線性代數(shù)第六章 線性空間及線性變換

2023/2/31第六章線性空間與線性變換

線性變換結(jié)束基、維數(shù)與坐標(biāo)線性空間

定義1

設(shè)V是一個非空集合,R為實(shí)數(shù)域.八條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)

,,V;,R):的積,記作

;并且這兩種運(yùn)算滿足以下總有唯一的一個元素V

與之對應(yīng),稱為與=+;個元素V

與之對應(yīng),稱為與的和,記作如果對于任意兩個元素,V,總有唯一的一又對于任一數(shù)R與任一元素V,1.定義一、線性空間的定義

(i)

+=+;

(ii)

(+)+=+(+);

(iii)

在V

中存在零元素0，對任何V,

(v)

1=;使+=0;

(iv)

對任何V,都有的負(fù)元素V,都有

+0=;

(vi)

(

)=();

(vii)

(+)=+

;

(viii)

(+)=+.

那么,V

就稱為(實(shí)數(shù)域R上的)就稱為線性運(yùn)算。

簡言之,凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算,統(tǒng)稱為(實(shí))向量.

V

中的元素不論其本來的性質(zhì)如何,線性空間，

例1

次數(shù)不超過n

的多項(xiàng)式的全體,記作P[x]n,即對于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成只要驗(yàn)證P[x

]n

對運(yùn)算封閉:項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律,故線性空間.這是因?yàn)?通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多二、舉例解：所以

P[x

]n是一個線性空間.

例2

n

次多項(xiàng)式的全體對于通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成向量空Q[x]n

對運(yùn)算不封閉.間.這是因?yàn)?

p=0

xn+···+0

x+0

Q[x

]n,即

例3

正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性閉:滿足線性運(yùn)算規(guī)律,故只要驗(yàn)證S[x]對運(yùn)算封空間.這是因?yàn)?通常的函數(shù)加法及乘數(shù)運(yùn)算顯然所以S[x

]是一個線性空間.

檢驗(yàn)一個集合是否構(gòu)成線性空間,當(dāng)然不能則就應(yīng)仔細(xì)檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律.加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算,只檢驗(yàn)對運(yùn)算的封閉性(如上面兩例).若所定義的

例4

正實(shí)數(shù)的全體,記作R+,在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為加法:數(shù)乘:驗(yàn)證R+

對上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間.

對加法封閉:

對任意的a,b

R+,有

證實(shí)際上要驗(yàn)證十條:

對數(shù)乘封閉:

對任意的R,aR+,有(i)(ii)

(iii)R+

中存在零元素1,對任何

a

R+,有

(iv)

對任何a

R+,有負(fù)元素a-1

R+,使

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

因此,R+

對于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.

下面討論線性空間的性質(zhì).

性質(zhì)1

零元素是唯一的.

三、線性空間的性質(zhì)證明設(shè)01,02

是線性空間V中的兩個零元素,即對任何

V,有

+01=,+02=.于是特別有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.即零元素是唯一的.

性質(zhì)4

如果

=0,則

=0或

=0.

性質(zhì)3

0=0;(-1)=-

;0=0.

性質(zhì)2

任一元素的負(fù)元素是唯一的.

在第三章中,我們提過子空間,今稍作修正.

定義

設(shè)V

是一個線性空間,L

是V

的一因L

是V

的一部分,V

中的運(yùn)算對于L

而言,規(guī)

一個非空子集要滿足什么條件才構(gòu)成子空間?子空間.乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個線性空間,則稱L

為V

的個非空子集,如果

L

對于V

中所定義的加法和數(shù)四、子空間律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)顯然是滿足的,因此因此我們有

定理

線性空間V

的非空子集L

構(gòu)成子空間的充要條件是:L

對于V

中的線性運(yùn)算封閉.滿足規(guī)律(iii),(iv).但由線性空間的性質(zhì)知,若L對運(yùn)算封閉,則即能只要L

對運(yùn)算封閉且滿足規(guī)律(iii)、(iv)即可.

在第三章中,我們用線性運(yùn)算來討論

n

維數(shù)組這些概念和性質(zhì).性空間中的元素仍然適用.以后我們將直接引用有關(guān)的性質(zhì)只涉及線性運(yùn)算,因此,對于一般的線組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)等等.這些概念以及向量之間的關(guān)系,介紹了一些重要概念,如線性第二節(jié)、基、維數(shù)和坐標(biāo)

在第三章中我們已經(jīng)提出了基與維數(shù)的概念,的主要特性,特再敘述如下.這當(dāng)然也適用于一般的線性空間.這是線性空間

定義2

在線性空間V

中,如果存在n

個元記作Vn.

維數(shù)為

n

的線性空間稱為n

維線性空間,個基,n

稱為線性空間V

的維數(shù).那么,1,2,···,n

就稱為線性空間V

的一線性表示.

(ii)V

中任一元素總可由1,2,···,n

(i)1,2,···,n

線性無關(guān);素1,2,···,n

滿足:

若知1,2,···,n

為

Vn

的一個基,則

Vn

這就較清楚地顯示出線性空間Vn

的構(gòu)造.并且這組數(shù)是唯一的.

=x11+x22+···+

xn

n

,何Vn,都有一組有序數(shù)x1,x2,···,xn,使若1,2,···,n

為Vn

的一個基,則對任可表示為二、向量在基下的坐標(biāo)

反之,任給一組有序數(shù)x1,x2,···,xn,總有組有序數(shù)來表示元素

.于是我們有之間存在著一種一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可以用這(x1,x2,···,xn)T

這樣,

Vn

的元素與有序數(shù)組唯一的元素

=x11+x22+···+xn

n

Vn

.

定義3

設(shè)1,2,···,n

為線性空間Vn

=(x1,x2,···,xn)T

.1,2,···,n

下的坐標(biāo),并記作x1,x2,···,xn

這組有序數(shù)就稱為元素在基

=x11+x22+···+xn

n

,有序數(shù)x1,

x2,···,xn

,使的一個基.對于任一元素Vn

,總有且僅有一組

例1

在線性空間

P[x]4

中,

p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4

就是它的一個基.任一不超過4次的多項(xiàng)式

p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

都可表示為

p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此

p

在這個基下的坐標(biāo)為

(a0,a1,a2,a3,a4)T.

若另取一個基因此p

在這個基下的坐標(biāo)為則

例2

在二階實(shí)矩陣組成的集合構(gòu)成一個線性空間

R2×2

中,為其一個基任意一個二階矩陣可表示為

建立了坐標(biāo)以后,就把抽象的向量與具體于是

=y11+

y22+···+yn

n,

=x11+x22+···+

xn

n

,

設(shè)

,Vn,有系起來:可把Vn

中抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組的線性運(yùn)算聯(lián)的數(shù)組向量(x1,x2,···,xn)T

聯(lián)系起來了.并且還三、向量的運(yùn)算

+

=(x1+y1)1+···+(xn+yn)n,

=(x1)1+···+(xn)n,即+

的坐標(biāo)是

(x1,···,xn)T=(

x1,···,xn)T.

的坐標(biāo)是

=(x1,···,xn

)T+(

y1,···,yn

)T

,(x1+y1,···,xn+yn)T

總之,設(shè)在

n

維線性空間Vn

中取定一個基因此,我們可以說Vn

與Rn

有相同的結(jié)構(gòu),我們稱也就是說,這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng).2.

(x1,···,xn)T,

1.+(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T;

設(shè)

(x1,···,xn)T,(y1,···,yn)T,則個一一對應(yīng)的關(guān)系,且這個關(guān)系具有下述性質(zhì):向量空間Rn

中的向量(x1,···,xn)T

之間就有一`1,2,···,n

,則Vn

中的向量與n

維數(shù)組Vn與Rn

同構(gòu).

由例1可見,同一元素在不同的基下有不同間

Vn

中的兩個基,且有

設(shè)1,2,···,n

及1,2,···,n

是線性空

一、定義的關(guān)系呢?的坐標(biāo),那么,不同的基與不同的坐標(biāo)之間有怎樣基變換和坐標(biāo)變換把1,2,···,n

利用向量和矩陣的形式,(1)式可表示為(1,2,···,n),這n

個有序元素記作(1)稱為基變換公式,矩陣

P

稱為由基由于1,2,···,n

線性無關(guān),故過渡矩陣P

可逆.1,2,···,n

到基1,2,···,n

的過渡矩陣.

定理1

設(shè)Vn

中的元素,在基1,2,足關(guān)系式(1)則有坐標(biāo)變換公式···,n下的坐標(biāo)為(x1,x2,···,xn)T.···,n

下的坐標(biāo)為(x1,x2,···,xn)T

,在基1,

2,若兩個基滿

二、坐標(biāo)變換公式

例3

在P[x]3

中取兩個基及求坐標(biāo)變換公式.將1,2,3,4

用1,2,3,4

表示.其中由解得

故坐標(biāo)變換公式為

用矩陣的初等變換求B-1A:行變換中的B

變成E,則A

即變成B-1A.計(jì)算如下:把矩陣(B,A)即得

練習(xí)：已知P[

x]3

的兩個基:求坐標(biāo)變換公式.規(guī)定多項(xiàng)式對應(yīng)向量這是P[

x]3與R4

之間的一個同別對應(yīng)于向量1,2,3,4,1,

2,3,4,則有構(gòu)對應(yīng).設(shè)多項(xiàng)式p1,p2,p3,p4,q1,q2,q3,q4

分解：所以P=A-1B.

用矩陣的初等行變換來求A-1B.先求從基1,2,3,4

到基1,2,3,4

的過渡矩陣,即要用向量組1,2,3,4

表示向量組1,2,3,4.設(shè)過渡矩陣為P

,則有(1,2,3,4)=(1,2,3,4)P,記A=(1,2,3,4),B=(1,2,3,4),則上式可寫為B=AP,初等行變換所以過渡矩陣P

為因此坐標(biāo)變換公式為2023/2/344T(+)=T()+T()(2)對任意V,及任意實(shí)數(shù)k，有T(k)=kT()則稱T為V到W的一個線性映射.

定義1:向量空間V到向量空間W一個映射T，

滿足：

(1)對任意,V,有第三節(jié)線性變換2023/2/345T(+)=T()+T()(2)對任意V,及任意實(shí)數(shù)k，有T(k)=kT()則稱T為V的一個線性變換.

定義2

向量空間V到自身的一個線性映射T，稱為V的一個變換.若T

滿足：

(1)對任意,V,有2023/2/346向量在T下的像,記為T()或T.2.用粗體大寫字母T,A，B，C，表示線性變換,1.定義式中（1),(2）可合并為2023/2/347證：T(+)=(+)A=A+A=T+T設(shè)A為一n階實(shí)矩陣，對任意Rn,令T=A,則T為Rn中的線性變換.T(k)=(k)A=k(A)=k(T)故T

為Rn中的線性變換.例1完2023/2/348V中兩類特殊的線性變換：1.恒等變換EE=,V2.零變換OO=0

,V2023/2/349例2判定下列變換是否為上的線性變換解（1）是（2）不是2023/2/350定理1

設(shè)T是V的一個線性變換，則

(1)T把零向量變到零向量,把的負(fù)向量變到的像的負(fù)向量,即T0=0；T()=T.

(2)T保持向量的線性組合關(guān)系不變,即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.

(3)T把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組.p91

(4）線性空間Vn中的線性變換T的像集T(Vn)是線性空間Vn的一個子空間。2023/2/351

定義3

設(shè)L(V)是向量空間V的全體線性變換的集合,定義L(V)中的加法，數(shù)乘與乘法如下：加法:(T1+T2)=T1+T2;數(shù)乘:(kT)=kT乘法:(T1T2)=T1(T2)對V,kR.注:若T1,T2

均為V的線性變換，則T1+T2，T1T2，kT均為V的線性變換.線性變換的運(yùn)算p912023/2/352二、線性變換的矩陣T=k1T

1+k2T

2+…+km

T

m

設(shè)V為向量空間,dim(V)=m.

假設(shè)1,2,…,m

為V的一組基,T

為

V的一個線性變換.=k11+k22+…+kmm

上式告訴我們,只要知道基底的像,就可以知道任何向量在這組基底下的像了.2023/2/353T1=a111+a212+…+am1mT2=a121+a222+…+am2mTm=a1m1+a2m2+…+ammm……………即(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A其中簡記為T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A（1）（2）設(shè)基底向量的像在該基底下的表示為2023/2/354定義:設(shè)T為向量空間V中的線性變換,

1,2,…,m為V的一組基,如果給定V的基1,2,…,m,線性變換T對應(yīng)一個實(shí)矩陣A.(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A稱矩陣A為線性變換T

在基1,2,…,m,下的矩陣.2023/2/355定理3

設(shè)V的線性變換T有(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A向量在基1,2,…,m下的坐標(biāo)為

(x1,x2,…,xm)，T在此基下的坐標(biāo)為

(y1,y2,…,ym),則2023/2/356=(1,2,…,m)A=x11+x22+…+xmmT=x1T

1+x2T

2+…+xmT

m=(1,2,…,m)證明：所以完2023/2/357設(shè)R3的線性變換T為T(x1,x2,x3)求T在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣.=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)例32023/2/358T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)解：設(shè)T在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣為A.即=

a111+a212+a313=

a121+a222+a323=

a131+a232+a3332023/2/359故T

在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3

下的矩陣為完2023/2/360設(shè)R3的線性變換T為T(x1,x2,x3)求T在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣.=(2x1-x2,x2+x3,x1)解：設(shè)T在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣為A.即exe2023/2/361由于T1=T(1,0,0)T2=T(0,1,0)=(-1,1,0)T3=T(0,0,1)=(0,1,0)=(2x1-x2,x2+x3,,x1)=(2

,0,,1)完2023/2/362設(shè)R3的線性變換T為T(x1,x2,x3)求T在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,3下的矩陣.=(kx1,kx2,kx3)=k(x1,x2,x3)解:由于T1=k1=(k,0,0)TT2=k2=(0,k,0)T,T3=k3=(0,0,k)T例4完2023/2/363特例：線性變換T=k

數(shù)量矩陣kE恒等變換T=

單位矩陣E零變換T=0

零矩陣O

1.由于線性變換與矩陣的對應(yīng),所以線性變換之間的運(yùn)算(加法,數(shù)乘,乘法)對應(yīng)于相應(yīng)的矩陣之間的運(yùn)算.2.線性變換與矩陣的對應(yīng)關(guān)系是在取定了空間的一組基的情況下建立的.基不同,矩陣也不同.2023/2/364在線性空間R3中線性變換T關(guān)于基的矩陣為A，其中(1)求T1,T2,T3.

1,

2,

3(2)若向量exe完2023/2/3652023/2/3661,2,…,m；1,2,…,m定理4

設(shè)向量空間V有兩組基，分別為則B=C1AC證明：(1,2,…,m)B=T(1,2,…,m)(1,2,…,m)=(1,2,…,m)C且T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)AT(1,2,…,m)=(1,2,…,m)B=T

(1,2,…,m)C=(1,2,…,m)C1ACp93dli3=(1,2,…,m)AC

故

B=C1AC2023/2/367例5設(shè)線性變換求基與基在上述變換下的矩陣2023/2/368解2023/2/369線性變換T在R3中基e1,e2,e3下的矩陣為求T在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3

,3=e1+2e2+2e3下的矩陣.p94例62023/2/370故線性變換T在1,2,3下的矩陣B=C1AC解：從e1,e2,e3到1,2,3的過渡矩陣完2023/2/371

設(shè)平面直角坐標(biāo)系xy逆時針旋轉(zhuǎn)某角度后變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系

,平面上任意向量的舊坐標(biāo)和新坐標(biāo)分別為(x,y)和,則新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系為

三.正交變換

定義3

歐氏空間V的線性變換T稱為正交變換.若對任意,V,均有(T,T)=(,)

例72023/2/372oxyABCDEF完2023/2/373此映射為一個線性變換,它在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為并且為一個正交變換(通常稱為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換),常記為.2023/2/374

定理2

設(shè)T是歐氏空間的一個線性變換，則下面幾個命題等價：

(1)T是正交變換；

(2)T保持向量的長度不變，即對于任意的V,||T||=||||;

(3)如果1,2,…,m是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基,則T1,T2,…,Tm也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基；

(4)T在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.2023/2/375

定義4

設(shè)

T

是向量空間V

的一個線性變換,如果存在數(shù)

及n

維非零向量

,使得

T

=

成立,則稱為T的一個特征值,而稱為T

屬于特征值

的一