6-27）式（6-27）表明，在光學(xué)系統(tǒng)中，各透鏡對(duì)色差的貢獻(xiàn)除與本身的光焦度大小和阿貝常數(shù)有關(guān)外，還與它在光路中所處的位置有關(guān)。同一透鏡，當(dāng)處于光線入射高度h大的位置，色差貢獻(xiàn)就大，反之亦然。消位置色差的條件應(yīng)使（6-27）式中的求和式為0。

第六節(jié)色差對(duì)于緊密接觸的薄透鏡系統(tǒng)，光線在各透鏡上的高度相同，可以將h參量從式（6-27）中的求和式里提出來，這樣，消色差的條件成為。

（6-28）

這里，我們討論最簡(jiǎn)單的也是最常用的接觸雙薄透鏡組（雙膠合或有微小間隔的雙分離正負(fù)透鏡組）的消色差組合。根據(jù)式（6-28），雙接觸薄透鏡的消色差條件為同時(shí)，透鏡組還必須滿足總光焦度，即

（6-30）

（6-29）第六節(jié)色差聯(lián)立式（6-29）和（6-30），可以解得消色差時(shí)的各透鏡的光焦度為、式（6-31）就是在滿足總光焦度的前提下，消色差雙接觸薄透鏡組的光焦度計(jì)算。該式表明，在總光焦度不為0的情況下，為使（6-31）有解，正負(fù)透鏡必須采用兩種不同的材料，并且兩種材料的阿貝常數(shù)之差應(yīng)盡可能大，以使各透鏡的光焦度不致太小，否則引起其它像差校正的難度。

（6-31）的正透鏡的近軸位置色差曲線，在無限遠(yuǎn)的白光照射下，各光譜譜線焦點(diǎn)的位置隨波長(zhǎng)呈單調(diào)變化，數(shù)值也較大。圖6-35是一個(gè)總焦距為100第六節(jié)色差圖6-34是一個(gè)焦距為10